Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки

Статистическая гипотеза (statistical hypothesys) — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.

Проверка статистической гипотезы (testing statistical hypotheses) — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.

Всё множество возможных (выборочных) значений случайной величины разбивается на две непересекающиеся части S₀ и S₁ (S₀ ∩ S₁ =Æ и S₀ È S₁ = {множество всех возможных значений}.

Дана выборка x₁,  x₂, …, x_n. Если (x₁,  x₂, …, x_n) ÎS₀, то принимаем гипотезу H₀. Если (x₁,  x₂, …, x_n) ÎS₁, то отвергаем H₀ в пользу H₁.  Множество S₁  называетсякритической областью. Сама процедура проверки гипотез по выборочным данным называется статистическим критерием. Критерий определяется разбиением на множестваS₀ и S₁.

Определение 3. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается через a (a близко к нулю). Вероятность ошибки второго рода обозначается через b. Величина (1–b) называется мощностью данного критерия. Другими словами,

α = P{(x₁,  x₂, …, x_n)ΠS₁/H₀ }, β = P{(x₁,  x₂, …, x_n)ΠS₀/H₁ }.

В математической статистике принята следующая схема: вероятность ошибки первого рода обычно заранее фиксируют и стараются найти критерий, который при фиксированном α обладает большей мощностью (т.е. ошибка 1-го рода фиксирована,. а величина ошибки 2-го – наименьшая).

Обычно уровень значимости α = 0.05; 0.01 или 0.005 (или меньше), причем его величина зависит от важности задачи: в медицине 0.005, в экономике и технике 0,05.

Экзаменационный билет № 10

Генеральная и выборочная совокупности элементов

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной (основной) совокупностью называют совокупность, объектов из которых производится выборка.

Проверка гипотезы о равенстве средних значений двух генеральных совокупностей.

Пусть из каждой из двух нормально распределенных генеральных совокупностей  (с параметрами ) и  (с параметрами ) извлечены выборки объема  и  соответственно. Требуется проверить нулевую гипотезу  о равенстве средних значений этих генеральных совокупностей. Альтернативная гипотеза формулируется в соответствии с условиями задачи или эксперимента:

 (двустороння критическая область);

 (левостороння критическая область);

 (правостороння критическая область).

Случай, когда дисперсии генеральных совокупностей  и  известны. В этом случае для проверки нулевой гипотезы используют случайную величину

,

где  – выборочные средние первой и второй выборок соответственно. Если нулевая гипотеза справедлива, то статистика  имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице (разд. 3). Критическое значение выбирается в соответствии с задаваемым уровнем значимости по таблице значений функции Лапласа (прил. 2) или стандартного нормального распределения.

Если объемы выборок достаточно велики , то случайную величину  можно использовать и при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностей, положив в выражении для  , .

Эту же статистику используют и при проверке гипотезы о равенстве вероятностей «успеха». Объемы выборок  должны быть достаточно велики, чтобы биномиальное распределение можно было бы приближенно считать нормальным.

 

Пример 4.7. Двое рабочих на одинаковых станках изготовляют одинаковые детали. Есть ли значимая разница между долями выпускаемого ими брака? Была собрана следующая информация: , , ,  (число деталей, изготовленных первым и вторым рабочими соответственно и число бракованных деталей у первого и второго  рабочих). Положить .

Решение. Согласно условиям задачи требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений вероятности  «успеха» – появления бракованной детали () для первого и второго рабочего, причем, поскольку объем выборки достаточно велик, можно использовать статистику . Поскольку , то альтернативную гипотезу следует принять в виде  (левосторонняя критическая область).

Итак, было обследовано  деталей, изготовленных первым рабочим, из них  – оказались бракованными, тогда

 

 , .

Аналогично для второго рабочего , . Тогда экспериментальное значение статистики:

 

.

 

Для  критическое значение равно , таким образом, . Следовательно, нулевая гипотеза отвергается: нельзя утверждать, что второй рабочий в среднем делает больше брака, чем первый.

Экзаменационный билет № 11

Собственно случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов генеральной совокупности

Собственно-случайный отбор может быть как повторным так и бесповторным.

ПОВТОРНЫЙ ОТБОР:

Установим границы генеральной средней собственно случайной выборкой с помощью повторного и бесповторного отбора.

Повторный отбор, то есть когда попавшая в выборку единица после регистрации наблюдения признака возвращается в генеральную совокупность.

1. Определяем среднюю выборочную по формуле:

 (8.1)

2. Рассчитаем дисперсию:

 (8.2)

3. Рассчитаем среднее квадратичное отклонение:

 (8.3)

4. Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

 (8.4)

(школ)

5. Определяем предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954:

 (8.5)

6. Установим границы генеральной средней:

С вероятностью 0,954 можно сделать заключение, что среднее число школ приходящихся на одного человека находиться в пределах от 18,28 до 19,72