Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

110

рівнює нулю. Зовнішнє магнітне поле H трохи деформує електронну оболонку атома, у результаті чого виникає ненульовий магнітний момент, спрямований проти поля, тобто момент, що зумовлює діамагнітний ефект. У межах уявлень класичної фізики цей ефект можна пояснити за допомогою теореми Лармора, згідно з якою ввімкнення магнітного поля впливає на електродинамічні властивості фізичної системи так само, як її прецесія – навколо напрямку поля з кутовою частотою Ω = e H/(2mc). Зважаючи на малу величину діамагнітного ефекту, атом із нульовим механічним (орбітальним і спіновим) моментом називають діамагнітним або немагнітним.

У разі, коли атом має ненульовий механічний момент, його магнітний момент не дорівнює нулю навіть за відсутності зовнішнього поля. Такий атом називають парамагнітним. Фізичні тіла, до складу яких входять парамагнітні атоми, називають парамагнетиками. Оскільки в нульовому магнітному полі просторова орієнтація магнітних моментів атомів є хаотичною, середня (за координатами та часом) намагніченість парамагнетика дорівнює нулю. Увімкнення зовнішнього магнітного поля викликає парамагнітний ефект, який полягає у виникненні намагніченості, спрямованої за полем. Парамагнітний ефект значно перевищує за величиною діамагнітний, тому намагнічуватися проти поля можуть лише ті системи, до складу яких не входять парамагнітні атоми. До того ж величина намагніченості в діамагнетиках завжди буде дуже малою. У парамагнетиках діамагнітний ефект хоч і присутній, але непомітний на фоні парамагнітного ефекту.

Парамагнетизм, обумовлений електронними спінами, локалізованими поблизу атомів (парамагнетизм Ланжевена), можна охарактеризувати спіновою поляризацією

P =	N+ −N−	,	(5.7)
	N+ +N−

де N+ і N− – кількість спінів, спрямованих уздовж і проти магнітного поля, відповідно. Для невироджених систем, згідно із формулою Больцмана,

N± exp(µB H/kT ).

(5.7)

У переважній більшості випадків µBH << kT (ця нерівність перестає

справджуватися лише за зростання поля до величини 105 E та зменшення температури до величин 10 K). У такому разі

P ≈	µB H	,	(5.9)
	kT

а намагніченість системи можна оцінити за формулою

111	Розділ 5. ЕЛЕКТРОН У МАГНІТНОМУ ПОЛІ
	N	N µ2 H	,
	M µB V	P V kTB	,	(5.10)

яка вказує, що намагніченість зменшується зі зростанням температури. Парамагнетизм колективізованих електронів (парамагнетизм Паулі)

описують спіновою поляризацією

ni+ −ni−	,
Pi = ni+ +ni−	,	(5.11)

де ni+ і ni− дорівнюють середній кількості електронів зі спінами вздовж і

проти поля на і-му енергетичному рівні. Підставляючи до (5.5) значення енергії εi(H) = εi(0) ± µBH із (5.11) у випадку, коли µBH << kT, отримаємо

	−	n	i	µ	B	H	.	(5.12)
Pi = 1
		2		kT

Ця формула показує, що відчутний внесок до поляризації дають лише електрони, розташовані на енергетичних рівнях, ймовірність заповнення яких істотно різниться від одиниці (ni ≠ 2). За нульового зна-

чення температури такі рівні відсутні, а за ненульових – вони розташовані в енергетичному інтервалі завширшки kT навколо енергії Фермі.

За значень kT << εF кількість електронів ∆N на напівзаповнених рівнях лінійно зростає з температурою, тобто ∆N = const T. Завдяки цьому намагніченість

M µB	N	µB2 H		µB3 H .	(5.13)
		kT		k

Як уже зазначалось, за полів H ≤ 105 E і температур, вищих за 10 К, спінова поляризація та намагніченість систем є незначними. Однак існує велика кількість речовин, які намагнічуються до значень M µBN/V у

набагато слабкіших полях (зазвичай менших або порядку 102 Е) та іноді зберігають намагніченість і після вимкнення зовнішнього магнітного поля. Такі речовини називаються феромагнетиками. Усі феромагнетики переходять у парамагнітний стан, коли температура перевищує певне критичне значення TC, що називається температурою Кюрі.

5.3. Рівні Ландау

Для з'ясування явищ, що спостерігаються у сильному магнітному полі, розглянемо гамільтоніан частинки, де магнітне поле задається вектор-потенціалом A(r). У цьому випадку, як відомо з класичної м е- ханіки, узагальнений імпульс запишеться у вигляді

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

112

P = p +eA .	(5.14)
З іншого боку, оскільки кінетична енергія
T = p2/2m,	(5.15)
то її можна записати через узагальнений імпульс
T = (P −eA)2 .	(5.16)
2m

Згідно із принципом відповідності ми маємо замінити всі величини на їхні оператори. Таким чином частина гамільтоніана, що відповідає кінетичній енергії, запишеться як

	T = (i +eA)2 .	(5.17)
	2m
Далі знайдемо явний вигляд оператора (i + A)2
	(i + A)2 = −∆ + i A + iA + A2 .	(5.18)
Оскільки	A = ( A) + A ,	(5.19)
і ми можемо вибрати таке калібрування, де diνA = 0, то
	(i + A)2 = − + 2iA + A2.	(5.20)

Підставимо цей вираз до (5.17), попередньо домноживши ∆ на 2, на і A – на е. Маємо

T	= −	2	+ e2A2	+	i e	(A		.	(5.21)
T		2m	2m		m	(A	)

Таким чином, розглядаючи рух вільного електрона у магнітному полі як гамільтоніан, можна використовувати оператор (5.21). Припустимо, що магнітне поле, яке діє на частинку, є однорідним і направлено вздовж вісі OZ системи координат: B = (0, 0, B). У такому випадку

∂∂Ayz − ∂∂Azy = 0,

	∂Ax	−	∂Az	= 0,	(5.22)
	∂z	−	∂Az	= 0,	(5.22)
	∂z		∂x
	∂Ay		∂A
		−	x	= B.
	∂x	−	x	= B.
	∂x		∂y
Ці рівняння задовольняються, якщо
Ay = Az = 0; Ax = −yB.					(5.23)

До того ж, подібний вибір вектор-потенціалу задовольняє умові вибраного калібрування. Рівняння Шредингера тепер матиме вигляд

113	Розділ 5. ЕЛЕКТРОН У МАГНІТНОМУ ПОЛІ

−	2	ψ −	i eB	y	∂ψ	+	e2B2y2	ψ = Eψ	(5.24)
−	2m	ψ −	m	y	∂x	+	2m	ψ = Eψ

та є диференційним рівнянням зі змінними, що розділяються, якщо шукати хвильову функцію у вигляді

ψ(x, y, z)= eikx xeikzz ϕ(y).

(5.25)

Підставимо (5.25) до (5.24) та отримаємо

eBk

e2B2y2

ϕ(y)= Eϕ(y). (5.26)

−

−kx

−kz

ϕ(y)+

yϕ(y)+

Це рівняння можна істотно спростити, якщо припустити, що y = y0 + y'. Тоді останні два доданки в лівій частині (5.26) можна записати як

ekxB

′

ekxB

e2B

′2

e2B

2 2

e2B2

′

y0 +

y y0

(5.27)

e2B2

′2

ekxB

′

( kx +eBy0 )y .

Вибираючи y0 = − kx/eB, занулюємо доданок з y'. Тоді (5.27) запишеться як

e2B

2kx2

y′ +

−

(5.28)

Враховуючи ці обставини, маємо

e2B2y′2

2k2

−

−kx

−kz

ϕ(y′)+

−

ϕ(y′)= Eϕ(y′).

(5.29)

Це рівняння можна переписати у вигляді

′2

−

ϕ(y′)+

B y

ϕ(y′)= E −

ϕ(y′).

(5.30)

2m dy

Введемо позначення

ω0 = еВ/m,

(5.31)

E′ = E −

2kz2

(5.32)

перепишемо (5.30) як

′

mω02y′2

′

(5.33)

−

2m dy2 ϕ(y

)

ϕ(y

)= E

ϕ(y )

Отримане рівняння є нічим іншим, як рівнянням гармонічного осци-

лятора з масою mі частотою ω0. Енергією осцилятора є E' = ω0(n + 1/2). Звідси, враховуючи (5.32), маємо

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

114

E =	2kz2	+ ω	n +	1	.	(5.34)

	2m	0		2

Доходимо висновку: на рух уздовж поля (уздовж вісі OZ) магнітне поле не впливає. Енергія, пов'язана з рухом уздовж цього напрямку, не квантована, а рух у площині, перпендикулярній полю, є рухом за колом із частотою ω0, що називається циклотронною. Енергія, пов'язана з цим рухом, квантована. Спектр частинки в цьому випадку можна зобразити у вигляді набору квадратичних парабол, які зсунуті вздовж

осі енергії на величину ω0 (рис. 5.1). Якщо припустити, що другий дода-

En(k)

нок у (5.34) пов'язаний із рухом уздовж кругової

орбіти, то енергією такого руху є E

=mω2R2/2,

n = 3

а радіус орбіти залежить від поля та є ква

н-

n = 2

тованим

n = 1

R =

(5.35)

mω0

n +

n = 0

Очевидно, що для руху електрона в кристалі

ми отримаємо такі самі результати із заміною

маси електрона на ефективну масу. Тоді

2kz2

E(kz ,n,)ωC =

(5.36)

Рис. 5.1. Спектр електрона

+ ωC n +

в магнітному полі

із циклотронною частотою

ωC = eB/2m*.

(5.37)

Дамо тепер оцінку величини магнітного поля, за якого можливе спостереження ефектів квантування. Ясно, що ефекти, пов'язані з квантуванням енергії, спостерігатимуться лише у випадку, якщо відстань між рівнями перевищує їх ширину, що є наслідком термічного розширення. Іншими словами, для можливості спостереження ефектів квантування в магнітному полі необхідно виконання умови

ωC > kT.

(5.38)

Наприклад, для температури рідкого гелію звідси отримуємо

B > 4,2 104(m/m*)[Гс],

(5.39)

тобто для спостереження квантування енергії зонного електрона в магнітному полі за температури порядку гелієвої потрібні поля в десятки кілогаусів.

5.4. Задачі

115	Розділ 5. ЕЛЕКТРОН У МАГНІТНОМУ ПОЛІ

1.Для якого з напівпровідників – кремнію чи арсеніду галію – за температури рідкого гелію потрібні менші магнітні поля для спостереження ефектів квантування Ландау.

2.Оцініть величину циклотронної частоти для кремнію та арсеніду галію в магні-

тному полі величиною 4,2 кГс за температури 4,2 К.

Список літератури

1.Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая шк., 1975.

2.Третяк О.В., Львов В.А., Барабанов О.В.Фізичні основиспінової електроніки.– К.: ВПЦ "Київський університет", 2002.

3.Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. – М.: Мир, 1986.

4.Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. – М.: Наука, 1978.

Рис. 6.1. Одновимірний ланцюжок атомів

Розділ 6 КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

Розглядаючи рух електрона в періодичному полі кристалічної ґратки, при введенні поняття квазіімпульсу ми наголошували, що зонний електрон, рухаючись у такому полі, не розсіюється (див. коментар до формули (2.58)), і вся взаємодія електрона із ґраткою зводиться до фор- мування закону дисперсії зонного електрона. У більшості випадків у напівпровідниках ця взаємодія зводиться до введення ефективної маси. Зрозуміло, що ідеальних ґраток у природі не існує, оскільки завжди мають місце різного роду дефекти кристалічної структури, а головне, за ненульових температур атоми в ґратці коливаються, тим самим спотворюючи кристалічний потенціал. Іншими словами, електрони тепер рухаються не в ідеальному періодичному потенціалі. На потенціал накладається коливальний рух атомів ґратки, тому у багатьох випадках розсіювання електронів на такого роду неідеальностях приводить до формування специфічних електронних властивостей напівпровідника. З'ясуємо, яким чином можуть бути описані коливання ґратки, а також ефекти, що можуть стати наслідками взаємодії електронів із коливаннями ґратки.

6.1. Одновимірний лінійний ланцюжок атомів

Для вивчення характерних рис коливання

атомів у кристалічній ґратці розглянемо просту одновимірну модель – лінійний ланцюжок однакових атомів масою m, що ро з-

ташовані один від одного на відстані а. Нехай n-й атом змістився на відстань un (pис. 6.1).

Якщо це зміщення незначне, то силу взаємо- дії можна розглядати як пружну, тобто пропорційну зміні відстані між

атомами. Для простоти врахуємо лише взаємодію між найближчими сусідами. Тоді сила, що діє на атом n, дорівнюватиме сумі сил, які діють з боку атомів n + 1 та n − 1:

Fn = −β(un − un +1) − β(un − un-1) = β(un+1 + un–1 − 2un),

(6.1)

де β – коефіцієнти квазіпружної сили. Рівнянням руху n-го атома (рів- нянням Ньютона) є

m d2un	= β(u	+u	−2u ).	(6.2)
dt2	n +1	n −1	n

Шукаємо розв'язок цього рівняння у вигляді

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

118

u = Aei(qan−ωt ),	(6.3)
n

де величину q можна розглядати як хвильовий вектор коливань, що відбуваються із частотою ω. Підставимо цей вираз до (6.2)

	−mω2 = β(eiqa +e-iqa −2)= β(2cosqa −2)= −2β(1−cos2(qa/2))
або	mω2 = 4βsin2(qa/2).	(6.4)

Таким чином із (6.4) отримуємо залежність частоти коливань в одновимірному ланцюжку атомів від хвильового числа (закон дисперсії або дисперсійне співвідношення)

	ω = ± ωmsin(qa/2),			(6.5)
де	ωm = 2		.
		β/m		(6.6)

Оскільки швидкість розповсюдження пружної хвилі вздовж ланцюжка атомів пов'язана із частотою та довжиною хвилі через співвідношення

ω = 2π	ν	,	(6.7)
	λ

то із (6.5) знайдемо зв'язок швидкості розповсюдження вздовж ланцюжка атомів пружної хвилі із довжиною λ

ν = λ
ν = λ	β	sin(a	π λ	.	6.8)
π	m	sin(a	/ )
π	m

Для визначення меж зміни хвильового числа порівняємо зміщення з рівноважного положення для двох значень хвильового числа – q та q' = q + (2π/a)g із цілим невід'ємним числом g

un,g = Aei(qan +2πgn −ωt ) = Aei(qan −ωt )e2πgn = un

(6.9)

і впевнимося, що хвиля із хвильовим числом q збігається із хвилею із хвильовим числом, що зсунуте на величину, кратну 2π/a. Це означає, що коливання із хвильовими числами q та q' = q + (2π/a)g характеризують ті самі коливання. Тому можемо характеризувати всі коливання хвильовими числами з інтервалу

−	π	≤ q ≤	π	.	(6.10)
	a		a

Область, де знаходяться всі можливі значення хвильових векторів, збігається із зоною Бриллюена для хвильового вектора k для електронів у випадку одновимірного кристала.

119Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

ωТакі коливання, коли при q→0 частота та-

			кож прямує до нуля, називаються акус-
	ωm		тичними. Закон дисперсії коливань одно-
			вимірного ланцюжка з однакових атомів
			подано на рис. 6.2. Нехай атомний ланцюжок
			налічує N атомів. Застосуємо до цих коли-
			вань граничні умови Борна–Кармана
						un±N = un .	(6.11)
–π/a	0	q	Враховуючи розв'язок (6.3), звідси маємо
–π/a	0	π/a	Aei(qa(n±N )−ωt ) = Aei(qan−ωt )e±iqaN , e±iqaN =1				(6.12)
Рис. 6.2. Закон дисперсії			Aei(qa(n±N )−ωt ) = Aei(qan−ωt )e±iqaN , e±iqaN =1				(6.12)
Рис. 6.2. Закон дисперсії
коливань одновимірного			або			qaN = 2π g	(6.13)
кристала з однакових атомів			або			qaN = 2π g	(6.13)
кристала з однакових атомів					2π
Звідси знаходимо			q =		2π	g .	(6.14)
Звідси знаходимо			q =			g .	(6.14)
				aN
Підставляючи цей вираз до (6.10), маємо
			− N	≤ q ≤ N .			(6.15)
			2	2

Таким чином, для атомного ланцюжка, який складається з N однакових атомів, хвильовий вектор змінюється дискретно в інтервалі значень −π/a ≤ q ≤ π/a і може набувати N значень – стільки, скільки елементар-

них комірок міститься у ланцюжку. Для великих значень N можна вважати, що хвильовий вектор змінюється квазінеперервно.

6.2. Довгодіючі сили та метод оберненої ґратки

Раніше ми розглянули коливання одновимірного атомного ланцюжка у випадку, коли між атомами існують тільки короткодіючі сили, й лише взаємодія між найближчими сусідами є суттєвою. У реальних кристалах (крім короткодіючих сил, що зумовлені перекриванням хвильових функцій), існують також довгодіючі (напр., кулонівські). Розглянемо, як відбувається коливання атомів у такому кристалі на прикладі одновимірного ланцюжка, що утворює іонний кристал (ланцюжок із позитивними та негативними зарядами, що чергуються). Потенціальна енергія в такій системі записується у вигляді

ϕ = 12 ∑i, j W (x j − xi ),

(6.16)

де W(xi – xj) – потенціальна енергія парної взаємодії двох іонів, що розташовані в точках xi та xj лінійного ланцюжка, відповідно.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

120

Рівняння руху ланцюжка іонів маси m матиме такий вигляд

	d2uj			∂2W
m			= −∑				ui ,	(6.17)
m	dt	2	= −∑	∂x	∂x		ui ,	(6.17)
	dt		i	∂x	∂x
				j		i 0

де uj – зміщення j-ї частинки з її рівноважного стану. Оскільки енергія W має описувати рівноважну кристалічну структуру, у стані рівноваги похідні ∂W/∂xj мають дорівнювати нулю для будь-яких j. Але другі похідні

∂2W				≠ 0	(6.18)

∂x		∂x
	j
			i 0

визначають міжатомні силові сталі. З іншого боку, за зміщення всіх атомів на одну й ту саму величину результуюча сила, що діє на будь-який атом, обертається нулем, тобто має виконуватись умова

∑	∂2W			= 0 .	(6.19)

	∂x	∂x
i
	j		i 0

Крім того, трансляційна інваріантність кристала вимагає, щоб похідні (6.18) були функціями від xj − xi . Загальний розв'язок рівняння (6.17) знов шукаємо у вигляді

uj = Aei(qx0 −ωt ), (6.20)

де x0j = ja – рівноважна координата j-го атома. Із (6.17) тепер маємо

∂2W

iq(x0 −x0 )

mω2 = ∑

(6.21)

∂x

Позначимо праву частину (6.21) через D(q), тобто

D(q)= ∑

∂

eiq(xi

−x j

) .

∂x

i 0

Беручи до уваги рівняння (6.19) (тобто додаючи до (6.21) нуль), запишемо

D(q)= −		∂2W		−e	iq(xi0 −x0j	)	.	(6.22)
			1
			1
	∑
	i	∂x j ∂xi 0

Для короткодіючих сил (у наближенні взаємодії найближчих сусідів) можна вважати, що

2	−f ,	\| i − j \|	=1
∂ W	=			,	(6.23)
	0 ,	\| i − j \|	≠1
∂x j ∂xi 0	0 ,	\| i − j \|	≠1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019317.44 Кб1OE_Lab_1.doc
#
08.11.2019176.13 Кб4OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб6OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб1OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
19.03.201513.24 Mб64OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб17Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб12Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб201OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc