Доверительная вероятность

Доверительная вероятность показывает, с какой вероятностью случайный ответ попадет в доверительный интервал. Для простоты можно понимать её как точность выборки. Как правило, используется 95%, но в условиях малых бюджетов и для небольших выборок.

Доверительный интервал можно понимать как погрешность, задает размах части кривой распределения по обе стороны от выбранной точки, куда могут попадать ответы.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью  покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания  случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении  служит доверительный интервал

где  - точность оценки,  - объем выборки,  - выборочное среднее,  - аргумент функции Лапласа, при котором 

Экзаменационный билет № 6

Функция распределения многомерной случайной величины

Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию g_i из U сопоставим несколько чисел: ξ _i1 , ξ _i2 , ξ _i3 , ... ξ _ik  или вектор ξ_i. Потребуем, чтобы для любых х_j ( -∞ < х_j <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ _j < х_j ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ ₁ < x₁ ,  ξ ₂ < x₂ , ...  ξ _k < x_k } = P(A) = F( x₁, x₂,  ... x_k ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x₁, x₂,  ... x_k ) ее функцией распределения.

Средняя квадратическая и предельная ошибки выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистикерассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности; n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности; n — объем выборки.

Предельная ошибка - максимально возможное расхождение средних или максимум ошибок при заданной вероятности ее появления.

1. Предельную ошибку выборки для средней при повторном отборе в контрольных по статистике в ВУЗах рассчитывают по формуле:

где t — нормированное отклонение — «коэффициент доверия», который зависит от вероятности, гарантирующей предельную ошибку выборки; мю х — средняя ошибка выборки.

2. Предельная ошибка выборки для доли при повторном отборе определяется по формуле:

3. Предельная ошибка выборки для средней при бесповторном отборе:

4. Предельная ошибка выборки для доли при бесповторном отборе:

Экзаменационный билет № 7

Плотность вероятности распределения двумерной случайной величины

Двумерная случайная величина называется  непрерывной, если существует такая неотрицательная функция , называемаядвумерной плотностью вероятности, что вероятность попадания случайной величины  в область  равна двойному интегралу от плотности по этой области:

. (7)

Из равенства (7) следует формула для нахождения функции распределения двумерной непрерывной случайной величины по известной плотности распределения:

. (8)

Свойства двумерной плотности вероятности

1.  неотрицательная функция и определена на всей плоскости .

2.  в каждой точке непрерывности плотности.

3. ; . (9)

4. . (10)

Формулы (9) означают, что из плотности распределения двумерной случайной величины можно получить  – плотности распределения ее одномерных компонент.

Условной плотностью распределения компоненты  при заданном значении  называют отношение плотности совместного распределения случайной величины к плотности распределения случайной величины :

.

Аналогично определяется условная плотность распределения компоненты :

.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

, , и , 

Объем выборки при оценке генеральной средней и генеральной доли

Численность выборочной совокупности должна быть такой, чтобы ошибка выборки не превышала заданные величины. Формула для определения необходимой численности выборки выводится из формулы:

 отсюда имеем: 

Связь с расчетным коэффициентом доверия t при заданных значениях ,  и n выражается формулой:

Величина допустимой ошибки выборки и уровень вероятности, а также значение коэффициента t задаются самим исследователем. При этом не следует гнаться за большими значениями t и малыми значениями ², так как это ведет к увеличению объема выборки.

Затруднения возникают в определении дисперсии, которая неизвестна.

Экзаменационный билет № 8

Условные законы распределения двумерной случайной величины

Условным законом распределения дискретной случайной величины  при  называется множество значений  () и условных вероятностей , , …, , вычисленных по формулам

, .

Аналогично строится условный закон распределения дискретной случайной величины  при , где условные вероятности  () вычисляются по формулам

, .

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Принцип практической уверенности

Пусть вероятность появления события в одном опыте ничтожно мала и равна р. Тогда вероятность непоявления события равна 1-р=q, причём q<1, т.к. р всё же отлично от нуля.

т.к. q<1 и . Значит, если опытов производить много, то рано или поздно происходят даже самые маловероятные события, и возможностью появления маловероятных событий в большей серии опытов пренебрегать нельзя.

 В итоге получаем утверждение: Если вероятность события близка к нулю, то можно быть практически уверен­ным, что в единичном опыте оно не произойдёт. Событие, имеющее вероятность близкую к нулю, в единичном опыте можно считать практически невозможным. Насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать это событие практически невозможным, зависит от того, насколько серьёзные последствия нам грозят, если событие, объявленное нами практически невозможным, все-таки произойдёт. Т.е. этот вопрос решается вне рамок теории вероятностей. Например, вероятность события равна 0,01. Если это вероятность попасть в авиационную катастрофу при полёте на самолёте, то вряд ли стоит пренебрегать такой вероятность. Если же это вероятность вытащить на экзамене не выученный билет, то такой вероятностью можно пренебречь (на деле пренебрегают и гораздо большими вероятностями).

Обратно. Если вероятность события близка к единице, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдёт. Событие, имеющее вероятность близкую к единице, можно назвать в единичном опыте практически достоверным.

Насколько близкой к единице должна быть вероятность решается из тех же соображений, что и вопрос о малости вероятности прак­тически невозможного события.

Экзаменационный билет № 9

Двумерный нормальный закон распределения

Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: а₁, а₂ — математические ожидания,σ_х, σ_у — средние квадратические отклонения, r_xу — коэффициент корреляции величин X и У.  Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле r_xу = 0, получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение. Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Замечание. Можно доказать, что если двумерная случайная величина распределена нормально с параметрами а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу, то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу.