Zad_opt

Задача 1.2.10. Зрительная труба Кеплера состоит из двух собирающих линз − объектива и окуляра (рис. 1.16). Найти увеличение Г, даваемое трубой при установке на бесконечность, если диаметр D оправы объектива и диаметр d изображения оправы, которое дает окуляр,

соотносятся как d = 0,05 D.

окуляра Fок. Согласно (1.25) увеличение трубы равно

Г= fоб . fок

Как видно из рис. 1.16,

Г = Dd = 20.

Ответ: Γ = 20.

Задача 1.2.11. Две тонкие линзы из стекла с показателем преломления n = 1,5 и радиусами кривизны сферических поверхностей Rоб = 1 см и Rок = 5 см используются в качестве соответственно объектива и окуляра микроскопа, дающего увеличение Γ = 50. После изменения расстояния между объективом и окуляром на l увеличение стало равным Γ′ = 60 . Определить расстояние l .

24 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Согласно (1.19), оптические силы каждой из тонких линз равны соответственно

С учетом (1.27)−(1.29) окончательно получаем:

l ≈ (Γ′−Γ)RобRок = 2 см. 4L0 (n − n0 )2

Ответ: l = 2 см.

Задача 1.2.12. Найти с помощью геометрических построений положения фокусов и главных плоскостей для толстой выпукловогнутой линзы толщиной d = 4 см с показателем преломления n = 1,5, если оптические силы преломляющих поверхностей линзы в воздухе равныΦ1 =50 дптр, Φ2 = −50 дптр (рис. 1.18, а).

Решение

Так как по условию Φ1 = −Φ2 , то в соответствии с (1.5)

щих поверхностей 1 и 2 показано на рис. 1.18 а.

Положение переднего F и заднего F′ фокусов линзы найдем с помощью лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси ОО′. Положение главных плоскостей Н и Н′ будем искать, исходя из того, что они − сопряженные, а коэффициент поперечного увеличения для них равен 1.

Рис.1.18. а – оптическая схема толстой выпукло-вогнутой линзы; б – ход лучей через толстую выпукловогнутую линзу

а

б

Направим луч 1 (рис. 1.18 б) параллельно главной оптической оси. После преломления на поверхности 2 он переходит в луч 1', который как бы выходит из фокуса F2. Параллельно лучу 1' построим луч 2′, который пересекает оптическую ось в фокусе F′1 и после преломления на поверхности 1 переходит в луч 2″, параллельный оптической оси. Так как лучи 1' и 2' − параллельные, поэтому

а) луч 1″ пересекается с лучом 2″ в фокальной плоскости F1, а с главной оптической осью – в фокусе F линзы;

б) луч 2 (а точнее − его продолжение) пересекается с оптической осью в фокусе F′, с продолжением луча 1 − в фокальной плоскости F′2, а с продолжением луча 2″ − в главной плоскости Н′. Таким образом, плоскости Н′ и F′2 совпадают. Совпадают и плоскости Н и F1, поскольку им принадлежит точка пересечения продолжения луча 1 и луча 1″.

Для иллюстрации возможности использования других лучей, на рис. 1.18б показан ход луча 3.

Относительно вершины О1 координаты найденных точек F, H, H′ и F′ равны соответственно − 3,5 см, − 2 см, + 2 см и + 3,5 см. Эти результаты подтверждаются расчетами по соответствующим формулам.

Задача 1.2.13. Найти с помощью геометрических построений положение точки S*, сопряженной с точкой S, если для оптической системы в воздухе заданы положения главной оптической оси ОО', передней главной плоскости Н и сопряженных точек Р и Р* (рис. 1.19 а).

Решение

Поскольку среда по обе стороны от оптической системы одна и та же (воздух), то узловые точки совпадают с главными.

Рис.1.19. Положения главной оптической оси ОО', передней главной плоскости Н, точки S и сопряженных точек Р и Р*(а); построения для нахождения положения точки S*, сопряженной с точкой S (б)

Направим из точки Р два луча: луч 1 − в направлении на главную точку Н, в которой главная плоскость Н пересекается с осью ОО', а луч 2 − параллельно оси ОО'. Проведем через точку Р* луч 1′, параллельный лучу 1. Луч 1′ пересечет ось ОО' в узловой точке N′ (она же − главная точка Н′, лежащая в главной плоскости Н′). Луч 2 после пересечения с плоскостью H ′ пойдет как луч 2′ в направлении на точку Р*. Точка пересечения луча 2′ с осью ОО' совпадает с фокусом F′. Чтобы найти положение фокуса F , направим из точки Р* луч 3 параллельно оси ОО' до пересечения с главной плоскостью Н. Тогда луч 3′ , направленный на точку Р, пересечет ось ОО' в фокусе F системы.

Найдем положение точки S*, сопряженной с точкой S. Луч 4, выходящий из точки S параллельно оси ОО', после пересечения с плоскостью H' изменит направление и пойдет через фокус F' (луч 4'). Луч 5, выходящий из точки S в направлении на главную точку Н (она же − узловая точка N), позволяет построить параллельный ему луч 5', выходящий из главной точки Н′ (она же − узловая точка N′). Лучи 4' и 5' пересекаются в точке S*.

Рис.1.21. Схематическое представление оптической системы из двух тонких линз

поперечное увеличение, даваемое оптической системой, равно Г = SS′ = xf = x 1Φ ,

где S − поперечный размер объекта, а S′ − поперечный размер изображения. Поэтому, если взять тонкую линзу с фокусным расстоянием

f= Φ1 = f1 + f2 − d

ипоместить ее в передней главной плоскости Н оптической системы, то она будет обеспечивать такое же поперечное увеличение,

как и система из двух линз. В соответствии с (1.14) главная плоскость Н находится от первой линзы на расстоянииf1 f2

Задача 1.2.16. На сколько радиус кривизны R1 выпуклой поверхности выпукло-вогнутой стеклянной (n = 1,5) линзы толщиной d = 3 см должен быть больше радиуса кривизны R2 вогнутой поверхности, чтобы в воздухе линза была телескопической?

Решение

Толстая выпукло-вогнутая стеклянная линза в воздухе будет телескопической при условии:

Φ = Φ1 + Φ2 − dn Φ1 Φ2 = 0 ,