7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами

Цель работы:

1. Изучение приближенных методов решения систем линейных уравнений, а также получение навыков реализации и исследование эффективности работы этих методов на ЭВМ.

2. Получение практических навыков разработки математической модели технологического объекта на примере моделирования реактора идеального смешения, использование результатов моделирования для исследования процессов, протекающих в реакторах указанного типа непрерывного действия.

7.1. Постановка задачи

1. Для химического реактора идеального смешения непрерывного действия, функционирующего в изотермическом стационарном режиме, разработать математическую модель.

2. Используя методы простых итераций и Зейделя, а также один из точных методов (согласно варианту), рассчитать концентрации реагентов на выходе реактора и исследовать зависимость последних от времени пребывания веществ в зоне реакции.

3. Осуществить сравнительный анализ эффективности использованных методов.

4. Вид химической реакции, протекающей в реакторе, константы скоростей отдельных стадий, концентрации исходных реагентов и точные методы решения систем линейных уравнений получить согласно варианту (пункт 7.7, табл. 7). Время пребывания  изменяется в диапазоне 1<<10 (с шагом 1), степень точности получения решения численными методами =10^-3.

7.2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. Разработать математическую формулировку реактора идеального смешения непрерывного действия, работающего в изотермическом режиме (составить уравнения материального баланса).

4. Осуществить расчет концентраций реагентов на выходе реактора как функций времени пребывания. Для этого осуществить решение системы линейных уравнений.

5. Осуществить решение системы точным методом. Выбрать метод в соответствии с вариантом.

6. Преобразовать систему в нормальный вид. Осуществить проверку сходимости.

7. Осуществить решение системы, используя методы простых итераций и Зейделя.

8. Составить схемы алгоритмов и написать программы в среде Mathcadили Си++ (в помощь см. пункт 1.4).

9. Отладить программы и получить результаты расчетов.

10. Результаты расчетов представить графически.

11. Провести анализ полученных результатов (на предмет соответствия хода полученных кривых виду химической реакции, а также сравнения точности и скорости сходимости использованных при выполнении задания методов).

12. Оформить отчет.

7.3. Краткие теоретические сведения

7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия

Реактор смешения представляет собой чаще всего цилиндрическую емкость со сферическим или коническим днищем, снабженную мешалкой (рис. 42).

Рис. 42. Внешний вид реактора

Внутри может происходить химическая реакция. Часть аппарата покрыта рубашкой, в которую поступает теплоноситель с целью отвода теплоты от содержимого или, наоборот, его нагрева.

Под идеальностью смешения понимается отсутствие внутри реактора градиента концентраций и температур, т. е. в любой точке в объеме реактора в конкретный момент времени концентрация вещества или его температура одинаковы.

Реактор идеального смешения может работать в нестационарном и стационарном режимах.

Математическое описание реактора смешения можно получить, исходя из уравнений модели идеального смешения, если учесть скорость образования продуктов в реакционной зоне. Если положить, что в процессе химического превращения число молей реагентов не изменяется, то можно записать:

(35)

где V –объем реактора смешения, м³;,– вектор концентраций продуктов на входе и выходе из реактора соответственно, доли;t– время, ч;– скорость подачи продукта в зону реакции, м³/ч;W – скорость образования вещества (продукта), ч^-1.

При наличии теплового эффекта реакции и теплообмена с внешним носителем необходимо использовать соотношение, определяющее изменение температуры в зоне реакции. Уравнение теплового баланса модели идеального смешения представляется в следующем виде:

(36)

где с_р– удельная теплоемкость реагирующей смеси, Дж/(м³С);Т⁰– температура реагентов на входе,C;T– температура реагентов на выходе, C;Т_х– температура теплоносителя,C;Q– тепловой эффект реакции, Дж/(м³ч);k_т – коэффициент теплопередачи, Дж/(м²чС);F– площадь поверхности теплообмена, м².

Уравнения (35) и (36) представляют собой математическое описание реактора идеального смешения в случае нестационарных режимов. При совместном решении этих уравнений можно получить графики зависимости концентрации реагентов и температуры в реакторе от времени в нестационарных условиях.

Стационарные условия работы реактора смешения достигаются, если концентрации веществ на входе реактора постоянны во времени. Тогда концентрации веществ внутри и на выходе аппарата также постоянны во времени Процесс является изотермическим, если температура внутри реактора T=const. Тогда можно записать:

. (37)

В этом случае уравнения (35) и (36) преобразуются к виду:

, (38)

, (39)

где – среднее время пребывания реагентов в аппарате, ч.

Задачей, возникающей при расчете реакторов смешения, работающих в стационарном режиме, является определение концентраций веществ на выходе реактора для заданных концентраций на входе и времени пребывания. В случае линейной кинетики (для реакций первого и псевдопервого порядка) и при изотермическом режиме работы реактора (T=const) соотношения (38) представляют собой систему линейных уравнений. В результате решения полученной системы уравнений будут рассчитаны концентрации реагентов на выходе.