Zad_opt

ной волны 500 нм находится на оси системы в фокальной плоскости линзы. 1) На каком расстоянии r от билинзы следует расположить экран, чтобы на нем наблюдать максимально возможное число интерференционных полос? Определить ширину Λ интерференционных полос и их число N. 2) Оценить допустимую немонохроматичность δλ источника света, чтобы можно было наблюдать все полосы. 3) Оценить допустимый размер D источника света.

Ответ: 1) r ≈ 1 м, Λ ≈ 0,05 мм, N ≈ 200; 2) δλ ≤ 5 нм; 3) D ≤ 25 мкм.

Задача 3.3.6. Рассеянный монохроматический свет с длиной волны 0,6 мкм падает на тонкую стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5. Угловое расстояние между соседними максимумами, наблюдаемыми в отраженном свете под углами, близкими к 45°, равно 3°. Определить толщину пластинки.

Ответ: 15 мкм.

Задача 3.3.7. Полосы равной толщины, получающиеся при освещении тонкого стеклянного клина (показатель преломления 1,5) рассеянным монохроматическим светом с длиной волны 500 нм, проецируются линзой на экран. Перед линзой находится квадратная диафрагма со стороной 1 см, которая отстоит от клина на расстоянии 50 см. Главная оптическая ось проецирующей системы приблизительно перпендикулярна поверхности клина. Чему равен максимальный порядок интерференционной картины на экране?

Ответ: ≈ 5600.

Задача 3.3.8. Свет с длиной волны λ = 550 нм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете ширина интерференционных полос на поверхности клина равна 0,21 мм. Найти: 1) угол между гранями клина; 2) степень немонохроматичности света δλ⁄λ, если интерференционные полосы исчезают на расстоянии 1,5 см от вершины клина.

Ответ: 1) 3′; 2) 0,014.

Задача 3.3.9. С помощью плосковыпуклой линзы из материала с показателем преломления 1,6 наблюдают кольца Ньютона в от-

раженном свете с длиной волны 589 нм. Найти фокусное расстояние линзы, если радиус третьего светлого кольца равен

1,1 мм.

Ответ: 137 см.

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, главы

IV,VI, VII.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука, 1980, глава III.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§26,27.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, раздел 5.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т.

Кн. IV. Оптика / Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ;

ЛАНЬ, 2006, §3.

6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §§3 −5.

7.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §4.2.

8.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика

решения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981, раздел IV.

Глава 4

ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ

4.1. Теоретическое введение

При распространении монохроматической световой волны с достаточно широким (по сравнению с длиной волны) фронтом в однородной среде форма фронта волны практически не изменяется. Если на пути такой волны возникают препятствия, которые модифицируют фронт волны (по форме или размеру) или модулируют его по фазе, то структура светового поля за такими объектами может существенно отличаться от той, которая была бы в их отсутствие. Такие явления обусловлены волновой природой света, и их принято объединять общим названием − дифракция света.

Точное решение задачи о дифракции света даже в простейших случаях сопряжено с большими трудностями. Поэтому широкое применение нашли приближенные методы расчета дифракционной картины.

Среди таких методов можно выделить метод зон Френеля. В его основе − принцип Гюйгенса, согласно которому каждая точка волнового фронта может рассматриваться как источник вторичных (сферических) волн. Френель дополнил этот принцип условием, что вторичные волны когерентны и потому могут интерферировать друг с другом. Таким образом, согласно принципу Гюйгенса– Френеля для некоторой точки наблюдения Р действие светящейся точки Р0 эквивалентно действию источников вторичных волн на любой волновой поверхности (рис. 4.1).

Относительно точки наблюдения Р сферический фронт световой волны можно мысленно разбить на так называемые полуволновые зоны Френеля (см. рис. 4.1). В этом случае волны от вторичных источников, находящихся на границах зон Френеля, будут приходить в точку наблюдения Р со сдвигом по фазе, равным π, а интенсивность света в точке Р будет зависеть от числа открытых зон Френеля (см. ниже).

Принято различать дифракцию Френеля (или дифракцию в ближней зоне), когда для точки Р открыты одна и более зон Френеля, и дифракцию Фраунгофера (или дифракцию в дальней зоне), когда открыта лишь часть первой зоны (в этом случае дифрагиро-

ванный свет характеризуется устойчивой угловой структурой, см.

гл. 5).

Рис. 4.1. Построение зон Френеля

Пусть между точечным источником Р0 монохроматического света с длиной волны λ и точечным приемником излучения Р расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса R, центр которого находится на линии Р0Р (рис. 4.2).

Рис.4.2. Распространение световой волны от точечного источника Р0 через отверстие в экране радиуса R

Если радиус сферической волновой поверхности Σ, касающейся границы круглого отверстия в экране, равен r0, то комплексная амплитуда UΣ светового поля, возбуждаемого источником Р0, в любой точке на поверхности Σ равна

U eikr0 UΣ = 0 r0 ,

где U0 – величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от источника; k = 2πλ – волновое число. Вклад в

амплитуду поля U в точке Р от элемента площади dσ на поверхности Σ равен

эффициент, учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от угла χ между нормалью к волновому фронту и направлением на точку Р. В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля комплексная амплитуда поля в точке Р равна

=U0 r0 + s0 2π K0 ik1 eiks0 (eik(sR −s0 ) −1).

Пусть s = sR − s0 − разность хода для крайнего и центрального лучей, приходящих в точку Р соответственно из точек А и О, а ψ = k s − соответствующая разность фаз. Тогда

множитель, который на комплексной плоскости изображается суммой двух единичных векторов (рис. 4.3): вектора О1 и вектора с началом в точке (0, 1), направление которого задается углом ψ (отсчитывается от вертикальной оси в направлении против часовой стрелки).

то амплитуда волны в точке Р равна нулю.

С учетом полученных результатов можно выполнить следующее построение (см. рис. 4.1). Построим концентрические сферы с центром в т. Р и радиусами s0 , s0 + λ 2 , s0 + 2( λ 2),.., s0 + n( λ 2) , которые разобьют сферическую поверхность Σ на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля. Соответствующие границам зон Френеля значения разности фаз ψ будут равны

ψ = π, 2π, 3π, 4π,.., nπ,.... Если для т. Р отверстие открывает нечет-

ное число зон Френеля, то амплитуда волны в т. Р будет максимальна, если же открыто четное число зон Френеля, то амплитуда равна нулю.

Рис. 4.4. К выводу формулы для радиуса зон Френеля

Найдем радиус Rn n-й зоны Френеля при заданных расстояниях а (от источника Р0 до экрана) и b (от экрана до приемника Р). Полагая R << a,b, получим:

где r и s – соответственно расстояния от источника Р0 и от приемника Р до вторичного источника, расположенного в плоскости эк-

Отсюда площадь n-й зоны Френеля

не зависит от номера зоны, а значит, площади всех зон Френеля одинаковы. С учетом (4.6) можем записать:

т.е. разность фаз ψR для крайнего и центрального лучей пропорциональна квадрату радиуса отверстия. Формулу (4.8) можно преобразовать к виду:

число m подзон таким образом (рис. 4.5), чтобы разность фаз dψm для лучей, идущих от соседних межподзонных границ была равна dψm = mπ .

Так как в соответствии с (4.8) dψ ~ d (R2 )= R dR , то при таком разбиении площади всех подзон будут одинаковы.

Рис. 4.5. Построение векторной диаграммы для нахождения амплитуды светового поля в точке Р

На векторной диаграмме (рис. 4.5) вкладам в амплитуду дифрагировавшей волны от 1-й, 2-й, ..., m-й подзон соответствуют векторы OA1 , A1A2 ,.., Am−1O1 , которые имеют одинаковую длину

(вследствие равенства площадей подзон) и повернуты друг относительно друга на одинаковый угол dψm (из-за разбиения дуги ОО1 на

ОА1А2..Аm-1О1 может быть заменена соответствующей полуокружностью.

Выполняя аналогичное разбиение второй зоны, получим вторую ломаную, которая замкнула бы первую, если бы длины составляющих ее элементарных векторов были равны. Но поскольку при увеличении χ коэффициент К(χ) монотонно уменьшается, то уменьшается и амплитуда вторичных волн. Поэтому конец ломаной для второй зоны (точка О2) не совпадает с точкой О, а суммар-

ный вклад от второй зоны представлен вектором O1O2 , длина которого чуть меньше длины вектора OO1 . Так как направления векторов OO1 противоположны, суммарный вклад в U(Р) от первой и второй зон Френеля ничтожно мал (длина вектора OO2 много меньше, чем длины векторов OO1 и O1O2 ).

Очевидно, что учитывая вклады от всех других зон, получим векторную диаграмму, которая имеет вид скручивающейся спирали (спираль Френеля) ОО1О2О3…О∞ с центром в точке О∞. Вектор OO∞ соответствует случаю, когда для точки Р открыты все зоны

Френеля. Как видно из рис. 4.5, длина вектора OO∞ в два раза меньше длины вектора OO1 . Следовательно, если для точки Р от-

крыта только первая зона Френеля, то амплитуда электрического поля в точке Р в два раза больше, чем в отсутствие препятствия, а интенсивность − в четыре, так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля.

Поскольку при R → ∞ коэффициент Г→i , а в отсутствие препятствия амплитуда волны в точке Р равна

Теперь становится понятной роль коэффициента С в формуле

(4.5): модуль C равен амплитуде, а квадрат модуля C 2 пропор-

ционален интенсивности I0 поля в точке наблюдения Р в отсутствие препятствия. Кроме того, длина вектора OO∞ на рис. 4.5 равна

C 1. Если число открытых зон Френеля относительно небольшое ( n ~ 5 ÷10 ), то можно считать, что радиус спирали приближенно равен C , и интенсивность в точке наблюдения Р равна

I = I0 Г2 .

Для заданных а, b и R по формуле (4.8) находим ψR. Как видно из рис. 4.5,

Re Г = sin ψ

и

Im Г =1−cos ψ,

поэтому

Г2 = sin2 ψ+ (1−cos ψ)2 = 2(1− cos ψ),

аследовательно,

I (ψ)= 2I0 (1−cos ψ).

Как будет показано ниже, с помощью спирали Френеля часто удается существенно упростить решение задач по дифракции света на круглых отверстиях и дисках.

4.2. Задачи с решениями

Задача 4.2.1. Диафрагма с круглым отверстием радиуса R находится между точечным источником света и экраном, на котором наблюдают дифракционную картину. Найти длину волны λ излучения источника, если при смещении экрана в сторону диафрагмы освещенность в центре дифракционной картины осциллирует и достигает максимума, когда расстояние от экрана до диафрагмы

равны b1 и b2 (b1 > b2).

Решение

В соответствии с формулой (4.7):

1 В дальнейшем для упрощения записи длину вектора OO∞ будем обозначать С = I0