6.2.2. Метод Гаусса

В основе метода Гаусса используются элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы с целью приведения ее к более простому виду (например, треугольному), решение которой не представляет труда. В качестве таких преобразований используются:

а) вычитание из одной строки другой, умноженной на константу, отличную от нуля;

б) перестановка строк;

в) умножение строки на число, отличное от нуля.

Пусть имеется система линейных уравнений 3-го порядка:

и матрица коэффициентов системы не имеет нулевых диагональных элементов, и ее определитель отличен от нуля. Тогда решение может быть получено следующим образом.

1. Разделим все элементы первой строки на с₁₁ (включая y):

2. Исключим элементы первого столбца из второго и третьего уравнений системы (элементы c₂₁и c₃₁). Для этого элементы первой строки умножим на c₂₁и c₃₁, т. е. получим:

и

3. Затем из элементов второй и третьей строки вычтем соответствующие элементы полученных уравнений, т. е.

Введем переобозначение для второго и третьего уравнений системы:

,

где ,,,

,,.

4. Вновь полученную вторую строку разделим на d₁₁:

5. Исключим элемент d₂₁из третьей строки. Для этого элементы второй строки умножим наd₂₁:

.

6. Затем из элементов третьей строки вычтем элементы полученного уравнения.

7. Из последнего уравнения найдем a₂, из второгоa₁и из первого –a₀.

,

,

.

Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Имеем систему (32):

1. Зададим системную переменную, исходные значения матрицы системы и вектора свободных членов

2. Сформируем промежуточные матрицы для переобозначения:

3. Решим систему и высветим результат:

4. Осуществим проверку решения:

Результаты совпали, следовательно, решение верно.

6.2.3. Метод обращения матриц

Пусть имеется система линейных уравнений

(33).

Если уравнение (33) умножить слева и справа на обратную матрицу C^–1

,

то, учитывая, что

,

где E – единичная матрица, получим формулу для решения системы методом обращения матриц:

.(34)

Сложность этого метода заключается в нахождении обратной матрицы С^-1, которая рассчитывается следующим образом.

Находится транспонированная матрица С^Т.

Если , то.

Затем рассчитывается матрица алгебраических дополнений:

,

где С_i,j– алгебраические дополнения элементовС_i,j(), которые находятся следующим образом: из транспонированной матрицы вычеркиваетсяi-я строка иj-й столбец, определитель оставшейся части записывается в элемент матрицы алгебраических дополненийС*_i,j. Знак «–» ставится перед определителем в том случае, если сумма индексов определителя является нечетным числом.

,,,

,,,

,,.

Элементы обратной матрицы ищутся из элементов матрицы алгебраических дополнений по формуле:

,

где det C– определитель матрицы С.

В Mathcadсуществует встроенная функция для расчета обратной матрицы. Она вызывается нажатием кнопкиInverse(Инверсия) на панелиMatrix(Матрицы) (рис. 41).

Рис. 41. Вызов вычисления обратной матрицы

Так как согласно (34) ,

имеем

,

где z_ij– элементы обратной матрицы С^-1.

Проведя умножение матрицы на столбец, получим выражения для каждого коэффициента:

,

,

.

Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом обращения матриц.

Имеем систему (32):

1. Зададим системную переменную, исходные значения матрицы системы и вектора свободных членов

2. Транспонируем матрицу:

3. Найдем матрицу алгебраических дополнений:

4. Найдем обратную матрицу и осуществим проверку с помощью встроенной функции Mathcad:

5. Найдем решение системы:

6. Осуществим проверку решения:

Результаты совпали, следовательно, решение верно.