1.4.3. Необходимое число измерений

Для уменьшения случайной ошибки или случайной составляющей суммарной ошибки () измерения физической величины существует две возможности:

 улучшение точности методики измерения, т.е. уменьшение величины ошибки , получаемой в процессе эксперимента;

 увеличение числа измерений для определения среднего значения физической величины, т.е. определение средней квадратичной ошибки среднего арифметического (14).

Положим, что все методические возможности минимизации случайной ошибки  исчерпаны, а систематическая ошибка измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами равна _Х.

Понятно, что случайную ошибку целесообразно уменьшать до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Это происходит тогда, когда доверительный интервал , определенный с выбранной степенью надежности, существенно меньше величины систематической ошибки _X, т.е.

_Х  _X. (42) /

В этом случае доверительная вероятность  и величина случайной ошибки (доверительный интервал) _Х выбираются так, что соотношение (42) выполняется уверенно. Строго оценить разницу _Х и _Х весьма трудно, т.к. необходимо учитывать погрешность определения погрешности (в простейшем случае иметь в виду выражение (41)). Определять общую ошибку с точностью более 10% в большинстве случаев не имеет смысла. Это означает, что достаточно, если (на практике, когда число измерений n = 5-10, достаточно если или даже ).

Существуют таблицы, связывающие доверительный интервал, выраженный в долях средней квадратичной ошибки

, (43) .

доверительную вероятность  и число измерений физической величины n (см. таблицу 5).

Рассмотрим первый случай – ошибка измерения физической величины отягчена случайной погрешностью.

Пример: Измерен диаметр шарика. Средняя квадратичная ошибка единичного измерения (доверительный интервал)и равнаS_n = 3,0 мкм. Сколько измерений необходимо провести, чтобы получить ошибку не более 1,0 мкм с надежностью 0,95?

Из условия задачи . В тпблице 5 в колонке для= 0,95 находим, что для= 0,3 число измеренийn = 46.

Для того, чтобы = 0,68 (нормальная ошибка) достаточно провести 10 измерений (nмежду столбцами с= 0,65 и= 0,7.

Для того чтобы ошибка измерения была в два раза больше, т.е. не превышала 2,0 мкм (для = 0,95) необходимо сделать ~16 измерений (= 0,67).

Если ошибка измерения физической величины содержит обе составляющие – систематическую _Х и случайную _Х.

В первую очередь необходимо определить способ представления суммарной погрешности:

, (44) .

. (45) .

Пример: Диаметр шарика измерен с помощью микрометра,обеспечивающего точность измерения _Х = 1 мкм. Средняя квадратичная погрешность отдельного измерения S_n = 2,3 мкм.

Сколько измерений необходимопровести, чтобы общая ошибка не превышала 1,5 мкм с надежностью 0,95?

1.1. Воспользуемся соотношением(44). Если общая погрешность измерения диаметра шара1,5 мкм, аΔ_Х= 1 мкм то величина_Хнедолжна превышать 0,5 мкм.

Таблиц 5 Необходимое число измерений для получения случайной ошибки  с доверительной вероятностью 		0,999	17	50	74	130	280	1100	4300	110000
		0,99	11	31	46	78	170	700	2700	66000
		0,95	7	18	27	46	100	390	1500	38000
		0,9	5	13	19	32	70	270	1100	27000
		0,85	5	11	16	27	58	192	820	23000
		0,8	4	9	13	22	46	151	700	19000
		0,75	4	8	11	17	38	130	500	14500
		0,7	3	6	8	13	29	110	470	11000
		0,65	3	6	7	11	24	94	394	9500
		0,6	2	5	6	9	20	78	278	7500
		0,5	2	3	4	6	13	47	180	4500
			1,0	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,05	0,01

Из условия задачи получаем . По таблице 5 в колонке= 0,95 для = 0,3 находимn = 46 и для= 0,2 соответственноn= 100. Если предположить, что между = 0,3 и 0,2 зависимостьn()линейна, то для = 0,22n  80, т.е. для того, чтобы ошибка измерений не превышала 1,5% необходимо сделать около 80 измерений.

1.2.Рассмотрим случай, когда систематическая и случайная ошибка примерно равны по величине. Положим =_Х= 1 мкм,S_n = 2,3 мкм, = 0,44. Из таблици 5 видно, что при= 0,95n22-23 если предположить, что между= 0,4 и 0,5 число измерений меняется линейно.

В обоих случаях число измерений получилось хотя и большое, но вполне выполнимое.

Так как таблицы не всегда содержат интересующие нас значения иногда удобнее пользоваться графическими зависимостями n() для определенных значений доверительной вероятности (см. рис. 5 и 6).

2. Воспользуемся соотношением (45). Условие задачи то же, что и в случае 1. Из (45) следует илимкм.

Из условия задачи . Из таблици 5 видно, что при= 0,95 и= 0,5n= 18.

Мы получили результат близкий к случаю 1.2. Отсюда можно сделать вывод, о важности выбора способа суммирования составляющих частей общей погрешности измерения физической величины, а также оценки погрешности определения погрешности.

Рассмотрим задачу, где в качестве основныхс параметров используются относительная ошибкаи коэффициент вариацииwизмерения физической величины, для чего воспользуемся соотношенем

,(46).

которое не противоречит (43), так как

Пример:коэффициент вариации w для некоторого измерения составляет 1%. Относительнаяая ошибка измерения  = 0,1 % .

Сколько измерений необходимо проделать, чтобы случайная ошибка практически не играла роли?

Так как ошибки выражены в одних и тех же единицах, то можно представить в виде отношения(46)

Для того, чтобы случайной ошибкой можно было пренебречь необходимо, чтобы она как минимум в два раза была меньше систематической ошибки, т.е.

Из таблицы 5 находим для доверительной вероятности = 0,95 и= 0,05 находимn= 1500.

Очевидно, что на практике такое число измерений выполнить весьма трудно.

Из примеров видно, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной ошибки только в том случае, если средняя квадратичная погрешность не более, чем в несколько раз превосходит систематическую ошибку (реально это возможно если   ). При больших значениях для существенного уменьшения роли случайной ошибки нужны уже сотни или тысячи измерений.

В таких случаях для уменьшения погрешности получения результата необходимо радикально менять методику измерений с тем, чтобы уменьшить величину случайной ошибки.