1.3.2.3. Учет систематической и случайной ошибок

Выгоднее всего процесс измерения физической величины строить так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической ошибкой, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Однако это не всегда можно сделать и на практике могут существовать три случая:

• ошибка измерения определяется систематическими ошибками;

• ошибка измерения определяется случайными ошибками;

• систематическая и случайная ошибки близки друг к другу и в одинаковой степени влияют на результат измерений.

1. Если ошибки отдельных измерений определяются погрешностями измерительных приборов, то можно дать только оценку максимальной ошибки. Теория случайных ошибок здесь не применима.

Предположим что измеряемая величина , а погрешность ее определения -_Y. Учитывая вышесказанное можно записать

_Y = ₁+₂+...+_n , (18) .

т.е. ошибка суммы всегда равна сумме модулей ошибок определения отдельных слагаемых.

2. Если ошибки отдельных измерений определяются случайными ошибками необходимо использовать закон сложения случайных ошибок. Если измеряемая величина Y является суммой (или разностью) двух величин Х₁ и Х₂, а - дисперсии этих величин, тоили

. (19) .

Средняя квадратичная ошибка суммы (или разности) двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых, из чего следует, что для нахождения суммарной ошибки необходимо складывать не сами ошибки, а их квадраты.

Из закона сложения ошибок следует два основополагающих вывода:

1) Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Предположим, что , тогда ошибка суммы () будет равна

,

откуда

.

Иначе говоря, общая ошибка возрастает на 10%, если одна из двух составляющих общей ошибки в два раза меньше другой. Это означает, что для увеличения точности измерения величины Yнам необходимо стремиться к уменьшению большей ошибки, уменьшение меньшей ошибки позволит улучшить точность измерения величиныYне более чем на 10%.

2)Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Пусть Х₁,Х₂,Х₃, …,Х_n– результаты отдельных измерений, причем каждое из них характеризуется одной и той же дисперсиейS². Пусть величинаYравна среднему арифметическому этих величин, т.е.

.

Дисперсия этой величины в соответствии с(19)определяется как

.

Так как Y– среднее арифметическое из всех величинХ_i, то можно записать

.(20).

Выражение (20) иллюстрирует закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, если мы хотим повысить точность измерений в 2 раза, необходимо провести не одно, а четыре наблюдения, чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число наблюдений в 9 раз, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений.

3. Если известны систематическая _Х и случайная S_X составляющие абсолютной погрешности измерения физической величины (- дисперсия измерений), то в качестве верхней границы суммарной ошибки можно принять

. (21) .

Действительно, мы можем утверждать с доверительной вероятностью  более 0,95, что результаты измерения не будут отличаться от действительного (истинного) значения на величину .

Не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной ошибок решается разными путями. Иногда рекомендуется вообще отказаться от нахождения суммарной ошибки и в качестве меры погрешности измерений указывать две ошибки – систематическую и случайную.

Однако если этого сделать нельзя, можно воспользоваться следующим правилом:

• считаем, что систематическая ошибка, как и случайная, распределена по нормальному значению;

• если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,997 мы должны принять, что _Х соответствует утроенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (22) .

• если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,95 мы должны принять, что _Х соответствует удвоенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (23) .

• если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,68 мы должны принять, что _Х соответствует значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (24) .

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 4). Общая погрешность равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются _Х и S_X.

Как и в предыдущем случае при определении целесообразности сложения погрешностей необходимо анализировать соотношение их величин. Это связано с тем, что уже при разнице погрешностей в два раза суммарная погрешность лишь на 10% больше большей погрешности. То есть если бы меньшей погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую суммарную погрешность. Учитывая то, что в реальном случае, когда число измерений не превышает 5 – 10 измерений погрешность измерения физической величины определяется с точностью ~20 – 30% и редко достигает 10% (для n ~ 50) можно считать, что общая ошибка определяется большей погрешностью, а меньшей погрешностью можно вообще пренебречь (подробнее см. в п.п. 1.5).

На основании вышесказанного для условий реального эксперимента (число измерений n = 5 – 10) можно сформулировать следующие правила проведения измерителных операций при определении физической величины:

Правило 1: Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная , то случайной погрешностью можно пренебречь, т.е. считать, что. Так как_Х не уменьшается при увеличении количества измерений n достаточно проведение трех - четырех измерений для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений и промахи отсутствуют.

Правило 2: Систематической погрешностью можно пренебречь (т.е. считать, что) если случайная погрешность, более чем в 2 раза, превышает систематическую (). Для уменьшения случайной погрешностиS_Xнеобходимо проводить максимально возможное число измерений.

Правило 3: Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать, пользуясь формулами (22-24) или графически (расчетную формулу необходимо выбирать сообразно с необходимой величиной доверительной вероятности полученного результата, а число измерений необходимо по возможности увеличивать для уменьшения величины случайной погрешности S_Х).

На рис. 5 приведена обобщенная схема действий при выборе методики определения погрешности при измерении физических величин.