Zad_opt

и следовательно,

T14 d 2 =T24 .

2L

Поэтому искомое расстояние между отверстиями

L = dT12 = 2 (2000)2 = 25 см. 2T22 2 (400)2

Ответ: L = 25 см.

Задача 11.2.7. Показать с помощью формулы Вина (11.6), что максимальное значение спектральной плотности энергии теплового излучения пропорционально Т3.

Решение

Согласно формуле Вина (11.6)

uω (T )= ω3 f ω .T

При фиксированной температуре производная

∂∂ωuω = 3ω2 f + ω3 Tf ′

обращается в нуль, если

ω = ωmax = −T 3ff′((ωmax )) .

ωmax

Таким образом,

Ответ: (uω )max T 3 .

Замечание. Для спектральной плотности uλ формула Вина

имеет вид (11.7):

uλ (T )= ϕ(λλ5Т) ,

поэтому с учетом закона смещения (11.8):

(uλ )max ~ T 5 .

Задача 11.2.8. Медный шарик диаметром d помещен в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близ-

кой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т0 = 400 К. За время t=4 часа температура шарика уменьшается в η = 2 раза. Считая поверхность шарика абсолютно черной, определить его диаметр d.

Решение

При температуре Т за время dt с поверхности шарика излучается энергия

dW = σT 4 πd 2 dt .

В результате этого внутренняя энергия шарика изменяется на величину

dU = c m dT ,

где m − масса шарика, с − удельная теплоемкость. Полагая

dW = dU ,

получаем уравнение:

σT 4 πd 2 dt = c ρ πd63 dT ,

где ρ − плотность шарика.

Разделяя переменные и интегрируя по t и T, находим:

Ответ:d = 0,55 см.

Задача 11.2.9. Найти с помощью формулы Планка число фотонов dN в единице объема при температуре Т для спектральных ин-

тервалов (ω,ω+ dω) и (λ,λ + dλ).

Решение

Согласно (11.2):

du (ω,ω+ dω)= uωdω,

где в соответствии с формулой Планка (11.9):

Так как энергия фотона c частотой ω равна ω, то du (ω,ω+ dω)= dN ω .

Следовательно, число фотонов в единице объема при температуре Т:

Делая замену переменных:

ω= 2πcλ

и

dω = 2λπ2c dλ ,

для интервала (λ,λ + dλ) получим:

Задача 11.2.10. При каких температурах расхождение между значениями uω, рассчитанными по формулам Вина (11.11) и формуле Планка (11.9), для видимой части спектра (400 ≤ λ ≤ 750 нм)

не превышает 1%?

Решение

По формуле Вина (11.11):

а по формуле Планка (11.9):

Ответ: Для видимой части спектра (400 ≤ λ ≤ 750) Т ≤ 4150 К для λ = 750 нм.

Задача 11.2.11. Световая мощность излучения точечного изотропного монохроматического (λ = 589 нм) источника равна 10 Вт. Найти: а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии r = = 2 м от источника; б) расстояние R от источника до точки, где средняя концентрация фотонов равна 100 см−3.

Решение:

а) В соответствии с (11.13) на расстоянии r от точечного источника интенсивность излучения равна

P . 4πr2

где P – излучательная мощность источника.

Поскольку энергия одного фотона равна ε = hcλ , то средняя

плотность потока фотонов на расстоянии r от источника:

Pλ . 4πr2hc

При r = 2 м

j ≈ 6 1017 м−2 с−1 .

б) В случае точечного источника можно считать, что

j(R) = n(R) c ,

где n(R) − концентрация фотонов на расстоянии R от источника. Поэтому

и при n =100 см−3:

R ≈ 9 м.

Ответ: а) j ≈ 6 1017 м−2 с−1 ; б) R ≈ 9 м.

11.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 11.3.1. В спектре некоторой звезды максимуму излучения соответствует частота ≈1015 Гц. Найти температуру поверхности этого космического объекта.

Ответ: ≈10 000 К.

Задача 11.3.2. Найти температуру черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его излучательной способности, на λ = 0,5 мкм больше, чем при температуре 2500 К.

Ответ: ≈ 1750 К.

Задача 11.3.3. При какой длине волны излучательная способность абсолютно черного тела с энергетической светимостью 3,0 Вт/см2 максимальна?

Ответ: 3,4 мкм.

Задача 11.3.4. Излучательная способность Солнца максимальна вблизи длины волны 0,48 мкм. В предположении, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, оценить: 1) какую массу теряет Солнце ежесекундно за счет теплового излучения? и 2) за какое время масса Солнца должна уменьшаться на 1%?

Ответ: 1) 0,5 1010 кг/с; 2) ≈1011 лет.

Задача 11.3.5. Черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, заполнен водой, нагретой до 50°С. За какое время сосуд остынет до 10°С, если он находится внутри замкнутой

откачанной черной полости, температура стенок которой поддерживается на уровне 0°С. Масса воды в сосуде − 1 кг.

Ответ: ≈1,64 час.

Задача 11.3.6. Найти мощность Р электрического тока, необходимую для накаливания металлической нити диаметром 1 мм и длиной 20 см до температуры 3500 К. Считать, что нить излучает в соответствии с законом Стефана-Больцмана. Потери на теплопроводность не учитывать.

Ответ: Р = 5350 Вт.

Задача 11.3.7. При Т = 3500 К отношение энергетической светимости вольфрама к энергетической светимости абсолютно черного тела равно 0,35. Найти: 1) радиационную температуру Тr (температуру черного тела, энергетическая светимость которого равна энергетической светимости вольфрама при данной температуре) и 2) мощность электрического тока Р для вольфрамовой нити из предыдущей задачи.

Ответ: 1) Тr ≈ 2690 К, 2) Р ≈ 1870 Вт.

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Наука, 1976, глава XXXVI.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука, 1980, глава X.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §50.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, 9.1.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,

Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.

Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006, §12.

6.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, 6.6.

7.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика ре-

шения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. унта, 1981, раздел X.