Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 7212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

121	Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

тоді із (6.22) маємо результат, який уже отримували раніше
D(q)= f (2−eiqa −e−iqa )= 2f (1−cosqa).	(6.24)

Для системи із довгодіючим парним потенціалом розкладемо функ- цію W(xj – xi) у ряд Фур'є

W (x j − xi )= ∑W(q′)eiq′(x j −xi ) .	(6.25)
q′

Тоді силові сталі отримуємо простим диференціюванням

∂2W				2	iq′(x0j	−xi0 )
				= ∑q′ W (q′)e			,
∂x		∂x		= ∑q′ W (q′)e			,
∂x	j	∂x		q′
	j		i 0

і (6.22) набуде вигляду

iq′(x0j

−xi0 )

−e

iq(xi0

−x0j

)

D(q)= −∑∑q′ W(q′)e

q′

Перегрупуємо це рівняння

′

−q )(x

−x

)

′

−x

)

D(q)= ∑ ∑q

′2W

(q′)e

−∑W (q′)e

q′ i

іврахуємо тотожність (див. задачу 3 розд. 1)

∑eipxn0 = N δp,g ,

де g – вектор оберненої ґратки. У результаті маємо

ω2 = N ∑(q + g)2W (q + g)− N ∑g2W (q).
m g	m g

(6.26)

(6.27)

(6.28)

6.29)

(6.30)

Для прикладу розглянемо випадок кулонівського екранованого потенціалу

W (g)=	4π (Ze)2	,	(6.31)
	Ω(g2 + λ2 )

де λ – параметр екранування, Ω = Na – об'єм кристала. Оскільки за малих λ у (6.30) внесок дає тільки доданок із нульовим вектором оберненої ґратки в першій сумі, то маємо наближено

2	4π (Ze)2 N q2						ω2p		.
ω ≈					+					(6.32)
ω ≈	mΩ q	2	+ λ	2	+		2	2		(6.32)
	mΩ q		+ λ			1+ λ /q

Зауважимо, що за нехтування екрануванням ми отримаємо не корект- ний результат бездисперсійних коливань ґратки, де частота не наближається до нуля за зменшення хвильового вектора, тобто коли-

вання не будуть акустичними. За λ ≠ 0 і малих q2 із (6.32) отримаємо наближено закон дисперсії акустичних коливань у твердому тілі

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ	122
ω2 ≈ c2q2, c = ωp/λ.	(6.33)

Отже врахування ефектів довгодії не викликає принципової відмінності коливань одновимірного ланцюжка однакових атомів, що зумовлені близькодіючими силами.

6.3. Коливання двоатомного лінійного ланцюжка

Розглянемо коливання одновимірного

′

кристала, в елементарній комірці якого є

два атоми з масами m1

та m2. Атоми

першого типу знаходяться у вузлах ґра-

тки n', а другого – у вузлах n''. Їх зм і-

′′

щеннями зі стану рівноваги в n-й комірці

є un′ та un′′ , відповідно (рис. 6.3). Припус-

Рис. 6.3. Коливання двоатомного

тимо, що коефіцієнти квазіпружної сили

лінійного ланцюжка.

між сусідніми атомами однакові й дорі-

Штрихованими кульками позначено

внюють β. Тоді рівняннями руху для

місця рівноважної позиції атомів

атомів обох типів є

..′

n-ї комірки

′′

′

(6.34)

m1 un

= β(un

+un −1

−2un ),

..′′

′

′′

m2 un

= β(un +un+1

−2un ).

Шукаємо розв'язок цієї системи рівнянь у вигляді

un′

= A1ei(qan−ωt ),

(6.35)

un′′ = A2ei(qan−ωt ).

Підставимо (6.35) до системи (6.34).

−ω2m A = β A (1+e−iqa )−2β A

(6.36)

−ω2m A

= β A (1+eiqa )−2β A .

Перепишемо цю систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо An у стандартному вигляді

(2β−ω2m )A −β(1+ e−iqa )A = 0,
1	1		2		(6.37)
−β (1+eiqa )A		+(2β−ω2m	)A	= 0.	(6.37)
−β (1+eiqa )A		+(2β−ω2m	)A	= 0.
	1	2	2

Для існування ненульових розв'язків цієї системи необхідною умовою є рівність нулю детермінанта

2β−ω2m	−β(1+ e−iqa )	= 0 .

1			(6.38)
−β(1+ eiqa )	2β−ω2m2

123	Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

Звідси маємо			(2β−ω2m )(2β−ω2m						)−β2			(1+e−iqa )(1+eqa )= 0					(6.39)
				1				2
або		4		m +m		2	2	β2				−(1+e	−iqa	)(1+e	qa	.
		4		1		2	2						−iqa				(6.40)
	ω −2β						ω +				4						(6.40)
				m m	2			m m		2
				1	2			1		2

Зважаючи на те, що вираз у квадратних дужках дорівнює 4sin2(qa/2) і вводячи позначення

	ω02 = 2β							m1 +m2							(6.41)
	ω02 = 2β														(6.41)
									m1m2
та	γ	2	= 4				m1m2				,				(6.42)
та	γ		= 4			m			+m	2	,				(6.42)
				1						2
знайдемо розв'язки біквадратного рівняння (6.40)
ω2+ =	ω20 1+													,
ω2+ =	ω20 1+					1− γ2sin2						(qa/2)		,	(6.43)
	2
ω2− = ω20 1−													.
ω2− = ω20 1−					1− γ2sin2(qa/2)								.		(6.44)
	2

Отримано нетривіальний результат: кожному значенню q відповідає два значення частоти, тобто в одновимірного кристала, у якого в елементарній комірці знаходяться два атома, існують дві гілки коливань.

Звернемо увагу, що як й в одноатомному ланцюжку розв'язок (6.40) містить корінь ω–, який поблизу точки q = 0 стає пропорційним q та

прямує до нуля. Це коливання називається акустичним, оскільки воно є аналогічним довгохвильовому коливанню ланцюжка, що розглядається як пружний континуум. При цьому групова швидкість такого коливання дорівнює швидкості звука у середовищі.

Гілка ω+ відповідає оптичному коливанню. Дійсно, при q = 0 підґрат-

ки легких і важких атомів рухаються без деформацій у протилежних напрямках. Інакше кажучи, двоатомна молекула в кожній елементарній комірці коливається так, начебто вона незалежна від сусідів. Якщо атоми різного типу мають електричний заряд протилежного знаку (як буває у випадку іонних кристалів), то виникає оптично активний осцилюючий дипольний момент, тобто оптична гілка коливань у кристалах з іонним зв'язком може збуджуватись світлом відповідної частоти.

У граничних випадках найдовших (q = 0) і найкоротших (q = π/a) хвиль із (6.43) і (6.44) випливає, що

			ω0
									,
ω−(0)= 0,		ω−(π/a)=				1−	1− γ2				(6.45)

			2
			2
				ω
										.
ω (0)= ω ,		ω (π/a)=			0	1+		1− γ2			(6.46)
ω (0)= ω ,		ω (π/a)=				1+		1− γ2			(6.46)
+	0	+	2
			2

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ	124
Звідси можна визначити ієрархію граничних частот
ω+(0)> ω+(π/2)> ω−(π/2)> ω−(0).	(6.47)

Використовуючи визначення (6.35) і (6.37) для випадку ω−(0) = 0, маємо

′		A1
un	=	A1	=1,	(6.48)
un′′ −		A 2 −

тобто всі атоми мають одне й те саме зміщення. Це означає, що в н е- скінченно довгій хвилі акустичної гілки коливань атоми рухаються синхронно – комірки зміщуються згруповано, як одне ціле.

Нескінченно довгій хвилі оптичних коливань відповідає частота ω0. Із (6.35) та (6.37) отримуємо, що

′

2β

= −

(6.49)

1−(m1 +m2 )/m2

un′′ +

A 2 +

2β−m1ω0

Ці співвідношення означають, що для нескінченно довгої хвилі оптичної моди коливань атоми у комірці зміщуються у протилежних напрямках – коливаються у протифазі. При цьому центр тяжіння кожної пари атомів лишається нерухомим: m1un′ +m2un′′ = 0 . Закон дисперсії ко-

ливань одновимірного кристала із двома атомами на елементарну комірку показано на рис. 6.4. Треба звернути увагу на наявність енергетичної щілини між акустичною та оптичною гілками коливань.

оптична гілка

ω0

акустична

гілка

	0	q
–π/a	0	π/a

Рис. 6.4. Закон дисперсії коливань одновимірної ґратки із двома атомами в комірці

6.4. Коливання атомів кристала. Фонони

Зміщення атомів кристалічної тривимірної ґратки можна описати як суперпозицію нормальних коливань ґратки. Кожне нормальне коливання являє собою хвилю, напрямок розповсюдження якої визначається хвильовим вектором q. Останній має стільки значень, скільки елементарних комірок існує у кристалі. Значення q змінюються у межах

−π ≤ qiai ≤ π,

(6.50)

де ai – стала ґратки (і = x, y, z). Кристал містить N = NxNyNz елементарних комірок, у кожній з яких може бути s атомів. Кожний атом визнача-

125 Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

ється трьома ступенями свободи, тобто кристал характеризуватиметься 3sN ступенями свободи. Це означає, що в кристалі існуватиме 3sN хвиль. У тривимірному кристалі можуть існувати два типи пружнихколивань:

повздовжні – хвилі стиснень і роз-
ріджень та поперечні – хвилі де-
формацій зсуву. В останніх зсув
атомів	ґратки відбувається	в
площині,	перпендикулярній	до
напрямку розповсюдження хвилі, і
може мати два головних напрямки
поляризації. Таким чином, у кри-			а	б
сталі s-типу коливання будуть по-
			Рис. 6.5. Схема виникнення коливань
вздовжніми, а 2s-типу – попереч-
				ґратки кристала:
ними. Кожному значенню хви-
			а – повздовжніх, б – поперечних.
льового вектора q відповідає 3s			Лініями показано атомні площини. Видно,
коливань, що відрізняються час-			що повздовжні коливання є хвилями
тотою та поляризацією. Три гілки,			стиснень і розтягнень, а поперечні –
для яких у довгохвильовому набли-			хвилями деформацій зсуву

женні групова та фазова швидкості дорівнюють одна одній νгр = νф = νзв (νзв – швидкість звуку у кристалі), будуть акустичними. Інші (3s−3) гілки, для яких при q→0, νph→∞, а νгр → 0, будуть оптичними.

Кожне із 3sN нормальних коливань можна уявити як гармонічний осцилятор (тобто повна енергія коливань кристала дорівнює сумі енергій коливань 3sN гармонічних осциляторів, що не взаємодіють між собою). Якщо qj осцилятору, що коливається із частотою ωj(q), при-

писати енергію Eqj = ωj(q)(nqj + 1/2), то повна енергія коливань кристала

	1	,	nqj = 0, 1, 2,...	(6.51)
E = ∑ ωj (q) nqj +	2
qj

де q – хвильовий вектор, що набуває N дозволених значень. Число nqj

має сенс квантового числа осцилятора, яке в свою чергу може набува- ти цілих значень, тобто мінімальна зміна енергії може відбутися при

∆nqj = ±1 і складати ωj(q). Мінімальна порція енергії, яку може поглинати (∆nqj = 1) або випромінювати (∆nqj = −1) ґратка, називається

фононом. Його можна розглядати як квазічастинку зі всіма прит а- манними частинкам властивостями: вони можуть взаємодіяти один з одним (розсіювання фонона на фононі), з електронами (розсіювання електрона на фононі) та дірками. За невеликого ангармонізму їх можна

розглядати як фононний газ: при ∆nqj = 1 маємо процес породження фонона, а при ∆nqj = −1 – процес зникнення. Важливим аспектом

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

126

введення квазічастинок власних коливань ґратки – фононів – є той

факт, що такі частинки є бозонами.

6.5. Статистика фононів

Середнє число фононів з енергією ωj (q), що існують у даному но р-

мальному коливанні за температури T, виражається через середню енергію осцилятора < Eqj > формулою

<nqj > =	< Eqj >	.	(6.52)

	ωj (q)

Статистична фізика стверджує, що ймовірність того, що осцилятор у тепловій рівновазі за температури T знаходиться в стані s з енергією Es,

складає

Ws =Ce−Es/kT ,

(6.53)

де нормуючий коефіцієнт визначається з умови нормування ймовірності на одиницю

∑Ws =1 ,		∑e−Es/kT	−1	(6.54)
∑Ws =1 ,	C =	∑e−Es/kT	.	(6.54)
s		s

Тоді середня (рівноважна) енергія дорівнює сумі енергій станів, помножених на відповідну ймовірність знаходження фонона у даному стані

< E > = ∑Es(n )Ws(n ) .	(6.55)
n

Підставимо вирази для ймовірності знаходження фонона в s-му стані

	∞
	∑Ese−Es/kT		d		∞	−Es/kT
	n =0		d		∑e	−Es/kT
< E > =		= −		ln		.	(6.56)
< E > =	∞	= −	d(1/kT )	ln		.	(6.56)
	∑e−Es/kT		d(1/kT )	n =0

n =0

Враховуючи, що енергією гармонічного осцилятора, який характери-

зується квантовим числом n, є Es = ω(n + 1/2), обчислимо статистичну суму як суму геометричної прогресії

∞

−E /kT

∞

− ω(n +1/2)/kT

∞

− ω/2kT

− ω/kT

e− ω/2 ω

∑e

= ∑e

)

. (6.57)

1−e

− ω/ ω

n =0

Підставимо цю формулу до

de−( ω/2)/kT

<E > = −d(1/kT )ln1−e− ω/kT

(6.56)

	ω		d			− ω/kT		ω		ωe− ω/kT
=		+		ln(1	−e		)=		+		.
	2		d(1/kT )					2		1−e− ω/kT

127	Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

		ω		ω
Звідси маємо	< E > =		+		.	(6.58)
		2		e ω/kT −1

Перший доданок у формулі не залежить від температури й називається нульовою енергією осцилятора. Оскільки нас у подальшому цікавитимуть процеси взаємодії електронів із фононами, то енергію нульових коливань можна не враховувати – у процесах розсіювання на електронах беруть участь фонони, збуджені вище рівня нульових коливань. Таким чином середня енергія фононів кристалічної ґратки за температури Т задається формулою

ω
< E > = e ω/kT −1 .	(6.59)

Тоді середня щільність фононів, що характеризуються середньою енергією < Е >,

<n > =	< E >	1		.
		=			(6.60)
	ω		e ω/kT −1

Ми впевнились, що фонони підлягають статистиці Бозе–Ейнштейна. Формула (6.60) означає, що < n > є рівноважним середнім числом фоно-

<n >

60
40
		T=300 K
20
0	T=178 K	0.5	1.0
	0.0	0.5	1.0

ω, (x 0,083 eВ)

Рис. 6.6. Функція розподілу фононів

нів (їх щільність) з енергією ω в одному квантовому стані – комірці фа-

зового простору з об'ємом 3. Поведін- ку функції < n > подано на рис. 6.6. Середнє число фононів із малими енергіями є дуже великим і шв идко зменшується зі зростанням енергії. За

високих температур kT >> ω число фононів в одній комірці фазового простору складає:

<n > ≈kT/ ω.	(6.61)
При цьому середня енергія осцилятора
< E > = <n > ω = kT ,	(6.62)

тобто за високих температур фонони у твердому тілі підлягають класичній статистиці.

За низьких температур kT < ω середнє число фононів

<n > = e− ω/kT ,	(6.63)
а середня енергія коливань кристалічної ґратки
< E > = ω e− ω/kT .	(6.64)

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

128

Оскільки фонони є бозонами, то за взаємодії із зовнішніми полями або електронами їхня кількість може змінюватись. Зауважимо, що у твердому тілі можливі два типи коливань (акустичні та оптичні). Завдяки тому, що розкладення цих коливань за нормальними модами еквівалентне введенню фононів, існують також два типи фононів – оптичні та акустичні. За малих значень імпульсу q енергія акустичних фононів є значно меншою від енергії оптичних фононів. Це дуже важливий факт, адже за майже пружного розсіювання електронів на коливаннях ґратки зазвичай відбувається мала передача імпульсу. Це означає, що в основному електрони розсіюються на акустичних фоно- нах. За низьких температур (kT << ω0) оптичні фонони не збуджуються

– у кристалі існують тільки акустичні фонони.

6.6. Електрон-фононна взаємодія

Очевидно, що коливання ґратки мають впливати на поведінку елек- тронів у напівпровіднику. Наприклад, повздовжні коливання іонів викликають неоднорідний розподіл зарядів, який залежить від часу. Заряди, відповідним чином екрановані, створюють потенціал, залежність якого від координат має той самий вигляд, що й залежність від координат амплітуди коливань ґратки. Цей потенціал, зрозуміло, входить до повного гамільтоніану електронів і визначає взаємодію між коливаннями ґратки та електронами.

Простіше за все розглянути електрон-фононну взаємодію в іонних кристалах, де позитивні та негативні іони в повздовжніх модах за великих довжин хвиль зміщуються у протилежних напрямках. Для спрощення позначень припустимо, що амплітуди коливань позитивних і негативних іонів однакові. Це припущення є виправданим, оскільки до остаточної відповіді входить лише різниця векторів цих амплітуд. Нехай зміщення позитивно та негативно заряджених іонів визначаються як

	+	=	u		e	i(q r+ −ωt )		(6.65)
	δri	=			e	i		(6.65)

				N
і	−	=	u		e	i(q r− −ωt )	.	(6.66)
і	δri	=			e	i	.	(6.66)

Для повздовжньої моди вектори u та q паралельні. За великих довжин хвиль різницею координат іонів, що входять до тієї самої примітивної комірки, можна знехтувати та записати дипольний момент у вигляді

(2Ze/N )uexp[i(q ri −ωt)], де Ze – заряд кожного іона. Таким чином, за

129	Розділ 6. КОЛИВАННЯ АТОМІВ КРИСТАЛІЧНОЇ ҐРАТКИ

великих довжин хвиль поляризація (величина дипольного моменту в одиниці об'єму) визначається формулою

P =	2Ze	u		e	i(q r−ωt ),	(6.67)
	ΩC
			N

де ΩС – об'єм комірки. Густина локального заряду дорівнює дивергенції

поляризації зі знаком мінус. Якщо відомо густину заряду, то за доп о- могою рівняння Пуассона можна обчислити електростатичну потенціальну енергію. У результаті для електронного потенціалу отримуємо


	8πZe2			i(q r−ωt ) .	(6.68)
V (r)= i q2Ω			q ue	i(q r−ωt ) .	(6.68)
V (r)= i q2Ω		N	q ue
	C

Цей потенціал описує електрон-фононну взаємодію. Зазначимо, що він прямує до нескінченності при q→0. У цьому випадку відбувається так званий сильний зв'язок, що викликає сильні поляронні ефекти. Цієї особливості не виникає для поперечних оптичних коливань, коли накопичування заряду не відбувається.

У неполярних напівпровідниках, наприклад германії та кремнії, ефектів поляризації немає, і для встановлення вигляду електрон-- фононної взаємодії потрібно зважати на те, що основну роль тут відіграють довгохвильові моди коливань. Вільні електрони та дірки переважно зосереджуються в невеликих областях простору хвильових векторів, що розташовані поблизу краю зони, і розсіювання електронів переважно супроводжується випромінюванням довгохвильових фононів. Взаємодію із повздовжніми модами зазвичай описують за допомогою потенціалу деформації. Як відомо із детальних розрахунків зонної структури, якщо кристал розтягувати так, що відносна зміна його об'єму визначиться об'ємним розширенням Δ, то дно зони провідності підніметься на величину δVC, а стеля валентної зони незначно

(на величину δVV ) зсунеться у бік зони провідності. Ці енергетичні зсуви залежать від об'ємного розширення ∆ лінійно

δVC = DC∆, δVV = DV∆.

(6.69)

Іншими словами, енергія електрона, що знаходиться на дні зони провідності, зсувається на величину, пропорційну об'ємному розширенню

. Припустимо тепер, що завдяки взаємодії між електроном і ґраткою просторово-неоднорідне розширення визначає ефективний потенціал, який діє на електрон і залежить від його координати. Це означає, що рівняння (6.69) повинні мати вигляд

δVC(r) = DC∆(r), δVV(r) = DV∆(r).

(6.70)

Зрозуміло, що ефективні потенціали, які діють на електрони, розташовані не в екстремумах зони, дещо відрізняються від потенціалів, які

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

130

діють на електрони точно в екстремальних точках. Але оскільки ми маємо справу з напівпровідниками, де основна кількість частинок, що визначають електронні властивості, знаходиться поблизу екстремумів, то можемо використовувати значення констант, обчислених в екс т- ремумах зон. Величина констант потенціалу деформації має порядок ширини забороненої зони. Для полярних кристалів об'ємне розширення

дорівнює величині iq(u/N )exp[i(qr −ωt)], а згідно із (6.68) роль констан-

ти D відіграє величина (8πZe2)(ΩCq2). У випадку неполярних кристалів довгохвильова особливість не виникає.

Формулу (6.70) можна узагальнити, записавши деформацію у вигляді

ε	=	1	∂δi		+	∂δ	j	,	(6.71)
ε	=	1	∂δi		+		j	,	(6.71)
ij		2	∂x	j		∂x
				j			i

де ∂δi/∂xj – зміна зміщення вздовж i-ї вісі за зміни відстані вздовж j-ї вісі. Тоді потенціал деформації набуде вигляду

δV (k, r)= ∑Dij (k)εij (r).	(6.72)
i, j

Розглянемо найпростіший випадок взаємодії із повздовжніми акустичними коливаннями. Оскільки акустичні хвилі характеризуються малими частотами, то можна точно обчислити їхній внесок до розсіювання електронів. Для цього зафіксуємо в уяві положення атомів у деформованому кристалі та обчислимо розсіювання електронів, вважаючи ці викривлення дефектом кристалу. Процес розсіювання електрона під час його переходу зі стану з хвильовим вектором k до стану k' визначається Фур'є-компонентою потенціалу деформації, що відповідає хвильовому вектору q = k' − k. Величина Фур'є-компоненти потенціалу, у свою чергу, за лежить лише від коливань ґратки із хвильовими векторами ±q, якщо зміщення ґратки записати у вигляді

u			i(q r−ωt )		u*			−i(q r−ωt )) .
		e		+			e

	N					N

Частота таких переходів пропорційна квадрату потенціалу деформації, тобто квадрату об'ємного розширення. Енергія відповідної моди також пропорційна квадрату об'ємного розширення, за високої температури вона має бути пропорційною kT.

Процеси взаємодії електронів із коливаннями ґратки зручно розглядати як процеси взаємного розсіювання електронів і фононів. У такому випадку квантування коливань ґратки зводить процеси взаємодії елек- тронів із коливаннями ґратки до процесів розсіювання частинок зі всіма наслідками, що витікають звідси. Наприклад, при розгляді про-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 7212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019317.44 Кб1OE_Lab_1.doc
#
08.11.2019176.13 Кб4OE_Lab_3.doc
#
08.11.2019301.57 Кб6OE_Lab_5.doc
#
08.11.2019360.45 Кб1OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019218.62 Кб2OE_Lab_7.doc
#
19.03.201513.24 Mб64OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151.28 Mб17Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20151.61 Mб12Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015151.55 Кб201OiV_1-6.docx
#
18.11.201971.68 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181.25 Кб1OncoGen.doc