- •1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
- •1.1. Краткие теоретические сведения
- •1.2. Задание К1. Исследование движения точки при координатном способе задания движения
- •1.3. Пример 1 выполнения задания К1
- •1.4. Пример 2 выполнения задания К1
- •2. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
- •2.1. Краткие теоретические сведения
- •2.2. Задание К2. Исследование движения плоского механизма
- •2.3. Пример выполнения задания К2
- •3. СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
- •3.1. Краткие теоретические сведения
- •3.3. Пример выполнения задания К3
- •4. СТАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
- •4.1. Краткие теоретические сведения
- •4.2. Задание С1. Определение реакций опор твердого тела под действием плоской системы сил
- •4.3. Пример выполнения задания С1
- •4.5. Пример выполнения задания С2
- •5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
- •5.1. Краткие теоретические сведения
- •5.3. Пример выполнения задания Д1
- •6.1. Краткие теоретические сведения
- •6.2. Задание Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы
- •6.3. Пример выполнения задания Д2
- •7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
- •7.1. Краткие теоретические сведения
- •7.3. Пример выполнения задания Д3
71
ЧА С Т Ь III. Д И Н А М И К А
5.ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
5.1.Краткие теоретические сведения
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.
Первоначально при изучении динамики, для того чтобы отвлечься от влияния формы тела на его движение, рассмотрим динамику материальной точки. В ее основе лежат законы (аксиомы динамики), впервые наиболее полно сформулированные Исааком Ньютоном в его сочинении «Математические начала натуральной философии» в 1687 г.
Первый закон (принцип инерции): изолированная от внешнего воздействия материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.
При изучении движения материальных тел важным обстоятельством является выбор системы отсчета. Согласно принципу инерции существует система отсчета, в которой материальная точка находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Система отсчета, в которой выполняется принцип инерции, называется инерциальной (иногда ее условно называют «неподвижной»).
Второй закон (основной закон динамики): сила, действующая на сво-
бодную материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы (рис. 5.1):
m aG = F , |
(5.1) |
где m − масса точки; aG − ускорение точки; F − вектор силы, действующей на точку.
Уравнение (5.1) называется основным уравнением динамики точки.
Масса m является количественной мерой инертности материальной точки, т. е. способности точки «сопротивляться» изменению ее скорости. Масса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляет собой основную динамическую |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
характеристику материальной точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно закону (5.1) |
устанавливается |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношение между массой |
тела m и его |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
весом P: |
|
|||
O |
|
|
a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m g = P, |
(5.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 5.1 |
|
|
|
где g = 9,8 м/с2 − ускорение свободного |
||||||||
|
|
|
падения. |
|
72
Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Четвертый закон (закон независимости действия сил): если на ма-
териальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности:
|
|
|
a = aG +aG |
+... +aG |
, |
(5.3) |
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
где |
aG − полное ускорение точки; a , aG |
2 |
, ..., aG |
n |
− ускорения, сообщаемые точ- |
|||||
|
G |
G |
1 G |
|
|
|
|
|
||
ке соответственно силами F1 |
, F2 |
, ..., Fn . |
|
|
|
|
|
|
На основании второго и четвертого законов динамики можно сделать вывод о том, что если на материальную точку действует n сил, то точка получит ускорение, пропорциональное геометрической сумме этих сил и на-
правленное так же, как их равнодействующая R (рис. 5.2 при n = 3): |
|
m aG = ∑FGk = RG. |
(5.4) |
n |
|
k =1 |
|
Движение материальной точки под действием сил FG1, FG2 , ..., FGn |
будет |
таким же, как и при действии на нее их равнодействующей R .
Если рассматривается движение несвободной материальной точки, то, применяя принцип освобождаемости от связей, ее можно рассматривать как свободную, включив в состав действующих на нее активных (заданных) сил и силы реакций связей. В этом случае для точки справедливы указанные выше законы динамики. В частности, выражение (5.4) принимает вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
m |
a |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
a3
a
F3
R
Рис. 5.2
maG = F + NG ,
где F, N − равнодействующие соответственно активных сил и реакций связей, действующих на точку.
Пусть положение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчета задано радиусомвектором r (рис. 5.1). ВG общем слу-
чае равнодействующая R сил, действующих на точку, может зависеть от положения точки, ее скорости и времени, т. е.
73
G = G G dr R R r, dt
По определению
G = d2rG a dt2 .
,t .
(5.5)
(5.6)
С учетом (5.5) и (5.6) основное уравнение динамики (5.1) можно записать в виде
m |
d2rG |
G G |
, |
drG |
|
(5.7) |
|
dt |
2 |
= R r |
dt |
, t . |
|||
|
|
|
|
|
|
Уравнение (5.7) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.
При решении задач обычно от векторного уравнения (5.7) переходят к скалярным дифференциальным уравнениям движения материальной точки. Для этого векторное уравнение (5.7) проецируют на оси выбранной системы координат. В проекциях на декартовы оси уравнение (5.7) имеет вид
mx = RX , my = RY , mz = RZ , |
(5.8) |
где x, y, z и RX , RY , RZ − проекции ускорения точки и проекции равнодей-
ствующей сил, действующих на точку, соответственно на оси X, Y, Z. С учетом (5.4) возможна другая запись уравнений (5.8):
n |
n |
n |
|
mx = ∑FkX , |
my = ∑FkY , |
mz = ∑FkZ . |
(5.9) |
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
Уравнения (5.8) и (5.9) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
При криволинейном движении материальной точки удобно пользовать-
G
ся системой осей естественного трехгранника: касательной τ, главной нормалью n и бинормалью bG. Проецируя уравнение (5.4) на эти оси, получаем
n |
n |
n |
|
maτ = ∑Fkτ, |
man = ∑Fkn , |
mab = ∑Fkb , |
(5.10) |
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
где aτ, an , ab − соответственно |
касательное, |
нормальное и |
бинормальное |
ускорения точки; Fkτ, Fkn , Fkb − проекции k-й силы, действующей на точку, на касательную, главную нормаль и бинормаль.
74
Из кинематики известно, что
a |
|
= |
dV |
, a |
n |
= |
V 2 |
, |
a = 0, |
(5.11) |
|
dt |
ρ |
||||||||
|
τ |
|
|
|
|
b |
|
где V = s − скорость точки; s − криволинейная координата; ρ − радиус кривизны траектории точки в данный момент времени.
Подставив (5.11) в (5.10), получим
m dV |
n |
m V |
2 |
n |
n |
|
= ∑Fkτ, |
|
= ∑Fkn , |
mab = ∑Fkb. |
(5.12) |
||
dt |
k=1 |
ρ |
k=1 |
k=1 |
|
Уравнения (5.12) являются дифференциальными уравнениями движения точки в системе естественных осей и называются естественными уравнениями движения. Ими удобно пользоваться для определения неизвестных реакций связей в случае криволинейного движения точки.
Рассматривая движение материальной точки под действием сил, динамика ставит целью решение двух основных задач.
Первая задача динамики заключается в определении силы по известному закону движения точки.
Для нахождения модуля и направления силы F (равнодействующей R ), действующей на материальную точку, необходимо определить проекции этой силы на оси декартовой системы координат или на оси естественного трехгранника (в зависимости от способа задания движения точки). Согласно уравнениям (5.8) и (5.12) эта задача сводится к нахождению проекций ускорения точки, которые определяются дифференцированием по времени соответствующих функций.
Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т. е.
известны зависимости координат точки от времени: |
|
x = x(t), y = y(t), z = z(t). |
(5.13) |
Для определения силы F , под действием которой происходит движение, следует:
1) найти проекции ускорения точки на декартовы оси, продифференцировав дважды по времени уравнения движения (5.13):
aX = x, aY = y, aZ = z;
75
2) вычислить по формулам (5.8) проекции силы F на оси координат:
FX = mx, FY = my, FZ = mz;
3) найти модуль силы F по формуле
F = F 2 |
+ F 2 |
+ F 2 |
= m x2 + y2 + z2 . |
X |
Y |
Z |
|
Направление силы FG определяется с помощью направляющих косинусов:
|
G G |
|
F |
|
G G |
|
F |
|
G G |
|
F |
||
cos F i |
= |
X |
, |
cos F j |
= |
Y , |
cos F k |
= |
Z |
; |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При естественном способе задания движения, когда известна траектория точки и зависимость криволинейной координаты от времени
s = s(t), |
(5.14) |
для определения модуля силы F, под действием которой происходит движение, следует:
1) найти касательное и нормальное ускорения точки, вычислив соответствующие производные по времени от закона движения (5.14):
aτ = |
dV |
= s, an = |
V 2 |
= |
s2 |
; |
|
dt |
ρ |
ρ |
|||||
|
|
|
|
2) согласно (5.12) определить проекции силы F на оси естественного трехгранника:
F = m s, |
F = m |
s2 |
, |
F = 0; |
|
||||
τ |
n |
ρ |
|
b |
|
|
|
|
3) вычислить модуль силы F по формуле
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
s4 |
|
F = |
F |
|
+ F |
|
= m |
s |
+ |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
τ |
n |
|
|
|
ρ2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Вторая (основная) задача динамики заключается в определении уравнений движения точки, если известны действующие на нее силы.
Рассмотрим движение точки относительно декартовой системы координат. Согласно (5.8) дифференциальные уравнения движения точки имеют вид
mx =my =mz =
RX (x, y, z, x, y, z, t); |
|
RY (x, y, z, x, y, z, t); |
(5.15) |
RZ (x, y, z, x, y, z, t). |
|
Для определения уравнений движения точки x = x(t), y = y(t), z = z(t)
необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (5.15), применив методы высшей математики.
Если удается это сделать, то получаем общее решение системы (5.15)
x = x(t, C1, C2, ..., C6 ), |
|
y = y (t, C1, C2, ..., C6 ), |
(5.16) |
z = z(t, C1, C2, ..., C6 ), |
|
где С1, С2, …, С6 − произвольные постоянные интегрирования. Дифференцированием по времени решения (5.16) можно также опре-
делить проекции скорости точки на декартовые оси:
x = x(t, C1, C2, ..., C6 ), |
|
y = y (t, C1, C2, ..., C6 ), |
(5.17) |
z = z(t, C1, C2, ..., C6 ). |
|
Для того чтобы из многообразия решений системы (5.17) выбрать то, которое соответствует данной задаче, необходимо задать начальные условия движения, т. е. в начальный момент времени зафиксировать положение точки и проекции ее скорости на декартовы оси:
t =0, |
x(0)= x0, |
y (0)= y0, |
z(0)= z0 |
, |
(5.18) |
|
x(0)= x0, |
y (0)= y0, |
z(0)= z0. |
||
|
|
Совокупностьданных (5.18) называетсяначальнымиусловиямидвижения.
77
Нахождение значений постоянных интегрирования С1, С2, …, С6 проводится подстановкой начальных условий движения (5.18) в совокупность выражений (5.16) и (5.17):
x0 = x(0, C1, C2, ..., C6 ),
y0 = y (0, C1, C2, ..., C6 ),
z0 = z(0, C1, C2, ..., C6 ),
x0 = x(0, C1, C2, ..., C6 ),
y0 = y (0, C1, C2, ..., C6 ),
z0 = z(0, C1, C2, ..., C6 ),
ирешением полученной системы шести алгебраических уравнений относительно шести неизвестных С1, С2, …, С6.
Решение второй (основной) задачи динамики точки сводится к следующему порядку действий:
1)примем тело за материальную точку и изобразим ее в произвольном положении;
2)введем ортогональную систему координат, совмещая начало отсчета с начальным положением точки и направляя одну из осей по вектору ее скорости;
3)запишем начальные условия движения точки;
4)изобразим на рисунке все действующие на точку активные силы
иреакции отброшенных связей;
5)составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на координатные оси. При этом необходимо переменные силы выразить через те величины, от которых они зависят;
6)методами высшей математики проинтегрируем дифференциальные уравнения и найдем скорость и уравнения движения материальной точки;
7)по начальным условиям движения точки определим значения постоянных интегрирования.
|
78 |
5.2. Задание Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений |
|
движения материальной точки |
|
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость VGA , движется |
|
в трубе АВ, расположенной в вертикальной плоскости (схемы Д1.0–Д1.9 на |
|
рис. 5.3, табл. Д1). |
|
На груз кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент |
|
трения f = 0,1) и переменная сила F , параллельная оси х, проекция Fх кото- |
|
рой на ось х задана в табл. Д1. |
|
Считая груз D материальной точкой, найти его закон движения, т. е. |
|
зависимость х = f(t), где х = |
АD. Определить величину скорости груза |
в момент времени t1 = 1 c. |
|
Д1.0 |
Д1.1 |
Д1.2 |
Д1.3 |
Д1.4 |
Д1.5 |
|
Рис. 5.3 |
79
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д1.7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
45o |
|
|
|
|
|
Д1.8 |
|
|
|
|
Д1.9 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3. Окончание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица Д1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
m, кг |
|
VA, м/с |
|
|
|
|
FX, H |
|||
|
условия |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
3 |
|
|
12 |
|
|
|
12sin (2t) |
|||
|
1 |
2 |
|
|
20 |
|
|
|
– 16cos (2t) |
|||
|
2 |
8 |
|
|
10 |
|
|
|
|
2t2 |
||
|
3 |
3 |
|
|
18 |
|
|
|
|
3t |
||
|
4 |
6 |
|
|
15 |
|
|
|
– 12cos (4t) |
|||
|
5 |
4 |
|
|
12 |
|
|
|
16cos (4t) |
|||
|
6 |
1 |
|
|
15 |
|
|
|
– 9sin (3t) |
|||
|
7 |
2 |
|
|
20 |
|
|
|
18cos (3t) |
|||
|
8 |
1 |
|
|
16 |
|
|
|
|
4sin (2t) |
||
|
9 |
3 |
|
|
18 |
|
|
|
12cos (2t) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|