OFP-Tretyak-Lozovski

де k' – приведене значення істинного хвильового вектора. Іншими словами, ця хвильова функція має стандартний вигляд блохівської, оскільки exp(ig r) є періодичною функцією у заданій ґратці. І якщо енергія задається формулою

то вона виявляється багатозначною функцією k' у приведеній зоні. Необхідно зазначити, що основною ідеєю, що приводила нас до того

чи іншого результату, була ідея трансляційної інваріантності кристалічної ґратки, яка вважалась необмеженою. Але таким чином доводиться мати справу із нескінченним числом атомів і хвильових функцій. Якщо ж вважати, що ґратка обмежена, то варто брати до уваги наявність меж розподілу й необхідність задоволення граничним умовам. Зрозуміло, що така програма не може бути реалізована із багатьох причин, тим паче, що існує математичний прийом, який дозволяє задовільно розв'язувати проблему підрахунку станів, не вводячи додаткових ефектів, пов'язаних із межами розподілу. Цей прийом полягає у застосуванні циклічних граничних умов, або умов Борна–Кармана.

В одновимірному випадку можна припустити, що кристал складається з L комірок, які з'єднані так, що утворюють замкнене коло. При цьому хвильова функція має задовольняти умові

що забезпечує її неперервність у точці з'єднання. З іншого боку, теорема Блоха дає змогу записати

В одновимірній приведеній зоні −π/а < k < π/а, тому цілі числа з інтервалу

дадуть усі можливі значення приведеного хвильового числа. Разом існує L таких значень, що відстоять одне від одного на відстані (1/L) (2π/a).

Оскільки величина L є дуже великою, то значення розподілені в оберненому просторі практично безперервно зі сталою щільністю.

Припустимо тепер, що система є циклічною у трьох вимірах, тобто являє кристал із розмірами вздовж трьох базисних напрямків ґратки – L1a1, L2a2 та L3a3. Тоді циклічні умови дають

Звідси для блохівських функцій, що характеризуються хвильовим вектором k, маємо рівності

i =1 Li

де mi – цілі числа, а bi – вектори оберненої ґратки. Отже дозволені

значення вектора k можна отримати за допомогою поділу утворюючих векторів оберненої ґратки на Li частин для і-го напрямку. Таким чином,

обернений простір складається із рівномірно розподілених точок, на яких визначено вектори k. При обчисленні щільності цих точок варто пам'ятати, що вони можуть накрити всю елементарну комірку оберненої ґратки, якщо цілі числа mi пробігають значення 0 ≤ mi < L. Можна

розглядати симетричну область

Таким чином ми отримали б елементарну комірку, яка має вигляд паралелепіпеда із центром на початку координат. Але зручніше ви-

брати комірку у вигляді комірки Вігнера–Зейтца, тобто зони Бриллюена. Об'єм зони Бриллюена збігається з об'ємом елементарної комірки, що має форму паралелепіпеда. Із цієї причини у ній має міститися та ж сама кількість дозволених значень вектора k. Згідно із нерівностями (1.71) це число дорівнює добутку вузлів ґратки вздовж кожної із трьох осей

що збігається із кількістю елементарних комірок у всьому макроскопічному кристалі. Таким чином можна сформулювати дуже важливу теорему:

Зона Бриллюена містить рівно стільки дозволених хвильових векторів, скільки елементарних комірок містить блок кристала.

Об'єм зони Бриллюена дорівнює 8π3/νс (див. задачу 1). Якщо в об'ємі

кристала міститься N елементарних комірок, то об'єм елементарної комірки у прямому просторі

і тоді на кожний дозволений вектор k у k-просторі приходиться об'єм

тобто в одиниці об'єму оберненого простору існують V/8π3 дозволених k-векторів. Оскільки величина N дуже велика, то розподіл дозволених векторів можна розглядати як неперервний. На основі цього твердження часто виконують перехід від підсумовування до інтегрування:

Ця формула дуже часто використовується у фізиці твердого тіла.

1.6. Задачі

1.Доведіть, що вектори оберненої і прямої ґратки задовольняють співвідношенням

або що об'єм елементарної комірки в оберненій ґратці обернено пропорційний до об'єму елементарної комірки прямої ґратки:

vr = (2π)3/Ω0.

Розв'язок. Скористаємося виразом для вектора оберненої ґратки

b1 = 2π a (a(2a×a3a) ).

1 × 2 × 3

Запишемо об'єм елементарної комірки оберненої ґратки за допомогою цієї формули

Використаємо тепер тотожність Лагранжа

(a×b)×(c×d)= (a×c)(b×d)−(b×c)(a×d)

і вираз bi ×aj = 2πδij . У результаті маємо

(a2 ×a3 )×(b2 ×b3 )= (a2 ×b2 )(a3 ×b3 )= (2π)2 .

Тоді із (1.77) отримуємо (1.76).

2. Нехай вектори прямої ґратки αі побудовано на векторах оберненої ґратки за таким самим правилом, що й вектори оберненої ґратки через основні вектори ґратки

аі Браве. Доведіть, що ці вектори збігаються, тобто αі =аі. Розв'язок. Необхідно довести, зокрема, що

Подібні перетворення можна записати й для інших векторів ґратки. Таким чином ми строго отримали дуже важливий результат:

Обернена ґратка до оберненої ґратки – вихідна ґратка Браве.

3. Доведіть, що для будь-якого вектора ґратки Браве R виконується тотожність

Якщо хвильовий вектор k задовольняє граничним умовам Борна–Кармана, то величина суми не змінитися, якщо вектор R зсунути на довільний вектор ґратки Браве R', тобто

Звідси робимо висновок, що сума має дорівнювати нулю, якщо передекспонента у правій частині формули не є одиницею. Але, як відомо, передекспонентна у правій

частині (1.81) дорівнює одиниці тільки за умови, що k є одним із векторів оберненої ґратки. Нехай цей вектор оберненої ґратки є нулем. Тоді сума в (1.81) просто дорівнюватиме N, або

З іншого боку будь-який хвильовий вектор можна привести до першої зони

Бриллюена, якщо записати його через суму вектора із першої зони Бриллюена k1 та відповідного вектора оберненої ґратки:

вільного вектора із рівняння (1.82) випливає k = g, тобто тотожність (1.79) доведено. 4. Доведіть тотожність

якщо R – будь-який вектор ґратки Браве, а сума береться за всіма k у першій зоні Бриллюена, що задовольняють граничним умовам Борна–Кармана.

Розв'язок. Сума не має змінитися, якщо кожен вектор k перенести на один і той самий вектор k0 із першої зони Бриллюена, який, крім того, задовольняє умовам Борна–Кармана. Дійсно, примітивну комірку, що виникає внаслідок зсуву всієї першої зони на вектор k0, можна повернути до першої зони, якщо розбити її на частини та

зсунути на відповідні вектори оберненої ґратки. Оскільки жодний доданок ei k R не

зміниться за зсуву k на вектор оберненої ґратки, сума за зсунутою зоною тотожно дорівнює сумі за висхідною зоною Бриллюена

тобто сума у лівій частині має дорівнювати нулю, якщо тільки експонента не дорівнює одиниці для всіх векторів k0. Єдиний вектор R ґратки Браве, для якого це можливо,

це R = 0. Але тоді сума просто дає N.

5.Побудуйте примітивну комірку та зону Бриллюена для двовимірної ґратки Браве, що утворюється вузлами сітки правильних шестикутників.

6.Покажіть, що в кристалі можуть бути тільки поворотні осі симетрії другого, третього, четвертого та шостого порядків.

Указівка. Поверніть кристал навкруги вісі, що проходить через деякий вузол ґра-

тки Браве, і скористайтеся властивостями ґратки.

7.Дайте відповідь на запитання:

–Як будується зона Бриллюена?

–Чому дорівнює її об'єм?

–Які властивості симетрії кристалічної ґратки визначають структуру зони Бриллюена?

–Скільки станів (дозволених векторів k) міститься у зоні Бриллюена?

Список літератури

1.Займан Дж. Принципы теории твердого тела. – М: Мир, 1974.

2.Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. – М.: Мир, 1979.

3.Давыдов А.С. Теория твердого тела. – М.: Наука, 1976.

4.Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978.

5.Neamen D. Semiconductor Physics and Devices. – N.Y.: McGraw-Hill, 2003.

6.Kasap S.O. Principles of Electronic Materials and Devices. – N.Y.: McGraw-Hill, 2005.

Розділ 2

ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК

У ФІЗИЦІ ТВЕРДОГО ТІЛА

Подібно до того, як в атомній фізиці основним завданням є визн а- чення станів електронів в атомі та обчислення дозволених рівнів енергії, що можуть мати електрони в атомі, одним із головних завдань фізики твердого тіла є визначення енергетичного спектра та стаціонарних станів електронів у кристалі. Оскільки тверде тіло є багатоелектронною системою, то у загальному випадку таке завдання технічно не може б ути точно розв'язано, але окремі важливі результати можливо отримати за певних наближень і низки припущень. Ці наближення й моделі мають принциповий характер та є основою фізики твердого тіла, зокрема фізики напівпровідників. Із цієї причини ми змушені нижче навести досить громіздкі викладки та детальні обчислення, сподіваючись, що наші зусилля буде винагороджено чітким розумінням того факту, що фізика напівпровідників базується на міцному підмурку добре обґрунтованих моделей і наближень.

2.1. Адіабатичне наближення

Кристал являє собою єдину систему ядер та електронів. Якщо координати електронів позначити через r1, r2,…, а ядер – через R1, R2, то хвильова функція, очевидно залежатиме від координат усіх частинок

Гамільтоніан такої системи містить усі види енергії:

 кінетичну енергію електронів

а рівняння Шредингера для кристала, що складається ізZ атомів, містить 3(Z + 1)N змінних і має у стаціонарному випадку стандартний вигляд

Розв'язання рівняння (2.9) неможливе з багатьох причин, принципових і суто технічних (N – дуже велике число). Як видно з рівнянь, параметрами задачі є маси електронів та ядер, і тому припустимо, що першим кроком до спрощення задачі може бути врахування істотної різниці у масі частинок, що складають кристал – легких електронів і важких ядер. Зрозуміло, що відгук електронів та ядер на однакове збурення буде різний перш за все через різну інерційність частинок. Наближення, що враховує істотно різний характер руху легких електронів і важких ядер у кристалі для розв'язку (2.9), називається адіабатичним. Основна ідея наближення полягає в тому, що для електронів, які здібні швидко змінювати свій рух під дією сили (оскільки вони є легкими порівняно з важкими ядрами атомів), важливим є миттєве положення ядер, на рух яких у свою чергу має впливати усереднений рух електронів. Почнемо із грубого припущення нерухомих ядер, тобто вважатимемо, що електрони рухаються у замороженій ґратці із коор-

динатами вузлів Rα = R0α . У цьому випадку кінетична енергія ядер за-

нулюється, а потенціальна енергія взаємодії ядер стає константою і відповідним вибором початку відліку енергії може також занулитися. Таким чином, маємо гамільтоніан електронів у замороженій ґратці:

Хвильова функція електронів Ψe (ri ; R0α ), що задовольняє рівнянню

є нормованою на одиницю для будь-якого набору координат ядер

37 Розділ 2. ПРИНЦИПИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК…

тобто залежить від координат ядер як від параметрів. У свою чергу від координат ядер залежатиме й енергія електронів, що рухаються у полі замороженої ґратки

Врахуємо тепер рух ядер. Для цього запишемо ядерну частину г а- мільтоніана як

і припустимо, що динаміка ядер описується хвильовою функцією, залежною тільки від координат ядер Ф Z (…Rα…). Гамільтоніан кристала за відсутності зовнішнього поля запишемо як

Оскільки гамільтоніан (2.15) є адитивним щодо електронної та ядерної підсистем, хвильову функцію кристала можна представити як добуток електронної хвильової функції (тобто власної функції гамільтоніана (2.10), обчисленої для довільного розподілу координат ядер) і хвильової функції ядер

Підставимо цю функцію до рівняння Шредингера та скористаємося тим, що, як випливає із (2.10), ФZНeΨe = ФZEeΨe. Маємо

Знайдемо результат дії оператора Лапласа на хвильову функцію (2.16) із врахуванням того, що Ψe залежить від координат ядер

Подіємо на це рівняння інтегральним оператором