Экзаменационный билет № 4

Центральная предельная теорема Ляпунова

Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Теорема Ляпунова обобщает центральную предельную теорему на случай, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, имеющих разные распределения, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы. Закон распределения такой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются очень большим количеством причин и, чаще всего, ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

Теорема Ляпунова. Пусть ξ₁, ξ₂, …, ξ_n, …— неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями m₁, m₂, …,m_n, … и дисперсиями σ₁², σ₂², …, σ_n²… , причем все σ_i²  ограничены сверху, .

Обозначим , , , .

Тогда для любых действительных чисел α и β справедливо

. Здесь  .

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования.

В основе утверждений закона больших чисел лежит неравенство Чебышева. Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события  для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины  (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр  может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра  оценку .   Пусть , ,  — выборка объема  из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию  так, чтобы существовал момент 

(3)

и функция  была обратима в области . Тогда в качестве оценки  для  возьмем решение уравнения

  Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (3) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный:

Чаще всего в качестве функции  берут . В этом случае

и, если функция  обратима в области , то

Можно сказать, что мы берем в качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным.

Экзаменационный билет № 5

Многомерная случайная величина и закон ее распределения

Многомерная случайная величина — упорядоченный набор (вектор)  фиксированного числа  одномерных случайных величин.

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин.

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы дискретных случайных величин. Пусть  и — дискретные случайные величины, возможные значения которых , где Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей  того, что случайная величина  примет значение  и одновременно с этим случайная величина  примет значение . Вероятности  фиксируют в таблице.

Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события  при   составляют полную группу несовместных событий, поэтому

При этом