OFP-Tretyak-Lozovski

вздовж фазових траєкторій), то повна похідна функції розподілу має дорівнювати нулю

Сила, що входить до цього рівняння, складається із двох частин – сили F, породженої зовнішніми макроскопічними полями, які викликають зміну f, і сили, що намага ється повернути f до f0, природою якої є взаємодія електрона з неоднорідностями кристалічного потенціалу (розсіювання на дефектах, коливаннях ґратки тощо).

Сили, викликані зовнішніми полями, приводять до відносно повільних змін у стані частинки. Інша справа – внутрішні сили, спричинені швидкими взаємодіями частинок у кристалі із сильно локалізованими збуреннями кристалічного потенціалу. Характерні розміри області локалізації складають величини порядку кількох сталих ґра-

тки ( 10–7 cм), а характерні теплові швидкості частинок – 107 cм/c. Таким чином, час взаємодії частинки з локальним збуренням скла-

датиме величину ~ 10–14 c. Така швидкодіюча взаємодія частинки приводить до помітної зміни швидкості та квазіімпульсу частинки. Це означає, що вплив короткодіючої сили, породженої неоднорідностями кристалічного потенціалу, аналогічний зіткненню електрона із розсіювачем, тому ефекти, породжені цією силою, називатимемо ефектами зіткнень. Таким чином, (9.5) можна переписати у вигляді

Ясно, що на відміну від дії зовнішнього поля, яке може викликати впорядкований рух частинок, зіткнення мають хаотичний у просторі та часі характер, для опису якого варто користуватися статистичними підходами. Права частина (9.7) визначає швидкість зміни функції розподілу, що зумовлена процесами зіткнень і часто позначається як (∂f/∂t)col. Для визначення правої частини, яка має спеціальну назву

інтеграла зіткнень, припустимо, що в результаті зіткнень частинки переходять зі станів (r, k) до станів (r, k'). Нехай ймовірністю такого переходу в одиницю часу є w(r, k' ). Ясно, що внаслідок зіткнень координата не змінюється так сильно, як імпульс, тому можна вважати, що ймовірність є функцією тільки імпульсів (або, що теж саме,– хвильових векторів). Виділимо два елементарні об'єми в околицях точок k і k' – dk і dk', відповідно. Числом станів у цих елементарних об'ємах в імпуль-

сному просторі із врахуванням спіну є dk/4π3 та dk'/4π3, відповідно. Із них число зайнятих станів до й після зіткнення

У результаті зіткнень частина електронів переходитиме зі станів dk до станів dk' і навпаки, частина електронів перейде зі станів dk' до станів dk. Із врахуванням принципу Паулі електрони можуть переходити тільки із зайнятих станів до вільних. Тому кількістю електронів, що за час dt залишать об'єм dk, буде

а кількістю електронів, які за той самий час залишили об'єм dk' і перейшли до станів dk,

Таким чином, унаслідок прямих переходів (які зменшують кількість електронів в об'ємі dk) і зворотних переходів (які збільшують кількість електронів) за час dt число станів в об'ємі dk зміниться на величину

Повне число змін станів за час dt в об'ємі dk можна знайти за допомогою інтегрування за всіма можливими k', тобто за всією зоною Бриллюена

З іншого боку, число зайнятих станів у кожний момент часу визначається величиною f (r,k )(dk/4π3 ), і за короткий проміжок часу dt

змінюється як (df/dt)col dt(dk/4π3). Таким чином,

Якщо ймовірності прямих і зворотних переходів є рівними, то підінтегральна функція суттєво спрощується. Дійсно, підінтегральний вираз можна представити у вигляді

w(k′, k )f (r,k′ )−w (k ,k′ )f (r ,k )−[w k( ′ ,k −) w k( ,k′ ])f r( ,k f) r( k, ′ =) = w (k ,k′ )[f (r ,k′ )− f (r ,k)].

Тоді інтегралом зіткнень є

Це рівняння називається кінетичним рівнянням Больцмана та пов'язує еволюцію функції розподілу в часі із рухом частинок, дією зовнішніх полів і зіткненнями носіїв заряду з локальними неоднорідностями потенціалу ґратки. У стаціонарному випадку похідна в лівій частині (9.16) занулюється, і в результаті маємо рівняння балансу

яке показує, що в стаціонарному випадку зміна функції розподілу, обумовлена дією зовнішніх полів і рухом частинок, компенсується зіткненнями носіїв із локальними порушеннями періодичності поля ґратки.

9.2. Час релаксації

Розв'язок (9.16) у загальному випадку є дуже складною проблемою, тому часто використовують наближені методи отримання його розв'язків. Найпоширенішим наближенням є наближення часу релаксації, загальна ідея якого полягає в наступному. Припустимо, що в момент часу t = 0 у системі, що описується нерівноважною функцією розподілу, вимикаються зовнішні поля. Після цього система внаслідок зіткнень приходить у рівноважний стан, який описується рівноважною функцією розподілу f0. Це означає, що після вимкнення зовнішнього поля функція розподілу змінюється тільки завдяки зіткненням електронів із дефектами ґратки

Зрозуміло, що чим більшим є відхилення від рівноваги, тим довше система релаксуватиме до рівноважного стану. Отже, можна стверджувати, що швидкість зміни функції розподілу є функцією різниці нерівноважної і рівноважної функцій розподілу, тобто

Зіткнення є пружними, якщо кінетична енергія частинок у процесі зіткнень зберігається. За непружних зіткнень енергія частинки змінюється. Якщо зіткнення електронів зі структурними порушеннями є пружними, то в електрона змінюється лише напрямок хвильового вектора та виконуються рівності: k = k', v = v', E = E'. Це означає, що ∂f0/∂E' = ∂f0/∂E. Тоді із (9.27) випливає, що час релаксації для пружних зіткнень визначається як

У межах використаного наближення припустимо тепер, що вектори k та χ мають однаковий напрямок, а вектор k' складає з k кут ϑ. Тоді

Для обчислення часу релаксації необхідно знати механізм розсіювання носіїв. Як відомо з теорії розсіювання, основною характеристикою процесу розсіювання є його диференціальний переріз: відношення числа частинок, які відхиляються одним розсіювачем за 1 с на кут dϑ в одиничний об'ємний кут до потоку частинок, які проходять через одиничну площину за 1 с. Наприклад, за розсіювання електрона на іонах домішки диференціальний переріз розсіювання описується формулою Резерфорда (див. додаток D)

Такою самою формулою описується розсіювання носіїв на будь-якому зарядженому центрі. Зрозуміло, що в загальному випадку задача обчислення диференціального перерізу розсіювання на зарядженому центрі є досить складною. Але якщо вважати, що рух електрона в кристалі може бути врахований введенням ефективної маси, а екранування потенціалу центру в кристалі описується введенням діелектричної функції, задача суттєво спрощується та як результат отримуємо (9.30). На пр икладі розсіювання на іонізованих домішках проаналізуємо зв'язок між часом релаксації та ефективним перерізом розсіювання. Припустимо, що в кристалі одиничного об'єму є NІ іонів

домішки. Тоді число носіїв, що розсіяні всіма центрами в тілесний кут dΩ, складає

або τ = 1/σNv – звичайний вигляд для характерних часів у фізиці. Ймовірність переходу зі стану k до стану k' за розсіювання електронів на іонах домішки визначається диференціальним перерізом розсіювання, кількістю центрів розсіювання і швидкістю руху носіїв. Оскільки маса іона на чотири порядки більша за масу електрона, а швидкість іона набагато менша за швидкість електрона, розсіювання електрона на іоні можна вважати пружним. Якщо при зіткненні носії розсіюються в тілесний кут dΩ , то часом релаксації є

Іншими словами, для обчислення часу релаксації необхідно знати ефективний переріз розсіювання і за подальшого проведення інтег-

рування, згідно із (9.34), можна отримати τ(k). Величину

(ϑ)

називають ефективним перерізом розсіювання або транспортним ефективним перерізом за ізотропного розсіювання. Формулу, аналогічну (9.35), можна отримати й у більш загальному випадку анізотропного пружного розсіювання

Таким чином, час релаксації визначається ефективним перерізом розсіювання та концентрацією іонів домішок, на яких відбувається розсіювання носіїв.

Формулу, аналогічну (9.37), можна отримати і в загальному випадку розсіювання частинок на центрах розсіювання будь-якої природи. У кристалі носії можуть брати участь у процесах розсіювання на

іонах домішок;

нейтральних атомах домішок;

теплових коливаннях ґратки;

вакансіях і точкових дефектах;

дислокаціях;

границях кристалитів, площинах двійникування, границях кристала;

носіях заряду.

Можна показати (див. додаток D), що час релаксації для розсіювання носіїв заряду на іонах домішок пропорційний енергії у ступені 3/2 та кореню квадратному з ефективної маси

За розсіювання носіїв заряду на нейтральних домішкових атомах (актуальне тільки в області низьких температур за концентрації іонізованих атомів домішки, істотно меншої від концентрації нейтральних атомів) варто зважати на те, що тепер процес розсіювання мо же проходити двома каналами (пряме пружне розсіювання та обмін падаючого електрона на електрон атома). У моделі, де електрони розсіюються на воднеподібній домішці в середовищі з ефективною діелектричною сталою εr , час релаксації визначається формулою

тобто він при розсіюванні на нейтральних атомах домішок не залежить від температури та енергії носіїв заряду, а визначається тільки концентрацією домішок. Розрахунки показують, що у випадку розсіювання носіїв на дислокаціях час релаксації не залежить від температури, а визначається щільністю дислокацій на одиницю поверхні ND і

швидкістю носіїв

τ = 3 1 . (9.43)

D 8Rv ND

У цій формулі R є ефективним діаметром ядра дислокації. При цьому характерні часи релаксації τD ~ 10–9 с. За розсіювання носіїв заряду на теплових коливаннях ґратки виявляється, що час релаксації за розсіювання носіїв на довгохвильових повздовжніх фононах визначається формулою

де g – константа електрон-фононного зв'язку, а – стала ґратки, М – маса ядра атома. Для германію за кімнатної температуриτl 10–12 – 10–13 c.

Таким чином, ми бачимо, що за підвищення енергії носіїв час релаксації за розсіювання на іонізованих домішках збільшується, а за розсіювання на акустичних коливаннях ґратки – зменшується.

9.3. Електропровідність напівпровідників

Визначення нерівноважної функції розподілу дає можливість описати у напівпровідниках усі явища перенесення. Для прикладу розглянемо невироджений напівпровідник, що знаходиться в електричному та магнітному полях і характеризується деяким розподілом температури за об'ємом так, що градієнт температури не є нульовим. За наявності зовнішніх полів на електрон діє сила

Тоді стаціонарне кінетичне рівняння запишеться як

Якщо система знаходиться в майже рівноважному стані, то нерівноважна функція розподілу слабко відрізняється від рівноважної. Скористаємось цією обставиною і запишемо (9.46) у вигляді

Подальший аналіз цього рівняння проведемо окремо для електронів і дірок. Виконаємо деякі перетворення. Почнемо з першого доданку лівої частини (9.47), пам'ятаючи про те, що рівноважна функція ро з- поділу явно залежить від температури та рівня Фермі

А оскільки для невиродженого електронного газу в напівпровіднику можна записати

Розберемося тепер із доданком у лівій частині (9.47), що містить магнітне поле

Тут ми використали той факт, що доданок, пропорційний похідній функції розподілу за енергією, містить змішаний векторний добуток v ×B v = (v × v) B = 0 . Для подальшого аналізу (9.47) знову запишемо не-

рівноважний доданок функції розподілу f1 через вектор χn (E ) (індекс n підкреслює, що йдеться про електронну компоненту носіїв заряду)

Далі обчислення похідної від цієї функції за хвильовим вектором k проводимо із врахуванням того, що k є векторним диференціальним оператором, який діє на скалярний добуток двох векторів

=− ∂∂fE0 χn (E )− k ∂∂E ∂∂fE0 χn (E ) v.

Підставимо цей вираз до (9.53). Зважаючи на те, що в останньому д о- данку у (9.55) вираз у дужках є деяким скаляром (позначимо його тимчасово як Г), що помножений на вектор v, маємо

При обчисленні цього виразу враховуємо, що змішаний добуток трьох векторів, два з яких однакові, дорівнює нулю. Підставимо тепер ви-

рази із (9.51), (9.52) та (9.56) до рівняння (9.47)

для визначення вектора χn, отже і нерівноважного доданку функції розподілу f1(k)

Оскільки у явищах електроперенесення беруть участь як електрони, так і дірки, то необхідно також знати нерівноважний доданок до рівноважної функції розподілу дірок. Врахуємо тепер, що енергія дірок записується як

Концентрація вільних носіїв у невиродженому напівпровіднику визначається формулами

де εi =Eg/kBT і ζ = (EF − EC)/kBT (Eg – ширина забороненої зони). Для дірок можна використати такий самий вираз, як і для електронів із

Для розв'язку рівнянь (9.58) та (9.62) візьмемо до уваги, що вони є векторними лінійними рівняннями типу

Для розв'язку (9.63) зазначимо, що скалярний добуток обох його частин із вектором b дає

а векторний добуток обох частин із вектором b приводить до рівності