13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы

Для того чтобы решение по явной разностной схеме было устойчиво, необходимо выбирать интервалы дискретизации из следующего условия:

.

Конечно-разностная схема называется устойчивой, если погрешности, допущенные в процессе вычислений, затухают или остаются малыми при увеличении номера текущего слоя. Рассмотрим условия устойчивости явной разностной системы на примере уравнения диффузии:

.

Будем искать решение в следующем виде.

где А–const,= –²,.

Отметим, что e^ix=cos(x)+isin(x), т. е. физически решением уравнения являются функции, которые представляют собой волны, графиком которых являются кривые (гармоники), затухающие приt.

Рассмотрим конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие исходное дифференциальное уравнение.

.

Очевидно, что затухание гармоник во времени должно иметь место и для разностного уравнения.

Решение данного уравнения будем искать в виде:

,

где: tⁿ=(n-1)t,

x_k=(k-1)x.

Если положить

, то

.

Следовательно, при происходит затухание гармоники во времени, т. е. процесс решения устойчив. ЕслиS>1, то происходит потеря устойчивости решения. Для конечно-разностного уравнения, подставив формулу предполагаемого решения, получим:

Разделим левую и правую части уравнения на:

G=AS^n-1e^{i(k-1)x}, получим:

.

Рассмотрим

следовательно,

,

.

Для устойчивости вычислительной схемы достаточно потребовать, чтобы S1, т. е.

Правое неравенство выполняется всегда.

.

Рассмотрим случай, когда sinпринимает максимально возможное значение – 1:

Для получения устойчивого решения уравнения, сначала задаются одним из параметров (например, величиной х) и затем, исходя из полученного условия определяется величина другого значенияt.

13.4. Пример выполнения

Рассмотрим процесс расчета профиля концентрации вещества по пространственной и временной координате для объекта, описываемого следующим уравнением:

,

где С– концентрация вещества; D– коэффициент диффузии;t – время;x– пространственная координата.

Начальные условия:

Граничные условия:

,

Расчет проведем в среде Mathcad.

1. Сначала зададим исходные данные для расчета:

–коэффициент диффузии,

– начальная концентрация,

_{– начальное значение пространственной координаты,}

_{– конечное значение пространственной координаты,}

_{– шаг дискретизации по пространственной координате.}

2. Выбираем шаг дискретизации по времени так, чтобы выполнялось условие устойчивости явной разностной схемы:

_{– шаг дискретизации по времени,}

_{– начальное время,}

_{– конечное время,}

3. Рассчитываем количество точек разбиения временного и пространственного интервалов для метода сетки:

,

– для временного интервала,

,

– для пространственного интервала.

4. Рассчитаем массивы временного и пространственного интервалов (индекс k– порядковый номер элементов в массиве пространственной координаты, индексn– порядковый номер элементов в массиве времени):

5. Используя инструменты программирования Mathcad, составим функцию, реализующую расчет профиля концентраций по явной разностной схеме:

6. Осуществим вызов данной функции и возврат её результатов в массив C:

7. Выведем на экран содержимое массивов x,tиC. Для этого после имени массива поставим знак «=».

8. Представим полученную зависимость концентрации от времени и длины в виде объемного графика (рис. 105):

Рис. 105. Изменение концентрации по времени и длине

9. Представим распределение концентрации в конкретных сечениях (длина фиксирована) по времени (рис. 106):

Рис. 106. Изменение концентрации по времени

10. Представим распределение концентрации в конкретные моменты времени в сечениях (время фиксировано) по длине (рис. 107):

Рис. 107. Изменение концентрации по длине

11. Проведем анализ полученных результатов с точки зрения физического смысла.

Рассмотрим процесс изменения концентрации во времени в нескольких выбранных сечениях:

• на одной границе (x=0) концентрация постоянна, что соответствует первому граничному условию;

• на другой границе (x=L) градиент концентраций отсутствует, т. к. значения рассчитанных концентраций в двух последних сечениях (приx=Lиx=L–dx) равны, что соответствует второму граничному условию;

• во всех сечениях происходит увеличение концентрации со временем (рис. 106), т. к. происходит поступление вещества внутрь объекта через его границу благодаря диффузии, причем в сечениях, близких к границе x=L, концентрация увеличивается значительно позже, чем в сечениях, близких к границеx=0.

Рассмотрим процесс изменения концентрации по длине в определенные моменты времени:

• в начальный момент времени (t=0) концентрация в объекте равна нулю во всех сечениях, за исключением границыx=0, что соответствует начальному условию;

• в любой из рассматриваемых моментов времени (рис. 107) концентрация на границе x=0 превышает концентрацию на границеx=L, но чем больше проходит времени, тем меньше становится разница концентраций, что говорит о постепенном проникновении вещества внутрь объекта.

Таким образом, проведенный анализ результатов, представленных в виде таблиц и графиков, показывает, что результаты соответствуют физическому смыслу задачи.