Zad_opt

Глава 10

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ПУЧКОВ

10.1.Теоретическое введение

Ввакууме или в однородной изотропной среде (без дисперсии) могут распространяться плоские монохроматические световые волны, уравнения которых имеют вид:

E(r, t )= Е0 cos (ωt −kr + ϕ),

H (r, t )= H0 cos (ωt −kr + ϕ).

Векторы напряженности E и H электрического и магнитного полей взаимно ортогональны (рис. 10.1) и лежат в плоскости волново-

го фронта. Волновой вектор k = 2λπek ( λ – длина волны) перпен-

дикулярен фронту волны и указывает направление распространения волны с фазовой скоростью (2.17):

ω

v = k ek ,

торы E и k , называют плоскостью поляризации волны (она перпендикулярна вектору H ).

В простейшем случае, когда в любой точке волнового поля ориентация вектора

ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

поляризованную в плоскости пропускания. Интенсивность I , в соответствии с законом Малюса, равна

где θ – угол между плоскостью поляризации волны и плоскостью пропускания поляризатора (рис. 10.2). Заметим, что сумма интенсивностей

I (θ) и I (θ± π2) прошедшего через

поляроид света при двух взаимно перпендикулярных ориентациях поляроида равна интенсивности I0 па-

дающего на поляроид света.

В общем случае полностью поляризованной волны световой вектор (как и вектор H ) в любой точке волнового поля вращается с

угловой скоростью ω в плоскости волнового фронта, а его конец описывает эллипс (так называемый эллипс поляризации). В зависимости от направления вращения светового вектора различают волны с левой и правой поляризацией ( E вращается соответственно против часовой стрелки и по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне).

Выберем декартову систему координат так, чтобы волновой вектор был направлен вдоль оси Oz : k ={0, 0, k}. В этом случае в любой плоскости z = const (плоскость волнового фронта) компоненты вектора E будут изменяться во времени по закону:

причем ϕ(t)=const.

В соответствии с (10.2) уравнение траектории движения конца вектора E в плоскости волнового фронта имеет вид:

где введены обозначения: x = Ex , y = Ey , a = Ex0 , b = Ey0 . Уравнение (10.3) описывает эллипс (см. рис. 10.3), главные оси

которого (Ox′ и Oy′) ориентированы под углом θ0 к осям декарто-

вой системы координат (Ox и Oy). Если ϕ = 0 или ϕ = π, то эллипс вырождается в отрезок прямой (линейная поляризация): плоскость поляризации такой волны ориентирована под углом α к оси 0x:

Если ϕ = ±π/2 и a = b, уравнение (10.3) описывает окружность

(круговая поляризация).

Рис. 10.3. Траектория движения конца вектора Е в волне с эллиптической поляризацией

В полярной системе координат (x = r cosθ, y = r sinθ) уравнение (10.3) имеет вид:

фаз ϕ = ±π2 + πn ( n = 0,±1,±2…), то ее называют «четвертьволновой» (или «пластинкой λ4 »); если ϕ = π± 2πn , то пластику называют «полуволновой» (или «пластинкой λ2 »).

X

Рис.10.4. Прохождение линейно поляризованного света через кристалл

Если пренебречь потерями, имеющими место при прохождении света через реальную пластинку, то интенсивность волны на выходе из пластинки будет равна интенсивности падающей на пластинку волны, так как обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы в перпендикулярных направлениях. Если теперь на пути прошедшего через пластинку света поместить поля- роид-анализатор, направление пропускания которого составляет угол θ с осью Ох, то проекции компонент Ex и Ey на это направ-

ление ( Excosθ и Eysinθ соответственно) будут интерферировать.

В результате интенсивность I линейно поляризованного света на выходе из анализатора будет зависеть от углов α и θ и разности фаз

ϕ :

I (α, θ, ϕ)= I0 ×

На рис. 10.5 пунктирными линиями показаны эллипсы поляризации волны (10.14) при ϕ = π2 для случаев tgα = b a =1 3 (слева)

и tgα = b a = 2 3 (справа). Сплошными линиями показаны графики

между направлениями пропускания поляризатора и анализатора, получаем:

Рис. 10.5. Эллипсы поляризации волны (пунктир) и угловая зависимость интенсивности I(θ) линейно поляризованного света на выходе из анализатора (сплошные линии)

В частности, если β = 0 (θ = α, т.е. направления пропускания поляризатора и анализатора совпадают), то

а если β = ± π/2 (θ = α ± π/2, т.е. направления пропускания поляризатора и анализатора взаимно ортогональны), то

Как и следовало ожидать,

I + I = I0 .

Как видно из рис. 10.6, при заданной разности фаз ϕ для компонент светового вектора Ex и Ey (10.2) интенсивность I мак-

ний ϕ (сплошная линия – для скрещенных поляроидов, пунктирная

– для параллельных).

Если световая волна – неполяризованная (так называемый естественный свет), то ϕ(t) изменяется во времени случайным образом в интервале от –π до +π. При пропускании естественного света с интенсивностью I0 через поляроид на выходе получим линейно

поляризованный свет с интенсивностью I0 /2.

Степень поляризации света характеризуют параметром:

где Iп – интенсивность полностью поляризованной компоненты световой волны, Iест − интенсивность неполяризованной компоненты.

10.2. Задачи с решениями

Задача 10.2.1. Один поляроид пропускает 30% естественного света. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол θ между главными направлениями поляроидов.

Решение

Поскольку идеальный поляроид пропускает 50% естественного света, то в случае использования неидеального поляроида интенсивность линейно поляризованного света на его выходе равна

I1 = 0,5 γ Iест ,

где γ – коэффициент изотропного пропускания материала, из которого изготовлен поляроид. Так как по условию задачи

I1 = 0,3 Iест ,

то γ = 0,6 .

С учетом закона Малюса (10.1) интенсивность света на выходе второго поляроида равна

I2 = γ I1cos2θ,

где θ – угол между главными направлениями поляроидов, а по условию задачи

I2 = 0,09 Iест .

Таким образом, получаем

cos2θ = 0,5 ,

а искомый угол θ между главными направлениями поляроидов равен 45°.

Ответ: θ = 45°.

Задача 10.2.2. Смесь естественного света с линейно поляризованным анализируется с помощью николя (поляризационная призма). Определить степень поляризации света Р, если при повороте анализатора на угол α=60° из положения, соответствующего мак-

симуму пропускания, интенсивность света за николем уменьшается в η = 2 раза.

Решение

С учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса (10.2) интенсивность света за николем равна

I (θ)= 0,5 Iест + Iл cos2θ ,

где Iест и Iл – интенсивности соответственно неполяризованной и линейно поляризованной компонент, θ – угол между плоскостью поляризации линейно поляризованной компоненты и главным направлением николя.

Следовательно:

Imax ≡ I (θ = 0)= 0,5 Iест + Iл ,

Iα ≡ I (θ = α)= 0,5 Iест + Iл cos2α

где α – угол, на который поворачивают анализатор. Так как по условию задачи

и, в соответствии с (10.20), степень поляризации света:

Ответ: Р = 0,5.

Задача 10.2.3. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. При повороте поляроида из положения, соответствующего максимуму интенсивности прошедшего света, на угол α = 30° интенсивность света уменьшается на 20%. Найти отношение интенсивностей Iк и Iл соответственно циркулярно и линейно поляризованных компонент.

Решение

С учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса (10.1) интенсивность света за поляроидом равна

I (θ)= 0,5 Iк + Iл cos2θ ,