Zad_opt

закрывают идеальными скрещенными поляроидами, имеющими форму диска и кольца соответственно. Отверстие освещается поляризованным по кругу светом с интенсивностью I0. Определить интенсивность I света в точке Р.

Ответ: I = 2I0 .

Задача 10.3.8. Параллельный пучок неполяризованного монохроматического света падает на пластинку λ⁄2. Интенсивность света в некоторой точке наблюдения Р за пластинкой равна I0. Найти интенсивность I света в точке Р, если часть пластинки в виде диска, закрывающего для точки Р полторы зоны Френеля, повернуть вокруг оси пучка на угол 90°.

Ответ: I = 5I0 .

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, главы XVI-

XVIII.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Физматлит, 1980, глава VII.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§42−45.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, раздел 4.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,

Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т.

Кн. IV. Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ;

ЛАНЬ, 2006, §7.

6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §11.

7.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.4.

8.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика ре-

шения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. ун-

та, 1981, раздел VIII.

Глава 11

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

11.1. Теоретическое введение

Все нагретые тела излучают электромагнитные волны. Такое излучение, испускаемое веществом за счет своей внутренней энер-

гии, имеет непрерывный частотный спектр и называется тепло-

вым. Тепловое излучение, находящееся в термодинамическом равновесии со своими источниками, называется равновесным. Равно-

весное излучение изотропно, однородно и не поляризовано.

Согласно закону Стефана–Больцмана, объемная плотность энергии u равновесного теплового излучения определяется только

где a = 7,56 10−16 Дж м−3 K−4.

Распределение энергии излучения по частотам ω характеризу-

ют спектральной плотностью излучения uω:

где du − плотность энергии излучения, приходящаяся на интервал частот от ω до ω+dω .

С учетом того, что длина волны λ и ее частота ω связаны соотношением:

Г. Кирхгоф, основываясь на законах термодинамики, пришел к выводу, что спектральная плотность равновесного излучения uω − универсальная функция, зависящая только от частоты ω и температуры Т.

В.Вин установил, что

где f − универсальная функция только одного аргумента. С учетом (11.5) и (11.3) формулу (11.6) можно представить в виде:

С ростом температуры Т максимум функции uλ (при λ = λmax )

смещается (отсюда название «закон смещения») в коротковолновую область спектра, причем:

где b = 0,29 см К. Соотношение (11.8) называют законом смещения Вина.

Анализируя открытые ранее закономерности для теплового излучения, М.Планк выдвинул гипотезу о дискретности возможных значений энергии осцилляторов − источников теплового излучения. Им была предложена (гениально угадана!) следующая формула для спектральной плотности равновесного теплового излучения uω:

где = 2hπ =1,05 10−34 Дж с (h − постоянная Планка), k = 1,38 10−23

Дж К−1 − постоянная Больцмана, с − скорость света в вакууме. Формула Планка (11.9) нашла подтверждение для всех доступных в эксперименте диапазонов значений ω и Т.

В классическом пределе (ћω << kT, т.е. при высоких температурах) формула Планка (11.9) согласуется с полученной ранее

формулой Рэлея−Джинса:

а при ћω >> kT (т.е. при низких температурах) − с формулой Вина:

которая в свое время позволила разрешить проблему классической теории, предрекавшей "ультрафиолетовую катастрофу" ( uω ω2 ).

На рис. 11.1 приведены графики зависимостей (11.9), (11.10) и (11.11).

Рис. 11.1. Графики зависимостей uω от kTω , соответствующие формулам: 1 – (11.9), 2 – (11.10) и 3 – (11.11)

Если в области пространства с излучением мысленно выделить небольшую площадку dσ, то за время dt через эту (прозрачную для излучения) площадку в одном направлении переносится энергия

где Pdσ − поток энергии (или мощность) излучения через площадку dσ. В свою очередь,

где I − плотность потока энергии (или интенсивность).

Составная часть потока Pdσ − поток d Pdσ под углом θ к нормали в телесный угол dΩ равен

где L = L(θ,ϕ) не зависит от размеров площадки и характеризует

пространственную структуру излучения. В соответствии с (11.13)

и (11.14); интенсивность I (мощность излучения, проходящего че-

234 ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

рез единичную площадку в одном направлении) и L = L(θ,ϕ) связаны соотношением

Ω=2π

где dΩ = sinθ dθ dϕ.

В силу изотропности и однородности равновесного излучения, характеристика его пространственной структуры – функция L – не зависит от θ и ϕ (закон Ламберта) и, кроме того:

где u – объемная плотность энергии равновесного излучения. Поэтому интенсивность равновесного излучения равна

Формула (11.18) напоминает формулу для числа ударов ν атомов идеального газа о стенку сосуда (в расчете на единицу площади и за единицу времени): ν =υn4 , где n – равновесна концентрация,

υ– средняя скорость движения.

Сучетом непрерывности спектра теплового излучения:

где Iω − спектральная плотность интенсивности. В соответствии с

(11.18), для равновесного излучения спектральные плотности Iω и uω связаны соотношением:

Пусть некоторое тело нагрето до температуры Т и находится в термодинамическом равновесии с тепловым излучением. В этом случае энергетическая освещенность E поверхности равна интенсивности падающего на поверхность тела излучения

где L0 − энергетическая яркость излучения с поверхности абсолютно черного тела

L0 = 4uπc .

Логично, что L0 и L из (11.16) одинаковы.

11.2. Задачи с решениями

Задача 11.2.1. Определить мощность излучения абсолютно черного тела, нагретого до температуры 1000 К, если площадь его поверхности S равна 10 м2.

Решение

Поскольку мощность РS и интенсивность I излучения связаны соотношением (11.13), то:

PS = I S .

Согласно (11.28) для абсолютно черного тела:

I = ε0 (T )= σT 4 .

Поэтому искомая мощность РS равна

PS = σT 4S = 5,67 10−8 (1000)4 10 = 5,67 105 Вт.

Ответ: 567 кВт.

Задача 11.2.2. Черная пластина, освещаемая Солнцем, ориентирована перпендикулярно его лучам. Определить освещенность пластины, если ее температура равна 300 К.

Решение

Согласно (11.12) и (11.13), количество световой энергии, падающей на поверхность пластины площади S за время t , равно

Wпад = E S t ,

где Е − освещенность пластины.

Поскольку пластина черная, то энергия, излучаемая пластиной с обеих поверхностей за то же время, равна

где ε0 − светимость абсолютно черного тела, которая зависит от температуры по закону (11.28):

ε0 (T ) = σT 4 .

В установившемся режиме:

Wпад = Ризл ,

или

E S t = σ T 4 2S t ,

откуда

E = 2σT 4 = 2 5,67 10−8 (300)4 ≈ 919 Вт/м2. Ответ: Е = 919 Вт/м2.

Задача 11.2.3. Определить мощность излучения абсолютно черного тела, если площадь излучающей поверхности тела равна 3м2, а максимум спектральной плотности излучения приходится на длину волны 0,58 мкм.

Решение:

Мощность PS излучения черного тела с площади поверхности S равна

PS = ε0 (T ) S ,

где, согласно (11.28), светимость абсолютно черного тела:

ε0 (T ) = σT 4 .

С учетом закона смещения Вина (11.8):

λmaxT = b

находим мощность излучения абсолютно черного тела

Ответ: РS=106 МВт.

Задача 11.2.4. С нагретой до некоторой температуры поверхности тела излучается энергия 175 Вт см–2. При этом отношение энергетической светимости этой поверхности ε(T ) к светимости

поверхности абсолютно черного телаε0 (T ), нагретого до той же

температуры, равна α = ε(T ) = 0,5 . Найти температуру поверхно-

ε0 (T )

сти тела.

Решение

Согласно (11.28) энергетическая светимость поверхности черного тела определяется его температурой:

ε0 (T )= σT 4 ,

где σ = 5,67 10−8 Вт м-2 К−4 . Следовательно,

T = 4 ε0

σ

Так как по условию задачи: ε0 (T ) = 2 175 = 350 Втсм2 , то

Ответ: Т = 2800 К.

Задача 11.2.5. Определить плотность потока энергии солнечного излучения на земной орбите. Температуру Солнца считать равной 6000 К. Солнечный диск виден с Земли под углом 32′.

Решение

Полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, для потока теплового излучения с его поверхности можем записать:

PS = ε0 (T ) S = σT 4 πD2 ,

где D − диаметр Солнца. Если пренебречь потерями энергии излучения на пути от Солнца до Земли, то на земной орбите искомая плотность потока энергии равна

I (R)= PS , 4πR2

где R − расстояние от Земли до Солнца. Учитывая, что по условию D/R = θ = 32′, получаем:

Ответ: I =1,6 кВт .

м2

Задача 11.2.6. Две большие полости с зеркально отражающими наружными поверхностями имеют относительно малые круглые отверстия диаметром d = 2 см, которые расположены друг напротив друга. В одной из полостей поддерживается постоянная температура T1 = 2000 К, в другой полости в установившемся режиме

температура равна T2 = 400 К. Определить расстояние между от-

верстиями.

Решение

Будем рассматривать отверстие в полости 1 как элемент поверхности абсолютно черного тела, имеющего температуру Т1. В соответствии с (11.28) и (11.29), яркость излучения с такой поверхности:

L = σTπ14 ,

а согласно (11.14), поток энергии, попадающий в отверстие полости 2, равен

P = πd 2 ∫Lcosθ dΩ ,

12 4 Ω

где Ω − телесный угол, под которым отверстие в полости 2 видно с поверхности отверстия в полости 1. Вычисляя интеграл в предыдущей формуле, получим:

С другой стороны, поток энергии из полости 2 через отверстие в ней:

P2 = πd42 σT24 .

В установившемся режиме:

P12 = P2 ,