1.3.2.2. Оценка величины случайной погрешности

Если промахи отсутствуют и систематические ошибки устранены (сведены до минимума), то точность измерений определяется только погрешностью измерительных приборов и случайными ошибками.

Как правило, в решении поставленной задачи можно выделить сводится два случая:

1. случайные ошибки меньше погрешности измерительных приборов;

2. случайные ошибки больше погрешности измерительных приборов.

Случай 1. Если в результате измерения физической величины в одинаковых условиях получен ряд значений одинаковых в пределах точности, обеспечиваемой измерительными приборами, то ошибка измерения определяется погрешностью измерительных приборов. Измерение физической величины при этом проводится только один раз (для исключения промаха рекомендуется проводить два измерения) а результат записывается в виде

, (9) .

где Х_i - результат измерения, а _Х - абсолютная погрешность из

мерительного прибора, _Х – относительная погрешность измерения величины Х.

Запись результата измерения Х = Х_i  _Х означает только то, что истинное значение измеряемой физической величины лежит, где то в интервале от Х - _Х до Х + _Х.

Случай 2. Если результат измерения физической величины определяют случайные ошибки, то оценка погрешности измерения физической величины разделяется на два этапа:

• оценку истинного значения измеряемой величины Х_и;

• и определение случайной погрешности измерения этой величины _сл.

Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть в процессе измерения физической величины в одинаковых условиях получен ряд значений Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х _n, различие которых превышает величину погрешности измерительных приборов.

Как показано в математической теории погрешностей, для большинства измерений наилучшей оценкой истинного Х_и (или правильнее действительного Х_д) значения измеряемой величины, является среднее арифметическое Х_ср ряда значений искомой величины, полученных путем повторных измерений этой величины (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс “ср”, например Х_ср или черта над величиной, например )^*.

(10) .

где n - количество проведенных измерений величины Х.

Пример: Найти среднее арифметическое для шести измерений линейного размерах= 2,327; 2,335; 2,315; 2,320; 2,314 и 2,321 мм. При вычислениях использовать выражения(10) и (10а).

1. Воспользуемся выражением (10)

=

=мм.

2. Воспользуемся выражением (10а), дляХ₀выберем значение 2,325 мм.

=

=мм.

Хорошо видно, что мм, что подтверждает правомочность использования любой их представленных формул.

Оценка случайной погрешности измерения физической величины

При записи величины случайной ошибки необходимо указывать два числа:

• величину самой ошибки или так называемый доверительный интервал _Х;

• величину доверительной вероятности или коэффициента надежности .

Доверительным интервалом (_Х) называется интервал значений от до .

Доверительной вероятностью или коэффициентом надежности ()^* называется вероятность того, что результат измерения физической величины отличается от истинного ее значения на величину не более чем _Х.

Чем большим выбирается доверительный интервал, т.е. чем больше задаваемая величина _Х, тем вероятнее, что результаты измерения физической величины не выйдут за его пределы.

Задав одну из этих величин, т.е. _Х или , можно используя методы теории случайных ошибок найти другую.

Указание только величины ошибки (доверительного интервала) без указания соответствеющей ей доверительной вероятности лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Доверительная вероятность определяет степень надежности полученного результата.

Удобнее всего случайную ошибку определять, используя понятие стандартной или средней квадратичной ошибки S_n, доверительная вероятность которой соответствует 0,68. Доверительная вероятность удвоенной среднеквадратичной ошибки 2S_n равна 0,95, утроенной 3S_n – 0,997^*.

Средней квадратичной ошибкой единичного измерения S_n называется величина

, (11)

где n - число измерений, Х_i - значение измеряемой величины при i - ом измерении, - среднее значение измеряемой величины^**.

Пример: Найти среднеюю квадратичную ошибку единичного измерения для шести значений линейного размерах= 2,327; 2,335; 2,315; 2,320; 2,314 и 2,321 мм, полученных в результате независимых повторных измерений. При вычислениях использовать выражения(11) и (11а).

1. Воспользуемся выражением (11), среднее арифметическое значение для х_iприn = 6

мм.

=

=мм.

2. Воспользуемся выражением (11а), дляХ₀выберем значение 2,325 мм.

Определим вначале =

0,000366,

затем

==

=.

Окончательный результат находим из соотношения

= 0,007899 0,0079мм.

Видно, что в пределах точности вычисления мм, поэтому выбор выражения для вычисления средней квадратичной ошибки единичного измерения (11) или (11а) зависит от удобства проведения математических операций.

Если число измерений очень велико, то величина S_n стремиться к некоторому постоянному пределу

. (12) .

Строго говоря, именно величина  и называется средней квадратичной ошибкой, а ее квадрат - дисперсией измерения.

Средней квадратичной ошибкой среднего арифметического ряда измерений называется величина^*

. (13) .

Если известна  или , то для любого заданного доверительного интервала, используя формулу Гаусса [4] можно вычислить доверительную вероятность.

Отношение величины средней квадратичной ошибки к среднему значению измеряемой величины выраженное в процентах носит название коэффициента вариации w^**

(точнее )(15) .

Пусть Х и - истинное и среднее значение измеряемой величиныХ_i, _Х – ошибка ее измерения и  - вероятность того, что результат измерения отличается от истинного (действительного ) значения на величину, не большую чем _Х. Это принято записывать как

или

.

На практике, как правило, число измерений невелико (например, 10-20), вследствие этого значения  и , полученные из экспериментальных данных являются весьма приближенными. Известны только величины или средней квадратичной ошибкиS_n (11) или средней квадратичной ошибки среднего арифметического Х_i ряда измерений n (13).

Для получения наиболее достоверных значений границ доверительного интервала _Х при малом числе измерений n, используется так называемый коэффициент Стьюдента^* t_n, устанавливающий связь между числом измерений n и величиной доверительной вероятности .

, (16) .

где S_n – средняя квадратичная ошибка, - средняя квадратичная погрешность среднего арифметического ряда изn измерений, откуда

. (17) .

В таблице 2 приведены значения коэффициентов Стьюдента, рассчитанных по числу измерений n и величине доверительной вероятности , в которой значение коэффициента находится на пересечении строки, соответствующей известному n и столбца, соответствующего искомой  [4].

Пример:Измерить длину некоторого цилиндра с помощью микрометра, обеспечивающего точность измерения линейного размера 0,005 мм.

В роцессе измерений получены семь значений Х_iв мм: 7,420; 7,415; 7,430; 7,420; 7,445; 7,410 и 7,425.

Используя соотношение (10)находим среднее арифметическое значение

Таблица 2	Коэффициенты Стьюдента tn		0,999	636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,6 4,5 4,3 4,2 4,1 4,0 4,0 4,0 3,9 3,9
			0,99	63,7 9,9 5,8 4,6 4,0 3,7 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9
			0,98	31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,0 2,9 2,8 2,8 2,7 2,7 2,7 2,6 2,6 2,6 2,6 2,6 2,5
			0,95	12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,2 2,2 2,2 2,2 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 2,1
			0,9	6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7
			0,8	3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3
			0,7	2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
			0,6	1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,88 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87 0,86 0,86 0,86 0,86
			0,5	1,00 0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,70 0,70 0,70 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69
			0,4	0,73 0,62 0,58 0,57 0,56 0,55 0,55 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,54 0,53 0,53 0,53
			0,3	0,51 0,45 0,42 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39
			0,2	0,33 0,29 0,28 0,27 0,27 0,27 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16
			0,1	0,16 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13
		n		2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

мм.

По формуле (11)находим

мм.

Если случайная ошибка измерения линейного размера равна средней квадратичной ошибке мм, то доверительный интервал равенмм, а.

Вероятность того, что среднее арифметическое попадает в этот интервал, определяется следующим образом. По формуле(16)находим значение коэффициента Стьюдента

.

В таблице 2 [4] в шестой строке (для n= 7)t_,7 =1,3находится между столбцами с доверительной вероятностью₁= 0,7 (t_7 = 1,2) и₂= 0,8 (t_7 = 1,5).Если предположить, что между значениямиизначенияменяются линейно, то длядоверительная вероятность будет равна ~0,73^*. Это значение превышает предполагаемое значение₇=0,68. Из выражения(16)видно, что это не зависит от величины средней квадратичной ошибки, так как отношение будет оставаться неизменным. Изменить величину коэффициента Стьюдента может только изменение количества измеренийn.Для шести измерений величина его будет равна1,22, для пяти –1,12. В таблице 2 в четвертой строке (дляn = 5)t_,5 =1,12 находится между столбцами с₁= 0,6 (t_5 = 0,94) и₂= 0,7 (t_5 = 1,2). Используя предположение, высказанное выше можно оценить₅~0,64.

Если случайная ошибка измерения линейного размера (доверительный интервал) равена удвоенной средней квадратичной ошибкемм, томм, , а доверительная вероятность – соответственно₂ ~ 0,92.

Если случайная ошибка измерения линейного размера (доверительный интервал) равен утроенной средней квадратичной ошибкемм, томм, , а доверительная вероятность – соответственно₃ ~ 0,97.

Полученные результаты подтверждают утверждения, приведенные выше.

Окончательный результат можно записать как мм, для₁ ~ 0,64;

мм, для ₂ ~ 0,92;

мм, для ₃ ~ 0,97.

Коэффициент вариации

.

Последняя запись означает, что действительное значение X лежит между значениями 7,408 и 7,442 мм с доверительной вероятностью 0,97, т.е. результаты около 97% всех измерений лежат внутри указанного интервала и только 3% всех измерений не войдут в него.