![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
При построении математических моделей кинетики химических превращений полагаем, что в реакционном объеме исследуемого объекта отсутствуют процессы массопередачи и фазовых превращений. Следовательно, изменение концентраций реагентов являются результатом только химической реакции, а интенсивность источника массы i-го компонента может быть определена как скорость химической реакции по этому реагенту.
Скоростью химической реакцииназывается изменение (уменьшение или увеличение) числа молей реагентов в результате химического взаимодействия в единицу времени на единицу объема для гомогенных реакций или на единицу поверхности (массы) для гетерогенных процессов.
Понятие скорость образования реагентаудобно для характеристики только простейших химических реакций типаAB. В случае многостадийной химической реакции, в которой наряду с исходными реагентами и продуктами реакции получают некоторые промежуточные вещества, для характеристики состава реакционной смеси необходимо задание концентраций более чем одного реагента. Это требует включения в состав математического описания реактора уравнений, описывающих изменение концентраций всех реагентов. Последнее требование не является строго обязательным, так как соответствующие уравнения могут быть записаны только для «ключевых» реагентов, а концентрации остальных могут быть выражены через них простыми соотношениями. В общем случае дляm- стадийной реакции, в которой участвуютnреагентов, задача описания механизма сложной химической реакции определяется как задача выбораkнезависимых «ключевых» реагентов.
Для многостадийных реакций вместо скорости образования реагента в химической реакции вводится понятие скорости элементарной стадии химической реакции.
Скорость элементарной стадии определяется как скорость образования реагента на данной стадии, отнесенная к его стехиометрическому коэффициенту в химическом превращении на рассматриваемой стадии. Стехиометрическому коэффициенту присваивается знак «+», если реагент образуется на данной стадии и знак «–» в противоположном случае. Тогда скорость образования любого i- го компонента в результате сложной реакции определяется как:
,
, (40)
где ij– рациональные числа, называемые стехиометрическими коэффициентам;rj– скоростьj-й элементарной стадии.
В случае линейной кинетики химической реакции:
Согласно
закону действующих масс, скорость
реакции пропорциональна исходной
концентрации реагирующих веществ. Так,
для реакции с линейной кинетикой
будем иметь:
,
,
где k1 – коэффициент пропорциональности или константа скорости реакции, с-1, xA –- концентрация вещества A в зоне реакции.
7.3.3. Пример построения математической модели реактора идеального смешения непрерывного действия для сложной реакции с линейной кинетикой
Рассмотримреакцию, протекающую по представленной
кинетической схеме (рис. 43) в реакторе
идеального смешения непрерывного
действия.
Рис. 43. Схема реакции
Скорости отдельных стадий характеризуются уравнениями:
;
;
.
Разработаем математическую модель реактора, работающего в изотермическом стационарном режиме, с целью расчета концентраций компонентов на его выходе. Для однозначного задания состава реагирующей смеси необходимо выбрать n–1 ключевых компонентов (где n – число реагентов), например A, B, P. Концентрация компонента T может быть выражена через эти концентрации. Скорости образования реагентов A, В, Р выражаются следующим образом:
,
,
,
В общем виде модель реактора идеального смешения непрерывного действия для изотермического стационарного режима работы была получена ранее – система (38).
Записав систему (38) для каждого из реагентов, получим систему уравнений вида:
или
или
(41)
Систему (41) можно представить в нормальном виде:
(42)
где
Таким образом, значения концентраций xA,xB,xPмогут быть определены решением системы линейных уравнений одним из методов, рассмотренных ниже.