5.3.1. Метод выбранных точек

Из табл. 6 произвольно выбирается kточек (по числу неизвестных коэффициентов). Параметрыa₁ a₂  , a_k зависимости (12) находятся, исходя из следующегоусловия: в выбранных точках экспериментальные рассчитанные по зависимостиf(x)значения должны совпадать.

Например, для квадратичной зависимости (полинома 2-го порядка)

(13)

с целью определения параметров a₀ a₁ , a₂необходимо выбрать любые три точки (допустим, первые три). Затем, подставив табличные значения в (13), получить систему линейных алгебраических уравнений:

. (14)

Решение полученной системы уравнений (14) относительно a₀ a₁, a₂позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости. Решить систему можно точным методом (Крамера, Гаусса, обращения матриц).

Линеаризация аппроксимирующей зависимости

Допустим, известна структура функции, описывающей табличные данные, и она имеет следующий вид:

, (15)

где z, – известные константы.

Для определения коэффициентов a₀, a₁, a₂необходимо выбрать три экспериментальные точки, а затем составить систему уравнений. Однако полученная система уравнений будет нелинейна относительно искомых коэффициентов и её решение сопряжено с рядом вычислительных трудностей.

Чтобы избежать возникших трудностей, необходимо привести зависимость (15) к линейному виду относительно искомых коэффициентов. Для этого нужно её прологарифмировать.

,

и обозначить

,

тогда получим

. (16)

Зависимость (16) линейна относительно А₀, a₁, a₂. Её следует использовать для нахождения коэффициентов. Необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений, решить её относительноА₀, a₁, a₂, а затем рассчитать коэффициента₀:

.

5.3.2. Метод средних

Параметры a₁ a₂  , a_k аппроксимирующей зависимости (12) находятся, исходя из следующегоусловия (сумма невязок между экспериментальными и расчетными данными на всем интервале аппроксимации должна быть равна нулю, рис. 28):

, (17)

где y_i^э – экспериментальные данные;

– расчетные данные;

i – порядковый номер точки;

m– число экспериментальных точек.

Рис. 28. Метод средних

(ye – экспериментальные данные, ysr – расчетные данные)

Невязкой называется разница между экспериментальным и расчетным значением. В зависимости от взаимного положения экспериментальной и расчетной кривой, одни невязки положительны, а другие отрицательны. Но в целом расчетная кривая должна пройти так, чтобы невязки в сумме давали нуль.

Для примера выберем ту же зависимость (13)

.

Необходимо найти неизвестные параметры a₀ a₁, a₂. Для этого все измерения, заданные в табл. 6, разбиваются на группы, обычно равные. Количество групп равно количеству неизвестных параметров, т. е.k.

Обозначим Mкак целую часть от деления:

.

Для данной аппроксимирующей зависимости М примерно равно m/3, таблица экспериментальных данных разбивается на три группы.

Тогда для каждой группы, исходя из условия (17), можно записать уравнения:

или

(18)

Решение полученной системы уравнений (18) относительно неизвестных параметров a₀, a₁, a₂ позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.

Теперь применим метод средних для нахождения параметров зависимости (15)

.

Как и в предыдущем методе, приведем зависимость (15) к линейному виду относительно неизвестных коэффициентов и получим

.

Тогда вместо зависимости (17)

в качестве условия поиска коэффициентов используем

или

. (19)

Разобьём экспериментальную табл. 6 на 3 группы, для каждой группы, исходя из условия (19), получим систему линейных уравнений:

или

(20)

Решаем систему (20) относительно А₀, a₁, a₂. Затем рассчитаем коэффициента₀:

.