- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
8.3.6. Метод простых итераций
Для решения методом простых итераций уравнение надо привести к нормальному виду, т. е. графически решением уравнения, является точка х=х* (рис. 57), в которой совпадают значения абсциссы и ординаты функции (x).
Стратегия метода заключается в том, что выбирается некоторое начальное приближение х(0)[a,b] и строится последовательность приближений {x(k)} по рекуррентной формуле:
,k=1, 2, …
Рис. 56. Алгоритм поиска корня уравнения методом Ньютона
Рис. 57. Геометрическая интерпретация метода простых итераций
При преобразовании уравнения f(x)=0 к нормальному виду x=(x) получаем две функции – (x)иg(x)=x.
График g(x)представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом 45.
Вид графика (x)зависит от того, каким образом было проведено преобразование к нормальному виду.
Корень уравнения f(x)=0 соответствует абсциссе точки пересеченияфункций (x)иg(x).
Поиск корня осуществляется так.
Выбирается начальное приближение x1(например, точкаa– точка 1).
На графике (x)строится точка, соответствующая x1(точка 2), и рассчитывается значение(x1)– точка 3.
Затем осуществляется переход с кривой (x)на прямуюg(x)(точка 4).
Так как у функции g(x)=xзначение аргумента совпадает со значением функции, то можно найти значение следующего аргументаx2(точка 5).
Зная x2, можно найти соответствующую точку на кривой(x)(точка 6), т. е. осуществить переход с прямойg(x)на кривую(x).
Далее повторяются аналогичные действия, заключающиеся в последовательном переходе с кривой (x)на прямуюg(x)и наоборот. При этом рассчитываются значения аргументов и функций в получающихся точках перехода (точки 7–12).
Из рис. 57 видно, что этот повторяющийся процесс приведет к получению последовательности приближений к решению {x(k)}, стремящейся к точке пересечения функций(x)иg(x), т. е. к корню.
Для того чтобы получить решение уравнения методом простых итераций, должны выполняться три условия:
каждый член последовательности приближений к решению {x(k)} должен принадлежать отрезку [a,b];
последовательность {x(k)} должна быть сходящейся;
пределом последовательности {x(k)} должно быть значениех*.
Для выполнения первого условия достаточно соблюдение неравенства:
a (x) bx[a, b].
Для выполнения второго условия должно соблюдаться следующее неравенство:
|x(k+1) – x(k) |<|x(k) – x(k-1)|,
но, поскольку
x(k+1)=j(x(k)) и x(k)=j(x(k-1)),
тогда неравенство будет выглядеть:
|j(x(k) )– j(x(k-1) )|<|x(k) – x(k-1)|или
.
В соответствии с теоремой Коши для сходящейся последовательности
.
Тогда по определению производной:
.
Получаем достаточное условие сходимости приближений к корню уравнения
|j¢(х)|<1"хÎ[a, b]. (64)
Решение уравнения методом простых итераций считается полученным с заданной степенью точности , когда два последовательных приближения различаются на величину, не превышающую.
x(k) – x(k+1). (65)
Преобразование уравнения f(x)=0 к видух=(x)неоднозначно, поэтому для одной и той же функцииf(x)могут быть получены различные выражения(х).При выполнении преобразований следует иметь в виду, что может получиться выражение, не удовлетворяющее условию сходимости (64). В этом случае надо подобрать другое нормальное выражениех=(x). Рекомендуется уравнениеf(x)=0 преобразовать к виду:
x=х mf(x), т. е.(х)=х–mf(x), (66)
где m– отличная от нуля константа.
Дифференцируя (х), получим:
(х)= 1 mf(x).
Для того чтобы выполнялось условие (64)
(х)=1mf(x)1,
достаточно подобрать mтак, чтобы для"хÎ[a,b]выполнялось неравенство:
0< mf(x)< 2. (67)
Пример.
Требуется уточнить корень уравнения sin(2x) ln(x)=0 на интервале[a, b].
Тогда f(x)=sin(2x) ln(x).
Представим это уравнение в виде:
x=x m(sin(2x) ln(x).
В этом случае
(x)=x m(sin(2x) ln(x)),
(x)=1 m(2cos(2x) 1/x).
Подберем константу m так, чтобы выполнялось условие 0<mf(x)< 2.
Для этого на интервале a;b(рис. 58) постоим функциюf(x) = 2cos(2x) 1/x.
Рис. 58. График функции f(x) = 2cos(2x) 1/x
По приведенному графику получаем значение М=f(1,5)=2,647, определяющее максимальное значение функцииf(x) на интервалеa; b.
Если принять значение константы m=1/М, то для всехх1; 1,5функцияmf(x)удовлетворяет условию (67) (рис. 59).
Рис. 59. График функции mf(x) =m(2cos(2x)1/x)
Таким образом, мы добились того, чтобы выполнялось условие сходимости (64) (рис. 60).
Рис. 60. График функции (x)=1m(2cos(2x) 1/x)
В результате будем искать с помощью метода итераций точку пересечения функций (x)=xm(sin(2x) ln(x)) и g(x)=х (рис. 61).
Рис. 61. Поиск корня методом итераций по функциям (x) иg(х)
После подбора выражения(x) можно приступить к реализации алгоритма поиска корня (рис. 62).