13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы

Цель работы:

Освоение приемов и методов расчета диффузионных и теплообменных процессов в объектах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, с использованием численного метода явной разностной схемы с последующей реализацией на ЭВМ.

13. 1. Постановка задачи

В соответствии с вариантом рассчитать профиль изменения температуры или концентрации вещества по пространственной и временной координате (пункт 13.7). Для расчета использовать численный метод явной разностной схемы.

13.2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. Представить математическую формулировку задачи и используемых методов её решения.

4. Составить блок-схему алгоритма и написать программу решения задачи в среде Mathcad или СИ++.

5. Отладить программу и получить результаты расчетов.

6. Представить результаты в виде таблиц и графиков.

7. Провести анализ полученных результатов.

8. Оформить отчет.

13.3. Краткие теоретические сведения

13.3.1. Вывод уравнения диффузии для неподвижной среды

Рассмотрим процесс диффузии вещества из раствора с концентрацией С₀=constв растворитель (концентрация данного вещества в начальный момент времени равна нулю), ограниченный проницаемыми пластинами (рис. 101).

Изучим процесс диффузии вещества в растворителе. Перенос вещества происходит благодаря молекулярной диффузии (т. к. среда неподвижна) за счет разницы концентраций в растворе и растворителе.

Рис. 101. Процесс диффузии вещества

Опытным путем установлено, что скорость распространения вещества j, т. е. количество вещества, проходящего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой:

,

где f– площадь поверхности рассматриваемого сечения, м²;D– коэффициент диффузии, м²/ч,С– концентрация вещества, моль/м³.

Рассмотрим элемент объема (рис. 102), заключенного между сечениями х₁их₂(х₂-х₁=х).

Рис. 102. Процесс диффузии в элементе объема

Количество вещества, проходящего через сечение с абсциссой х₁за времяt, будет равно:

.

То же самое для сечения х₂:

.

Приток вещества в элементарном объеме за времяtбудет равен:

.

За счет притока вещества в элементарном объеме (f^.х) произошло изменение концентрации на величину с, т. е. мы можем записать материальный баланс для элементарного объема:

Разделим левую и правую часть уравнения на f^.х^.tи учитывая, что

,, получим

, (158)

т. е. мы получили уравнение, описывающее перенос массы в неподвижной среде в направлении х. Его необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

Начальные и граничные условия полученного уравнения, исходя из постановки задачи, могут быть заданы следующим образом:

.

Если бы в задаче было сказано, что одна пластина непроницаема для вещества (правая пластина на рис. 101), то начальные и граничные условия должны быть заданы следующим образом:

Условие означает, что скорость изменения концентрации по координате на границе равна 0.

13.3.2. Решение уравнений в частных производных

Уравнение вида

(159)

называется уравнением в частных производных 1-го порядка.

Если решение обыкновенных дифференциальных уравнений является функцией одной переменной, представляющей собой кривые на плоскости y–x, то решение дифференциального уравнения в частных производных представляет собой криволинейные поверхности в 3-х мерном пространстве (t, x, y). При этом численное решение рассматриваемого уравнения представляет собой табличное задание функцииy(t, x).

t	x	y
t0	x0	y0
t1	x1	y1
. . .	. . .	. . .
tn	xn	yn

Многие задачи механики, аэродинамики, химической технологии приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений с частными производными, которые в настоящее время составляют одну из наиболее быстро развивающихся отраслей численного анализа. Кроме того, возможности современных ЭВМ позволяют ставить такие задачи, решение которых просто немыслимо без использования вычислительных машин.

Нельзя сказать, что аналитический подход к решению задачи полностью утратил свое значение. Он остается необходимым и очень мощным инструментом изучения упрощенных, так называемых модельных задач. Изучение хорошо подобранной модельной задачи позволяет делать некоторые заключения о характере поведения решения неупрощенной, исходной задачи.

Мы будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с двумя неизвестными (независимыми) переменными, которые можно записать в виде:

, (160)

где A, B, C, D, E, G, F– являются только функциями от независимых переменных (х, у), что удовлетворяет условию линейности уравнения (160).

Уравнение (160) подразделяется на три типа, в зависимости от знака определителя, состоящего из элементов уравнения:

При АС – В²<0 уравнение (160) называется гиперболическим, при АС – В²= 0 – параболическим, при АС-В²>0 – эллиптическим. Рассмотрим простейшие уравнения всех выше указанных типов.

Гиперболический тип.Волновое (гиперболическое) уравнение описывает поперечные колебания струи, продольное колебание стержня, электрические колебания в проводе, колебания газа и т. д. имеет вид:

, (161)

где а²– скорость распространения волны в данной среде;

t, x– координаты.

Параболический тип.Уравнение теплопроводности-диффузии (параболический тип) описывающее процессы распределения тепла в пространстве, фильтрации жидкости и газа в средах, диффузии в различных средах и т. д. имеет вид:

, (162)

где а²– коэффициент теплопроводности (диффузии), характеризующий скорость распространения тепла (вещества) в пространстве вдоль направлениях.

Эллиптический вид (уравнение Лапласа). Уравнением такого типа описывают стационарное тепловое состояние объекта, гидродинамику процессов диффузии, оно имеет следующий вид:

. (163)

В уравнениях (161)–(163) искомая функция u(t,x)зависит лишь от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения для функций с большим числом переменных, например уравнение теплопроводности–диффузии:

, (164)

описывающее распространение тепла вещества в пространстве, т. е. в результате решения мы получим u(t,x,y,z).