Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 724 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

39 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

Згідно із (2.27) перший доданок у правій частині (2.26) перепишемо наступним чином

	2
∑			∫	dτe Ψe*	∆αΨe
	2M
α		α

= −∑

∫

dτe Ψe

−

∆i Ψe = −∑

, (2.28)

α,i Mα

де Ті – середня кінетична енергія електрона. Зрозуміло, що у кристалі, який містить N електронів та Z ядер, сума (2.28) дає просто NZ(m/V) Ті .

Порівняно з енергією кристала, що складає за порядком величини кінетичну енергію електронів та ядер, ця величина є малою за мірою

малості відношення m/M (напр., для германію таке відношення ~ 10–5). Другий доданок у (2.26) оцінюємо так:

	2
∑		∫	dτZ Φ*Z αΦZ	∫	dτe Ψe*	αΨe

α Mα						(2.29)

−M1 ∑∫dτZ Φ*Z (−i α )ΦZ ∫dτe Ψe* (−i i )Ψe = − M1 NZ pα pi .

α, i

Оскільки у термодинамічній рівновазі середня кінетична енергія електронів дорівнює середній кінетичній енергії ядер (у випадку класичної статистики, тобто т. зв. невиродженого напівпровідника):

p2		p2		2		8		2
			і < p						, то < p > ≈	m/M < pα >.
i	=	α		>	=		p

2m		2M	i			3π	i		i

Таким чином ми з'ясували, що другий доданок у (2.26) є величиною порядку m/M повної енергії кристала. Ця величина, наприклад для

германію, складає ~ 0.003. Отже, адіабатичне наближення полягає у

нехтуванні поправки δE, і для визначення енергії кристала із досить великою точністю можна користуватися рівняннями

He Ψe = Ee Ψe ,	(2.30)
HZ ΦZ = EΦZ ,	(2.31)

які показують, що:

В адіабатичному наближенні хвильова функція електронів визначається миттєвою конфігурацією ядер (доданок Uez в

електронному гамільтоніані). У той же час хвильова функція ядер визначається усередненим полем електронів (доданок

Ee в ядерній частині гамільтоніана).

Таким чином, наближення, що приводить до рівнянь (2.30) і (2.31), виключає прямий обмін енергією між електронною та ядерною підсистемами, тому й має назву адіабатичного.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

Наступним кроком може бути припущення, що електрони під час руху взаємодіють із рухомими ядрами. Оскільки ядра в основному стані знаходяться у мінімумі потенціальної енергії, то відхилення їхніх

координат від рівноважного значення Ra(0) носитиме коливальний ха-

рактер. При цьому такі зміщення мають бути невеликими, тобто к о- ордината а-го ядра представляється у вигляді Ra = Ra(0) + ra , де зм і-

щення ядер припускається набагато меншим за сталу ґратки, ra <<a.

Взаємодія електронів із такими коливаннями ядер, що враховує динамічну взаємодію електронів і ґратки, називається електронфононною взаємодією й буде розглянута детальніше у розд. 6.

2.2. Одноелектронне наближення

Упопередньому розділі ми з'ясували, що із досить великою точністю (~ m/M ) рух електронів та ядер може розглядатись розрізнено, отже

значно спростили задачу визначення властивостей кристалів. Але таке спрощення ще не дозволяє розв'язати поставлену задачу. Дійсно, (2.30) не може бути розв'язано точно, оскільки в ньому є доданок, що визначає попарну взаємодію всіх електронів. Цей факт робить розв'язок задачі нездійсненним. Однак за припущення, що електрони не взаємодіють між собою, а взаємодіють із полем ядер, яке заекрановане всіма іншими електронами (крім того, що розглядається), це рівняння розпадається на систему рівнянь для кожного електрона. Кожне таке рівняння можна легко розв'язати. Таким чином виникає ідея врахувати взаємодію всіх електронів так, щоб у підсумку розглядати електрон, що знаходиться в деякому полі, яке утворюється всіма іншими електронами системи. Оскільки стан усіх електронів, крім і-го, залежить від того, як він рухається, то результуюче поле, що діє на і -й електрон, залежатиме від стану і-го електрона, тобто буде самоузгодженим. Покажемо, як можна провести процедуру визначення самоузгодженого поля. Позначимо потенціальну енергію і-го електрона у полі всіх інших (крім і-го) електронів як Qi. Ця енергія залежить тільки від координат і-го електрона. Припустимо, що ми знайшли таке поле. Тоді електронний гамільтоніан кристала запишеться у вигляді суми одноелектронних гамільтоніанів

He = ∑Hie ,	(2.32)
i

де гамільтоніаном і-го електрона є

41 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

H e = −	2	∆	+Q (r )+U		(r ).	(2.33)

i	2m i		i i	Z	i

Тут U Z (ri ) – поле всіх ядер. Тепер хвильова функція системи електронів розпадається на добуток хвильових функцій окремих електронів

Ψe (r1,r2,...)= ∏ψi (ri ),	(2.34)
i
а енергія системи дорівнює сумі енергій окремих електронів
Ee = ∑Ei ,	(2.35)
i
які визначаються з рівняння
Hieψi = Ei ψi .	(2.36)

Для визначення самоузгодженого поля запишемо два рівняння Шредингера для електронної підсистеми – точне і таке, де замість потенціалу парного електрон-електронної взаємодії записано самоузгоджене поле Qi (ri )

			2			1 ∑Uij Ψe + ∑U Z (ri )Ψe = Ee Ψe ,
∑	−			∆i	Ψe +			(2.37)
∑	−	2m		∆i	Ψe +			(2.37)
i		2m				2 i ≠ j	i
		2
∑	−			∆i	Ψe + ∑Qi (ri )Ψe + ∑U Z (ri )Ψe = Ee Ψe .			(2.38)
∑	−	2m		∆i	Ψe + ∑Qi (ri )Ψe + ∑U Z (ri )Ψe = Ee Ψe .			(2.38)
i		2m				i	i

Подіємо на ці рівняння оператором (2.21) і віднімемо від першого отриманого рівняння друге. Маємо

1	∫	dτi Ψe* ∑Uij Ψe −	∫	dτi Ψe*	∑Qi (ri )Ψe = 0 .	(2.39)
2	∫	i ≠ j	∫		i

Використовуючи (2.34), перепишемо (2.39) у вигляді

∫

∑

dr1dr2...ψ1*(r1 )...ψ*i (ri )Qi (ri )ψi (ri )...ψ1(r1 )=

∑

∫

ψ*(r )Q (r )ψ

(r )

∑

∫

dr dr

...ψ*(r )U

(| r

−r

|)ψ

(r )...

i i

1 2

1 1

2i ≠ j,j

= ∑

∑

∫

(rj )Uij (| ri −rj |)ψj

ψi (ri ).

dri ψi

(ri )

drj ψj

(rj )

∫

2 j ≠i

Оскільки функції ψj(r) становлять повну ортонормовану систему, то

звідси отримуємо, що вираз у фігурних дужках відіграє роль самоузгодженого поля.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ			42
Qi (ri )=	1 ∑	drj ψ*j (rj )Uij (\| ri − rj \|)ψj (rj ),	(2.40)
	2 j ≠i ∫

або, виписуючи в явному вигляді потенціал електрон-електронної взаємодії Uij,

Qi (ri )=

∑≠

∫drj

ψj (rj )

(2.41)

| r

−r

j i

Оскільки e Ψj(rl) 2drj є елементом заряду, що розташований в інфінітезимально малому об'ємі, який оточує точку rj і визначає потенціал цього заряду у точці ri, інтеграл у сумі (2.41) є енергією взаємодії і-го

електрона із зарядом j-го електрона, що "розмазаний" по всьому кр и- сталу. За уважного розгляду (2.41) бачимо, що для визначення самоузгодженого поля необхідно знати хвильову функцію електронів, яку можна отримати із рівняння Шредингера, що вміщує невизначене самоузгоджене поле. Таким чином знаходимо самоузгоджене рівняння (рівняння Хартрі) для визначення функцій ψi(rl)

	2		1	∑j≠i	2 e(edrj )
−		∆ψi (ri )+			∫\| ψj (rj )\|					ψi (ri )+Ui (ri ; Rα )ψi (ri )= Ei ψi (ri ). (2.42)
−	2m	∆ψi (ri )+	2		∫\| ψj (rj )\|	\| r	−r	j	\|	ψi (ri )+Ui (ri ; Rα )ψi (ri )= Ei ψi (ri ). (2.42)
						i		j

Це рівняння зазвичай розв'язують так: визначають затравочні функції ψ(0)j (rj ) (напр., хвильові функції вільних електронів), обчислюють по-

тенціал Qi(ri) за (2.41). Значення потенціалу підставляють до (2.42) і визначають функції ψ(1)j (rj ) і т.д. При виконанні такої ітераційної про-

цедури K разів можна отримати розв'язок рівняння із заданою точністю. Але постає питання про збіжність процедури. До того ж, у (2.42) не враховується, що електрони є фермі-частинками (тобто принцип Паулі, згідно з яким хвильова функція електронів має бути антисиметричною щодо перестановки двох електронів з урахуванням їхніх координат і спіну). Функція (2.34) не задовольняє цій вимозі. Для врахування цієї обставини необхідно замість (2.34) використовувати іншу функцію, що є суперпозицією одноелектронних функцій, наприклад так званий детермінант Слетера

					1		ψ1(q1 )		ψ1(q2 ) ...					,

Ψ	e	(q	,q	,...)=			ψ	(q )	ψ	(q		)	...		(2.43)

		1	2			N!	2	1	2		2		...
							...		...

де N – число електронів, qi = (xi ,yi ,zi ,si ). Як випливає із властивостей визначників

43 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

Ψe (...,qi ,...,qj ,...)= −Ψe (...,qj ,...,qi ,...).

(2.44)

Рівняння типу (2.42) у термінах функцій (2.43) називається рівнянням Хартрі–Фока. Таким чином, наближення Хартрі при визначенні самоузгодженого поля не враховує статистику електронів. Це наближення було розвинене Фоком за допомогою застосування специфічної симетрії хвильових функцій. Такий підхід має назву метода Хартрі–Фока та враховує, що електрони характеризуються напівцілим спіном, підлягають статистиці Фермі та принципу Паулі. Продемонструємо відмінність між наближеннями Хартрі та Хартрі–Фока на прикладі системи, що складається із двох електронів. У цьому випадку хвильова функція записується у вигляді

Φ =	1	{ϕ1(r1,s1 )ϕ2(r2 ,s2 )−ϕ1(r2,s2 )ϕ2(r1,s1 )},	(2.45)

	2

і середня енергія системи задається формулою

E = ∑

∫

dr1dr2Φ*HΦ = ∑ ∑

∫

dri ϕi*(r1,s1 )Hi ϕi (r1,s1 )+

s1,s2

i=1

(2.46)

∑ ∑

∫

dr1dr2 | ϕi (r1,s1 )|2

| ϕj (r2 ,s2 )|2

−

−r

2 s ,s

i,j =1

−

∑ ∑

∫

dr1dr2ϕi

(r1,s1 )ϕj (r1

,s1 )

ϕi (r2 ,s2 )ϕj

(r2

,s2 ).

−r

2 s

i,j =1

Головна відмінність між рівняннями Хартрі та Хартрі-Фока полягає у тому, що коли другий доданок у (2.42) при обчисленні енергії дає усереднену енергію кулонівської взаємодії електронів

*		1		2 e(edrj )
EC = ∑∫dri ψi	(ri )		∑≠	∫\| ψj (rj )\|			ψi (ri ),	(2.47)
		2			\| r −r	\|
i			j i		i	j

то у наближенні Хартрі–Фока виникає третій доданок, який називається обмінною енергією. У доданку сума залежить від спінового стану електронів, тобто ця взаємодія відбиває суто квантову природу і не має класичних електростатичних аналогів. Обмінні інтеграли можна зіставити із кулонівською взаємодією з обмінною щільністю зарядів

ρij (r1)= −eϕ*i (r1 )ϕj (r1 ) та ρij (r2 )= −eϕ*i (r2 )ϕj (r2 ).

Оскільки ці величини можуть бути комплексними, то про щільність зарядів може йтися дуже умовно. Однак, можна казати, що два електрони із паралельними спінами, які частково знаходяться в і-му та j-му станах і взаємодіють, нібито обмінюються місцями.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

Раніше ми вже з'ясували, що завдяки трансляційній інваріантності у кристалі хвильова функція має задовольняти співвідно-

шенню Ψ(r + b) = eik bΨ(r), тобто вектор k є характеристикою даної хвильової функції Ψ(r) = Ψk(r). Оскільки HΨk(r) = EΨk(r), то енергія має

бути функцією хвильового вектора, тобто E = E(k). Така залежність називається законом дисперсії електронів, і її визначення для конкретних систем є важливим завданням фізики твердого тіла. Але при визначенні закону дисперсії виникає питання про врахування того факту, що електрон у кристалі поводиться як квантова частинка, тобто виявляє властивості як хвилі (хвильова функція залежить від хвильового вектора), так і частинки. А рух частинки має фундаментальну характеристику – імпульс. Як бути із визначенням імпульсу за руху електрона в істотно неоднорідному середовищі – кристалічній ґратці?

2.3. Квазіімпульс

Із курсу теоретичної механіки відомо, що закон збереження імпульсу є наслідком трансляційної інваріантності простору (у полі постійної потенційної енергії), закон збереження енергії випливає з однорідності часу, закон збереження моменту імпульсу – з ізотропії простору (виконується у полі із центральною симетрією). Усі ці приклади є наслідками загальної теореми Емі Нетер: для будь-якої фізичної системи, рівняння руху якої можуть бути отримані із варіаційного принципу, кожному однопараметричному перетворенню, що залишає варіаційний функціонал інваріантом, відповідає один закон збереження. У квантовій теорії аналог цього твердження формулюється так: величина, що не залежить від часу явно, зберігається, якщо її оператор комутує з оператором Гамільтона системи.

Аналогічно у кристалі трансляційній симетрії потенціального поля ґратки відповідає деяка величина, що зберігається за руху частинки у цьому полі. Така величина називається квазіімпульсом. Нехай квазі-

імпульсу відповідає оператор Pˆ . Закон збереження квазіімпульсу формально запишемо як

ˆ	ˆ	(2.48)
PH −HP = 0 .

Звідси випливає, що за руху електрона у полі ґратки власні функції

операторів Pˆ та H мають збігатися, отже має існувати зв'язок між ї х- німи власними значеннями, тобто функціональна залежність

E = E(P ).

(2.49)

Нехай гамільтоніан електрона в кристалі має вигляд = t + U, де Т – кінетична енергія електрона, U – кристалічний потенціал. Оскільки

45 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

оператор −і не комутує із гамільтоніаном (тобто імпульс не зберігається у полі ґратки)

dp	=		1	[pH −Hp]= − U = F ,	(2.50)
dt		i

то оператор квазіімпульсу не може бути представлений як оператор імпульсу, домножений на деяку функцію. У той же час при U→0 оператори імпульсу та квазіімпульсу мають збігатися, тобто є сенс шукати оператор квазіімпульсу у вигляді

P	i	i	γ	(r)	,	(2.51)
ˆ	= − +		γ		,	(2.51)

де γ→0, якщо U→0. Зважаючи на те, що хвильова функція Ψk(r) є власною функцією оператора квазіімпульсу

ˆ	(2.52)
Pψk (r)= Pψk (r),	(2.52)
і, крім того, її можна представити як блохівську ei k rϕk(r), маємо

	−i i kψk (r)+ei k r(−i ϕk (r))+i γψk (r)=	(2.53)
	= kψk (r)+i [γ − lnϕk (r)]ψk (r)= Pψk (r).
Із цієї формули можна записати
	Р = k,	(2.54)
якщо	γ = lnϕk(r).	(2.55)
Таким чином, оператор квазіімпульсу має вигляд
	ˆ	(2.56)
	P = −i +i ( lnϕk(r)),	(2.56)


тобто від потенціалу ґратки U	цей оператор залежить завдяки залеж-
ності хвильової функції ϕk(r)	від потенціалу. Нехай тепер кристал
знаходиться у деякому полі V(r), тоді гамільтоніан системи
H' = H + V(r).		(2.57)

Оскільки оператор квазіімпульсу комутує з оператором H0, а другий доданок у (2.56), що є оператором множення, – з V(r), то

ˆ	ˆ	ˆ	1	ˆ	ˆ
dP	ˆ	ˆ	1	ˆ	ˆ
	=[H' P]=[V (r)P]=			{PV −VP} = − V (r) = F			,	(2.58)
	=[H' P]=[V (r)P]=			{PV −VP} = − V (r) = F			,	(2.58)
dt			i			ext
dt			i

тобто квазіімпульс змінюється під дією неперіодичної частини потенціального поля. Це означає, що за будь-яких порушень ідеальної структури ґратки має відбуватися розсіювання електронних хвиль. Наприклад, такими порушеннями структури є теплові коливання ґратки. Розсіювання на них електронів є однією із причин виникнення електричного опору.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

Знайдемо тепер рівняння, якому задовольняє хвильова функція ϕk(r). Для цього зауважимо, що

ψk = i kψk +ei k r ϕk ; ∆ψk = i k[ikψk +ei k r ϕk ]+i kei k r ϕk +ei k r∆ϕk .

Рівняння Шредингера тепер запишемо як

−

[−k2ϕk +2i k ϕk + ∆ϕk ]+U ϕk = E(k)ϕk

(2.59)

2 2

або

−

∆ϕk +

−i

k +U

ϕk = E(k)ϕk .

(2.60)

Оскільки енергія є дійсною функцією хвильового вектора

E*(k)= E(k),

(2.62)

то рівняння Шредингера для комплексно-спряженої функції ϕ*k(r) за-

пишемо як

або

			H ψk = Eψ*k
	2	*	2k2		2		*	*
−		∆ϕk +		+i		k +U	ϕk = E(k)ϕk .
−	2m	∆ϕk +	2m	+i	m	k +U	ϕk = E(k)ϕk .
	2m		2m		m

(2.62)

(2.63)

Якщо тепер записати (2.60) для від'ємних значень хвильового вектора, то отримаємо

		2		2 2			2
−			∆ϕ−k +	k	+i			k +U	ϕ−k = E(−k)ϕ−k .	(2.64)
	2m			2m		m

Легко побачити, що (2.64) і (2.63) збігаються для хвильової функції, яка задовольняє умові Шварца

(ϕk (r))* = ϕ−k (r).

(2.65)

Таким чином, можна стверджувати, що енергія є парною функцією хвильового вектора

E(k)= E(−k),

(2.66)

тобто поблизу точки k = 0 енергія залежить у крайньому випадку від k2. У просторі хвильових векторів рівняння

E(k)= const

(2.67)

визначає поверхні постійної енергії – ізоенергетичні поверхні. Топологія ізоенергетичних поверхонь визначає багато властивостей твердих тіл, зокрема напівпровідників.

47 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

2.4. Ізоенергетичні поверхні

Як ми бачили у попередніх розділах, велику роль у визначенні електронних станів твердого тіла відіграє обернений простір, тобто простір хвильових векторів, що характеризують хвильові функції електронів у періодичному потенціалі. Зручною топологічною характеристикою електронних станів кристала є поверхні сталої енергії або ізоенергетичні поверхні, що визначаються в оберненому просторі із рів-

няння Е(k) = Е. У напівпровідниках такі поверхні відіграють велику роль поблизу точок екстремумів енергії.

Нехай k0 є точкою екстремуму енергії. Зрозуміло, що завдяки симетрії кристалічної ґратки таких точок екстремуму може бути кілька. Наприклад, ми бачили, що енергія є парною функцією хвильового вектора, тобто точка k0 також буде точкою екстремуму. Оскільки парність енергії має виявлятись і для компонентів хвильового вектора, тобто

E(kx ,kx ,kz )= E(−kx ,kу,kz )= E(−kx,−kx,kz )=...,

(2.68)

то можна стверджувати, що кількість екстремальних точок визначатиметься групою симетрії ґратки. Наприклад, у кубічній ґратці, що має 24 елементи симетрії, екстремальних еквівалентних точок може бути 24. Розкладаючи енергію як функцію хвильового вектора у просторі хвильових векторів (в оберненому просторі), маємо1

E(k)= E(k0 )+

∂E

(ki −ki0 )+

∂2E

(ki −ki0 )(kj −k0j )+...

(2.69)

∂k

Оскільки k0 є точкою екстремуму, то перша похідна енергії за хвильовим вектором має дорівнювати нулю, тобто

	∂E		= 0	,
	∂ki	k0	= 0	,


і ряд (2.69) починається з квадратичних членів

E(k)= E(k

1 ∂2E

−k0 )(k

−k0 )+

∂3E

−k0 )(k

−k0 )(k −k0 )+....(2.70)

2 ∂k

∂k

6 ∂k

∂k

1 1

Задля залишення у розкладенні (2.70) тільки членів другого порядку необхідно виконання нерівності:

1 Тут і далі використовується правило, згідно з яким за повторюваним індексом відбувається підсумовування.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

∂2E		>>	1 ∂3E		(kl −kl0 ).	(2.71)

∂ki ∂kj	k0		3 ∂ki ∂kj ∂kl	k0
∂ki ∂kj

Зрозуміло, що завжди можна назвати малу область поблизу екстремальної точки для виконання умови (2.71). Тензор другого рангу за допомогою вибору осей координат завжди можна привести до діагонального вигляду, тобто недіагональні компоненти тензора дорівнюватимуть нулю

∂2E		= 0 .	(2.72)
∂ki ∂kj	k0 , i≠ j	= 0 .	(2.72)

У цьому випадку рівняння ізоенергетичної поверхні має вигляд

E = E(k		)+	1	∂2E	(k		−k0 )2 .	(2.73)
	0		2	∂k2		i	i
				i	k0
				i	k0

Оскільки розкладання (2.73) проводиться поблизу точки екстремуму, то всі три коефіцієнти

∂2E		,	∂2E		та	∂2E
∂k2			∂k2			∂k2
x	k0		y	k0		z	k0
	k0		y	k0		z	k0

мають однаковий знак. Отже, у даному наближенні ізоенергетичні поверхні є еліпсоїдами.

Домножимо другий додаток у (2.73) на 2/ 2 і візьмемо до уваги,

що ki = Pi, де Pi – i-й компонент квазіімпульсу. У результаті другий доданок у правій частині рівняння матиме вигляд

1 ∂2E	(P	−P 0 )2 .	(2.74)
2 ∂P 2	i	i
i	P
	0

Оскільки розмірність квазіімпульсу збігається із розмірністю імпульсу, то похідна

1∂2E

2∂Pi2 P0

має розмірність оберненої маси. Вважаючи систему ізотропною, введемо позначення

1 ∂2E		=	1	.	(2.75)
2	∂P 2		m*
	i	P
		0

Оскільки залежність енергії від хвильового вектора є такою самою, що й залежність енергії від квазіімпульсу, то отримаємо із (2.73)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 724 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019317.44 Кб1OE_Lab_1.doc
#
08.11.2019176.13 Кб4OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб6OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб1OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
19.03.201513.24 Mб64OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб17Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб12Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб201OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc