Бесповторный отбор:

Бесповторный отбор, то есть попавшая единица в выборку не возвращается в совокупность, из которой производится дальнейший отбор.

1. Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

 (8.7)

где N-это объем генеральной совокупности; n-объем выборки из генеральной совокупности; - взвешенная дисперсия ( жилой площади, приходящейся на 1 человека)

1. Определяем предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 по формуле (8.5):

2. Установим границы генеральной средней по формуле (8.6):

С вероятностью 0,954 можно сделать заключение, что среднее число школ приходящихся на одного человека находиться в пределах от 18,3 до 19,7.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

Пусть из двух нормально распределенных генеральных совокупностей извлечены выборки объема  и  соответственно. По этим выборкам вычислены несмещенные оценки дисперсий  и . Для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностей  против одной из альтернативных ( – двусторонняя критическая область,  или  – односторонняя критическая область) используется случайная величина

,

здесь в числителе дроби стоит максимальная оценка дисперсии из  и , в знаменателе – минимальная. Если нулевая гипотеза верна, то статистика  распределена по закону Фишера-Снедекора как отношение двух случайных величин, имеющих распределение  и  ( – число степеней свободы числителя;  – число степеней свободы знаменателя).

Действительно, если , для определенности будем полагать , то

где , .

 По таблице распределения Фишера-Снедекора (прил. 5) для заданного уровня значимости  определяется критическое значение статистики  для двусторонней критической области и  – для односторонней критической области.

Вычисленное значение статистики  сравнивается с критическим. Если , то при уровне значимости  нулевую гипотезу считают непротиворечащей опытным данным. Если же , то нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей.

 

Пример 4.9. Проведены измерения пульса у  больных, подвергнутых некоторой лечебной процедуре, а также у  больных контрольной группы. Статистическая обработка результатов показала, что несмещенная оценка дисперсии частоты пульса больных первой группы составила  (уд/мин)², у больных второй группы –  (уд/мин)². Предполагая, что значения пульса у подобных больных распределены по нормальному закону, при уровне значимости  проверить значимость различия между оценками дисперсий.

Решение. Итак, необходимо проверить нулевую гипотезу  относительно альтернативной . Поскольку исправленная выборочная дисперсия значений пульса у больных первой группы превышает соответствующую оценку для больных второй группы, то по формуле для статистики  получим:

 

Поскольку альтернативная гипотеза задает двустороннюю критическую область, число степеней свободы числителя равно , а знаменателя –  для  по таблице распределения Фишера-Сне­де­­кора (прил. 5) найдем критическое значение статистики: .

Экспериментальное значение критерия меньше критического (попало в область принятия нулевой гипотезы), следовательно, проверяемая гипотеза не противоречит опытным данным, и при уровне значимости  наблюдаемое различие в оценках дисперсии следует считать незначимым.

 

Экзаменационный билет № 12

Вариационный ряд

Вариационный ряд — это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.

Существуют следующие формы вариационного ряда:

1. Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.

2. Дискретный вариационный ряд — это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значение f — признака частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.

3. Интервальный ряд.

Проверка гипотезы о законе распределения совокупности

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона  (критерий c²)

При объеме выборки  для проверки гипотезы о законе распределения используют критерий c² (критерий Пирсона, критерий согласия). Он применяется для группированных данных (как при построении гистограммы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений (иначе интервал называется малонаселенным). Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, тогда он объединяется с соседним.

Современный взгляд на этот вопрос заключается в следующем: не должно быть «пустых» интервалов [8].

Если рассматривать частоту i-го интервала как случайную величину, то  – число появлений «успеха» в  независимых испытаниях, где под «успехом» понимается попадание случайной величины  в -й интервал. Таким образом, вероятность «успеха» равна , а случайная величина  имеет биномиальное распределение с параметрами  и . В частности, . Рассмотрим статистику c² – функцию от случайных величин , определяемую формулой

,

где  – число данных в i-м интервале (),  – теоретическая вероятность попадания случайной величины  в i-й интервал,  – объем выборки,  – число интервалов.

Можно показать, что, если закон распределения генеральной совокупности  подобран правильно, то с ростом  случайную величину  можно считать распределенной по распределению  с числом степеней свободы ;  – числом параметров проверяемого закона распределения, вычисленных по выборке. Следует обратить внимание на то, что число степеней свободы – это число независимых слагаемых в сумме , т. е. общее число слагаемых минус число наложенных уравнений связи. В общем случае по выборке оценивают  параметров. Еще одно уравнение связи вполне очевидно: сумма всех вероятностей  равна 1 (если первый и последний интервалы полуоткрытые) или некоторому числу, меньшему 1 (но известному). В случае нормального распределения , так как по выборке оцениваются два параметра распределения – математическое ожидание и дисперсия. В случае распределения Пуассона , так как математическое ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр.

Итак, критерий согласия c² имеет вид

 

.                                 (4.2)

 

Вычисленное по формуле (4.2) значение  сравнивается с табличным (критическим, прил. 3) при выбранном одностороннем уровне значимости . Если , то гипотеза о виде распределения не отвергается, в противном случае она отвергается, и строится новая гипотеза – предполагается другой закон.

Статистика c² лишь приближенно имеет распределение  (при справедливой нулевой гипотезе), причем для этого необходим не только большой объем выборки , но и достаточно большое число интервалов . Строгого решения вопроса о числе интервалов и необходимом объеме выборки нет. На практике критерием (4.2) пользуются и при довольно малых  (10–15) и  (40–50). При этом необходимо помнить, что в этом случае критерий (4.2) обладает повышенной вероятностью ошибки первого рода  (признать неверной проверяемую нулевую гипотезу, когда она верна). Поэтому в таких ситуациях, когда выводы о законе распределения по критериям Колмогорова и Пирсона окажутся противоречащими друг другу, предпочтение должно быть отдано критерию Колмогорова.

Экзаменационный билет № 13

Средняя арифметическая, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретного вариационного ряда.

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Представим это в виде следующей формулы:

•  — цена за единицу продукции;

•  — количество (объем) продукции;

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n - частота (повторяемость фактора Х)

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из дисперсии и может быть найдена так:

1. Для первичного ряда:

2. Для вариационного ряда:

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.