2. Декомпозиция отношений. Первая, вторая и третья нормальные формы.

Отношение (таблица) находится в некоторой нормальной форме, если удовлетворяет заданному условию.

Отношение находится в первой нормальной форме тогда и только тогда, когда оно содержит только скалярные значения. Коддом были определены первая, вторая и третья НФ, вторая НФ более желательна, чем первая и т.д. Бойсом и Коддом переработана 3НФ и в более строгом смысле названа нормальной формой Бойса-Кодда. Есть еще четвертая, определена Фейгином, а так же пятая – проективно-соединительная.

Процедура нормализации включает декомпозицию данного отношения на другие отношения. Декомпозиция должна быть обратимой. Она проводится с помощью теоремы Хеза:

Пусть R{A, B, C} есть отношение, где A, B, C – атрибуты этого отношения. Если R удовлетворяет зависимости A->B, то R равно соединению его проекций {A, B} и {B, C}.

• - некоторая функциональная зависимость.

Пример:

Важную роль играет неприводимая слева функциональная зависимость, например ФЗ {код_детали, код_города, город}может быть записана без атрибута код_города, то есть {код_детали}->город. Последняя ФЗ является неприводимой слева.

Одна из целей проектирования БД – получение НФБК и форм более высокого порядка. Первая, вторая и третья НФ являются промежуточным результатом.

Отношение находится в 1НФ тогда и только тогда, когда все используемые домены содержат только скалярные значения.(каждая ячейка содержит одно значение)

Отношение находится в 2НФ тогда и только тогда, когда оно находится в 1НФ и каждый не ключевой атрибут неприводимо зависит от первичного ключа. (устраняет столбцы, зависящие от части первичного ключа)

Отношение находится в 3НФ тогда и только тогда, когда оно находится в 2НФ и каждый не ключевой атрибут не транзитивно (то есть отсутствует какая-либо зависимость между столбцами не являющимися первичными ключами) зависит от первичного ключа.

Если в нашем примере, убрать связь между именем детали и количеством, ввести дополнительный независимый атрибут (DD) в качестве потенциального ключа, то получим НФБК.

D – деталь, P- поставщик.

3. Записать алгоритм поиска экстремума функции

f(x₁ x₂)=x²₁x₂+(x₂- 4)² методом наискорейшего спуска.

1. Ввод функции f (x1, x2) и стартовой точки X⁰ (x₁⁰, x₂⁰)

2. Ввод точности вычислений .

3. k=0; // номер итерации

4. Вычисление антиградиента S^k функции f(x1,x2) в точке X^k

^// численный расчет производных

5. Поиск коэффициента , из условия, что он доставляет минимум функции

Для этого необходимо локализовать отрезок [h₁, h₂] и провести на нем минимизацию любым одномерным методом, например золотым сечением. Локализация отрезка выполняется интуитивным методом.

6. k=k+1;

7. Рассчитываем новую точку X^k

8. Рассчитываем критерий остановки. Если

^{, то пункт 9, иначе пункт 4.}

9. Конец поиска, точка X^k - доставляет минимум функции f.

Билет 30

1.Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения. Понятие сжимающего отображения.

2. Декомпозиция отношений. Первая, вторая и третья нормальные формы.

3. Написать алгоритм вычисления определенного интеграла методом трапеций.

I = x³ cosx dx

1.Метод простой итерации для решения нелинейного уравнения. Понятие сжимающего отображения.

Метод итераций.

Пусть требуется решить уравнения вида f(x)=0 (1), где f(x) - непрерывная функция.

Чтобы методом итераций найти решение уравнения (1) его необходимо преобразовать к виду x=(x) (2). Зададим начальное приближение x₀ и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим значение х₁. Подставив значение х₁ в правую часть уравнения (2) получим х₂. Продолжая этот процесс неограниченно получим последовательность приближений к корню x^k+1= (x^k), k  0 (3)

Условие сходимости метода.

Теорема. Пусть в некоторой -окрестности корня x функция  дифференцируема и удовлетворяет неравенству

|'(x)| g, где 0 < g < 1 - константа.

Тогда независимо от выбора начального приближения x⁽⁰⁾ из указанной -окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности и справедлива следующая оценка погрешности: ||xⁱ⁺¹-xⁱ||. Неравенство (5) означает, что метод простой итерации обладает линейной скоростью сходимости.

Геометрическая интерпретация метода.

На рис.1 (а) видно, что корень уравнения (1) является абсциссой точки пересечения графиков двух функций y=x и y=(x). В случаях (а) и (б) метод простой итерации сходится при произвольном начальном приближении. В случаях (в) и (г) метод расходится при любом начальном приближении. Замечено, что в случаях (а) и (б) |'(x)|<1, а в случаях (в) и (г) |'(x)|>1.

Сжимающее отображение.

Понятие с.о. позволяет решать вопрос о сходимости итерационного процесса аналитически, а не геометрическими построениями.

Возьмем непрерывную (x), заданную на отрезке [a;b]. Каждой т. x Î [a;b] соответствует y=(x) на оси ординат.

Т.е. функция(x) задает отображение отрезка [a;b] на оси ординат. Чтобы сравнить образ отрезка с самим отрезком необходимо отобразить точки на оси Оy через прямую y=x на ось Оx. Если образ отрезка [a;b] является частью [a;b], то (x) отображает [a;b] в себя. Построим последовательность [a;b]; [a;b]; [a;b] и т.д. Если после каждого отображения отрезок уменьшается в М>1 раз, то отображение называется сжимающим.

Расстояние между двумя т. x1 и x2=|x2-x1|. Условие сжатия формулируется: отображение (x) является сжимающим на отрезке [a;b] , если существует 0<x<1 и для любых двух точек x1, x2 [a;b] выполняется неравенство: |(x2)- (x1)| < |x2-x1|,  = 1/М.