Зоны френеля

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение дифракции Френеля на круглом отверстии и свойств зонной пластинки.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: маломощный непрерывный лазер, металлическая пластинка с набором круглых отверстий различных диаметров, две собирающие линзы, зонная пластинка, экран, линейка, оптическая скамья с набором рейтеров.

1. Теоретическая часть [1¸6]

1.1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Под дифракцией света обычно понимают отклонения закономерностей распространения света от законов, предписываемых геометрической оптикой. В явлениях дифракции, как и в явлениях интерференции, проявляются волновые свойства света. Дифракцию можно наблюдать, например, когда на пути распространения света находятся препятствия, т.е. непрозрачные тела произвольной формы (экраны) или когда волновой фронт искусственно ограничен. Тщательный опыт показывает, что вместо резкой границы между светом и тенью (как предсказывает геометрическая оптика) получается сложная картина распределения освещенности, состоящая из темных и светлых участков – дифракционных полос. Теория дифракции света дает строгое обоснование геометрической оптике и определяет условия ее применимости. Математически строгое решение дифракционных задач на основе волнового уравнения (или уравнений Максвелла) с граничными условиями, зависящими от характера препятствий, как правило, представляет значительные трудности. Поэтому применяются приближенные методы решения задачи о распределении света вблизи границы между светом и тенью, основанные на принципе Гюйгенса – Френеля.

Пусть A – источник света, а s – произвольная замкнутая поверхность, охватывающая A. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля, в любой точке, находящейся вне поверхности s, световая волна, возбуждаемая источником A, может быть пред­ставлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, которые «излучаются» элементарными источниками, непрерывно рас­пре­де­лен­ными вдоль вспомогательной поверхности s. Иными словами, вне поверхности s распространяющаяся пер­вич­ная волна может быть заменена системой когерентных вторичных волн, интерферирующих при наложении [1]. Принцип Гюйгенса-Френеля является приближением, наиболее пригодным для описания дифракции коротких волн (когда длина волны много меньше характерных размеров препятствий). При формулировке принципа не уточняются граничные условия для напряженностей электромагнитного поля (например, не различаются металлический и диэлектрический экраны) и не учитывается векторный характер поля. Для решения задач по нахождению распределения интенсивности света при дифракции на непрозрачных экранах с отверстиями делаются два предположения (граничные условия Кирхгофа) [2]:

1. непроницаемые части экрана не являются источниками вторичных волн;

2. в отверстии точки волнового фронта являются такими же источниками вторичных волн, какими они были бы при отсутствии непроницаемых частей экрана.

1.2. Зоны Френеля [2]

Рис. 1

Пусть A – источник сферической волны, S – волновой фронт в некоторый момент времени, R – радиус кривизны этого фронта (рис.1). Найдем интенсивность в точке P с помощью принципа Гюйгенса – Френеля. Разобьем поверхность S на кольцеобразные зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны (в разрезе это соответствует точкам M₁ ,M₂ , …, M_m) до P отличались на l/2 (эти зоны называются зонами Френеля):

(1)

Из рис.1 видно, что радиус m–й зоны Френеля r_m (m=0;1;2;…) может быть получен из соотношения:

(2)

Исключая величину d_m и пренебрегая слагаемыми ~l² ввиду их малости, получаем:

(3)

Можно показать, что площади всех зон Френеля примерно одинаковы:

(4)

В случае пренебрежения кривизной поверхности это не вносит существенной ошибки, если радиусы зон Френеля много меньше радиуса кривизны волнового фронта. Обычно это справедливо для очень большого числа зон Френеля.

1.3. Метод векторных диаграмм

Разделим каждую из зон, в свою очередь, на большое число N участков. Между началом и концом зоны фаза меняется на p, а между малыми участками – на d = p/N . Пусть E₀ – амплитуда волны, приходящей в точку наблюдения P от каждого участка; а фаза волны, приходящей из точки D в точку P – равна нулю. Комплексная амплитуда волны в точке P от центральной зоны Френеля с учетом интерференции равна:

Рис. 2

(5)

Аналитическое сложение амплитуд можно заменить графическим построением, изображая комп­лекс­ную амплитуду в виде вектора (рис.2). При увеличении числа разбиений до бесконечности ломаная кривая превращается в плавную. Длина вектора DM₁ пропорциональна амплитуде вол­ны в точке P, когда открыта вся центральная зона Френеля. Аналогично продолжая построение, можно получить кривую, по которой легко определить амплитуду волны (и ее интенсивность), зная соотношение диаметров открываемого отверстия и зон Френеля. При строгом равенстве амплитуд в (5) складываемых колебаний от элементарных участков результирующая амплитуда от двух открытых соседних зон была бы равна нулю, т.е. вторичные волны в результате интерференции погасили бы друг друга, но увеличение номера зоны приводит к уменьшению амплитуд вторичных волн (например, в (4) мы этим пренебрегли). Поэтому полученная кривая не замыкается, а имеет вид спирали. Зависимость амплитуды поля в точке P от радиуса отверстия показана на рис.3.

Рис. 3

Если на пути световой волны стоит непрозрачный круглый экран, то за экраном в его тени на оси возникает светлое пятно, называемое пятном Пуассона. Объяснение существования светлого пятна вытекает из рассуждений по методу зон Френеля. Экран закрывает некоторое число зон Френеля начиная с центральной. Однако следующие зоны после последней из закрытых создают в точке P освещенность, значение которой можно рассчитать с помощью спирали. Т.о., получается, что волна как бы огибает непрозрачный экран. Интенсивность пятна Пуассона весьма слаба при больших размерах непрозрачного экрана. Кроме того, необходимо, чтобы свет обладал достаточно большой степенью когерентности.

1.4. Зонная пластинка

Закроем все нечетные зоны, оставив открытыми четные (или наоборот). В результате получится пластинка, называемая зонной пластинкой. Из рис. 2 видно, что амплитуды поля в точке P будут определяться суммой сонаправленных векторов и т.д. Следовательно, в точкеP на оси происходит значительное увеличение интенсивности света по сравнению с интенсивностью в точке P при полностью открытом фронте (примерно в m² большее, чем дает отверстие в одну зону [3] ), т.е. в этой точке свет фокусируется, а зонная пластинка ведет себя как линза. Найдем фокусное расстояние f такой линзы. Будем считать, что лучи падают на зонную пластинку параллельно оси системы, т.е. R= ¥. Тогда точка P является фокусом. Формула (3) примет вид:

(6)

Следовательно фокусное расстояние равно:

(7)

Формула такой линзы принимает вид:

(8)

т.е. аналогична известной формуле тонкой линзы. В отличие от обычной линзы зонная пластинка имеет несколько фокусов на оси системы в зависимости от количества открытых зон. Отметим, что и расположение зон Френеля на волновом фронте зависит от геометрии рассматриваемой системы.