5. Основные термодинамические процессы и их уравнения

Согласно правилу (7) если у нас есть переменные (T,S), то следует умножить на якобиан, содержащий (P,V)

здесь мы использовали правило (6)

К полученному выражению еще раз применим правило (7) Только для удобства, предварительно его модернизируем

Давайте рассмотрим другой вывод уравнения политропы. Для этого воспользуемся формулой (1а)

и соотношениями (2) и (2а), из которых следует

тогда легко получить(следует учесть соотношение dQ=CdT)

и подставим в нашу формулу

Изохорический процесс.

P=const

В этом случае C= Cv

n = CP − C = ± ∞ , CV − C

Р/Т = const — закон Шарля.

Из показателя политропы

п= (СР—С)/(CV—С)

выразим теплоемкость

C = CP − nCV

1− n

Это значит, что на РV плоскости область политроп, проходящих через заданную точку и соответствующих процессам с отрицательной теплоемкостью, лежит внутри угла, образованного изотермой и адиабатой, проходящими через ту же точку (рис. 16).

Диаграмма для идеального газа

n=0 – изобара

n=± – изохора

n=1 – изотерма

n=γ – адиабата

Этот результат совершенно естествен, так как на адиабате к газу вообще не подводится тепло и С = 0,

На изотерме к газу подводится количество тепла, как раз достаточное, чтобы компенсировать работу, произведенную газом для идеального газа

E=E(T) и при

Т = const имеем

dE=0, δQ=δA и C = δdTQ = ± ∞

Для промежуточных политроп при расширении газа 0 <δQ < δА и

dE = δQ -δ А = CvdT<0.

Следовательно, dT<0 и C = δdTQ < 0

Полученные выше результаты не являются универсальными:

Замечание: Поскольку для одноатомного идеального газа теплоемкости СV и Ср не зависят от температуры и являются постоянными, то для него (и только для него) изохорный и изобарный процессы являются политропными.

Т.О. Уравнения равновесных процессов можно изображать в виде графиков (диаграмм) на плоскости с соответствующими координатными осями. Одними из наиболее употребительных в термодинамике являются рабочие диаграммы, которые изображаются на плоскости с координатными осями V (ось абсцисс) и Р (ось ординат). Элемент площади на этой плоскости изображает работу.

Через каждую точку на плоскости V, Р можно провести изотерму и адиабату.

Наклон этих кривых к оси абсцисс определяется соответственно производными

(дP/дV)T и (дР/дV)P,

которые вычисляются из термического уравнения состояния и уравнения адиабаты данного вещества.

Для изотермы идеального газа

(дP/дV)T =-P/V,

а для его адиабаты

,

поэтому

(13)

абсцисс всегда круче изотермы. (см. рис. 4).

Можно показать, что соотношение (13) справедливо не только для идеального газа, но и для