Zad_opt

Глава 6

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ СПЕКТРА

6.1. Теоретическое введение

Изучение атомов и молекул, анализ свечения различных веществ требуют знания их спектров испускания или поглощения. В экспериментах разложение сложного излучения в спектр осуществляется с помощью спектральных приборов, действие которых может быть основано на разных физических принципах. Основной частью спектрального прибора является диспергирующий элемент, который осуществляет пространственное разделение излучения разных длин волн.

Спектральные приборы подразделяют на 3 группы.

1)В призменных спектральных приборах используется зависимость показателя преломления от длины волны (дисперсия).

2)Диспергирующим элементом дифракционных спектральных приборов служит дифракционная решетка.

3)В интерференционных приборах с высокой разрешающей силой используется многолучевая интерференция.

Принципиальная схема спектрального прибора представлена на рис. 6.1. Источник излучения L через осветительную систему (в

нашем случае это линза О1) освещает узкую входную щель S, находящуюся в фокальной плоскости объектива О2 (называемого коллиматорным). Параллельный пучок света падает на диспергирую-

щий элемент D. С помощью объектива О3 (называемого камерным) получают монохроматические изображения щели в его фокальной плоскости Р.

Рис.6.1. Принципиальная схема спектрального прибора

134 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Дифракционная решетка. При дифракции на дифракционной решетке угловое распределение интенсивности имеет вид:

k = 2λπ – волновое число; b – ширина щели; d – период решетки; N

– число штрихов (щелей) решетки; ϕ – угол дифракции; I0 – ин-

тенсивность в центре картины при дифракции на одной щели шириной b.

Условие образования главных максимумов при дифракции на решетке:

Направления на главные дифракционные максимумы (углы ϕm) могут быть найдены графически, как показано на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графическое определение направлений на главные дифракционные максимумы решетки

Таблица спектральных характеристик прибора с дифракционной решеткой

(подробнее см. в решении задач)

Условие для нахождения дифракционных максимумов прибора с дифракционной решеткой:

d sin ϕm = mλ

Интерферометр Фабри–Перо

Интенсивность монохроматического излучения, прошедшего через интерферометр Фабри–Перо (ИФП), описывается формулой Эйри:

Направления на интерференционные максимумы (углы θm) в проходящем свете могут быть найдены графически, как показано на рис. 6.4.

m m-1 m-2

h

(m-2) λ2

θm-2

h

Рис. 6.4 Графическое определение направление на интерференционные максимумы ИФП

1 Если коэффициенты отражения зеркал различны и равны R1 и R2 , то

R = R1 R2 .

Таблица спектральных характеристик интерферометра Фабри–Перо

(подробнее см. в решении задач)

Условие для нахождения интерференционных максимумов в интерферометре Фабри–Перо:

2h cos θm = mλ

6.2. Задачи с решениями

Задача 6.2.1 Какой должна быть минимальная ширина Lmin дифракционной решетки с периодом d = 2 мкм, чтобы с ее помощью можно было разрешить две линии λ1 = 500 нм и λ2 = 500,05 нм во втором порядке спектра?

Решение

В соответствии с критерием Рэлея две спектральные линии могут быть разрешены, если главный максимум одной линии совпадает с ближайшим к главному максимуму первым минимумом для другой линии. В этом случае угловой размер Δϕm максимума m-го

порядка равен угловому расстоянию δϕm между максимумами m- го порядка для двух близких длин волн λ1 и

λ2 ( λ = λ2 − λ1 << λ2 ,λ1 ).

Угловую дисперсию решетки Dϕ = dϕdλ можно найти, взяв

дифференциал от обеих частей условия для главных максимумов dsinϕ = mλ по переменным ϕm и λ при постоянных d и m:

d δ(sinϕm )= m δλ .

Следовательно,

а угловое расстояние между двумя близкими спектральными линиями (Δλ << λ) в m-м порядке спектра равно:

имеют в виду угол между направлениями на максимум и на ближайший к нему минимум. В задаче 5.7 (глава 5) показано, что направления ϕm,min на минимумы, ближайшие к главным максиму-

ным ϕm и m при постоянных d и λ, получим: d δ(sinϕm )= δm λ .

Поскольку δ(sinϕm )= cosϕm Δϕm и δm = ± N1 ,

то

гдеL = Nd – ширина дифракционной решетки. Из условия Δϕm = δϕm получаем:

Lmin = mλΔλd =10 мм .

Ответ: Lmin =10 мм

Задача 6.2.2 Найти разрешающую способность R дифракционной решетки, содержащей N штрихов, в m-м порядке дифракции. Сколько штрихов должна иметь решетка, чтобы в первом порядке можно было разрешить две близкие спектральные линии

λ1 = 600 нм и λ2 = 600,12 нм?

Решение

Разрешающая способность R спектрального прибора определяется как отношение длины волны λ к наименьшей разности Δλ длин волн двух спектральных линий, которые могут быть разрешены в соответствии с критерием Рэлея:

R = Δλλ .

При решении задачи 6.2.1 было получено, что две линии разрешены, если угловой размер Δϕm дифракционного максимума

m-го порядка не превосходит углового расстояния δϕm между двумя близкими линиями. Из соотношений:

следует, что разрешающая способность дифракционной решетки равна

Это же соотношение можно получить, взяв дифференциал от обеих частей условия для главных максимумов ( dsinϕ = mλ ) по

140 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

переменным m и λ при постоянных d и ϕm (направления ϕm на максимум для λ1 и минимум для λ2 совпадают):

δ(dsinϕm )= 0 = m δλ + δm λ ,

Отсюда

R = Δλλ = − δmm = mN ,

так как δm = −1 N .

Для разрешения двух линий λ1 = 600 нм и λ2 = 600,12 нм разрешающая способность решетки должна быть не менее, чем

а следовательно, при работе в первом порядке число штрихов решетки должно быть не менее 5000.

Замечание. Разрешающая способность дифракционной решетки не зависит от периода решетки d, а определяется количеством N задействованных штрихов решетки.

Ответ: R = mN ; N = 5000 .

Задача 6.2.3. На рис. 6.5 приведены спектры источника, излучающего две близкие спектральные линии λ1 и λ2 ,

(Δλ2 << λ1 ,λ2 ), полученные с помощью трех различных дифрак-

ционных решеток. Считая порядки дифракции одинаковыми, а углы дифракции малыми, сравнить параметры решеток:

1)число штрихов N;

2)период решетки d;

3)ширину решетки L;

4)угловую дисперсию решетки Dϕ ;

5)разрешающую способность R..

Рис. 6.5. Спектры источника, излучающего две близкие спектральные линии, полученные с помощью трех различных дифракционных решеток

Решение

Из рис.6.5 видно, что угловые размеры Δϕm дифракционных максимумов связаны соотношением:

или

L1 = L2 = 2L3 .

В свою очередь, угловые расстояния δϕm между двумя близкими линиями λ1 и λ2 связаны соотношением (см. рис.6.5):

Используя соотношение (6.5) из (6.6), получаем:

N1 = 2N2 = 2N3

Поскольку Dϕ = md , то

Dϕ1 = 2Dϕ2 = Dϕ3 .

Так как разрешающая способность дифракционной решетки равна R = Nm , то

R1 = 2R2 = 2R3 .

Ответ:

1) N1 = 2N2 = 2N3 ; 2) d1 = d2 2 = d3 ; 3) L1 = L2 = 2L3 ; 4) Dϕ1 = 2Dϕ2 = Dϕ3 ; 5) R1 = 2R2 = 2R3 .

Задача 6.2.4. Дифракционная решетка содержит n = 200 штрихов на миллиметр длины. Найти зависимость угловой дисперсии решетки от длины волны в первом порядке дифракции, если свет падает на решетку: а) нормально; б) под углом θ=45° к нормали.