OFP-Tretyak-Lozovski

Таким чином, (9.63) зводиться до

x = a + b×a + b(b a)−b2x ,

звідки маємо розв'язок у вигляді

Таким чином, рівняння (9.67)–(9.68) визначають нерівноважний доданок до рівноважної функції розподілу носіїв заряду у напівпровіднику за незначного відхилення системи від рівноваги під дією зовнішньої сили.

Спочатку, використовуючи знайдені розв'язки для функції розподілу електронів і дірок напівпровідника, обчислимо питому електричну провідність однорідного невиродженого напівпровідника за відсутності магнітного поля та градієнта температури. Для простоти вважатимемо, що ізоенергетичні поверхні напівпровідника є сферами, і дія зовнішнього електричного поля не приводить до міждолинного розсіювання. Нехай на напівпровідник діє постійне електричне поле E. В елементі фазового простору dk кристала одиничного об'єму знаходимо

електронів, які завдяки дії зовнішнього поля рухаються зі швидкістю v, тим самим створюючи електричний струм з елементарною густиною

З іншого боку, внесок до струму дає і рух дірок

Якщо до підінтегральних виразів у (9.73) підставити рівноважну функцію розподілу, то в результаті матимемо нульову густину струму. Дійсно, оскільки рівноважна функція розподілу є парною функцією хвильового вектора, а швидкість просто пропорційна k, то матимемо непарну підінтегральну функцію, а межі інтегрування будуть симетричними. Фізична причина цього факту стає прозорою, якщо згадати, що кожному стану, який характеризується хвильовим вектором k, відповідає стан −k, отже кожному елементарному струму dJ відповідає елементарний струм −dJ. У результаті сумарний струм виявиться нульовим. Таким чином, використовуючи представлення для нерівноважного доданку функції розподілу через вектори χn( p) , знайдемо

Оскільки напівпровідник є однорідним, градієнт від функції розподілу дорівнює нулю. З іншого боку, відсутність градієнта температур вимагає тепер, щоб нульовим був і градієнт рівня Фермі (див. (9.51)). Тоді, враховуючи, що B = 0, із рівнянь (9.67) і (9.68) знайдемо

Обчислення інтегралів у (9.74) проводитимемо окремо для електронів і дірок. Для похідної функції розподілу електронів запишемо

Пам'ятаючи, що якщо за початок відліку енергії брати дно зони провідності, то щільністю електронів для невиродженого напівпровідника є

Після підстановки виразів із (9.79) та (9.75) до (9.74) для електронної складової струму отримаємо

Якщо перейдемо до сферичної системи координат, де полярна вісь направлена вздовж напрямку електричного поля, то можна записати

∫F(k)(k E)kdk = A∫ dkx B∫ dky C∫ dkzF(k)(Ezkz )(exkx + eyky + ezkz ) =

де F(k) = τeexp(−E/kBT) – парна функція хвильового вектора k. Тепер врахуємо, що інтеграл

Після інтегрування за кутами отримуємо 4π/3, і як результат маємо

Для подальшого обчислення інтеграла у (9.82) зазначимо, що

записати у вигляді рівнянняk2 = β x, звідки k4dk = (1/2)β5/2x3/2dx . До того ж врахуємо, що Nc = 2(2π mn*kBT/ 2 )3/2 . Тоді із (9.82) отримуємо

З елементарного курсу електрики відомо, що електричний струм виражається через заряд, концентрацію електронів та їхню середню

швидкість направленого руху < v > за допомогою формули J = en< v >, порівнювання якої із (9.84) показує, що

∞

< v > =mn*e2 34π ∫0 τee−x x3/2dx E = µE .

Рухливість µ має значення швидкості електронів, набутої ними в одиничному електричному полі. Виходячи із наведених міркувань, введемо тепер стандартні позначення:

205Розділ 9. ЯВИЩА ПЕРЕНЕСЕННЯ В НАПІВПРОВІДНИКАХ

для середнього часу релаксації електронів

Остаточно густину струму невиродженого напівпровідника, що має два типи носіїв заряду, запишемо у вигляді

Зауважимо, що завдяки використанню найпростішої моделі сферичних ізоенергетичних поверхонь ми отримали струм, направлений уздовж електричного поля. У загальнішому випадку анізотропних ізоенергетичних поверхонь зв'язок між густиною струму та полем є тензорним. Зважаючи на (9.86) та (9.91) бачимо, що електропровідність напівпровідника визначається середнім часом релаксації і концентрацією носіїв заряду. Середній час релаксації визначається процесами розсіювання носіїв на неоднорідностях ґратки. Таким чином, перед аналізом поведінки провідності напівпровідників як функції температури можна стверджувати, що всі механізми розсіювання носіїв даватимуть внесок у провідність. З'ясуємо, які механізми та за яких

умов дають основні внески до формування провідності. Вважатимемо, що всі механізми розсіювання формують функцію розподілу носіїв і діють незалежно один від одного. Тоді можна стверджувати, що повна ймовірність розсіювання дорівнює сумі ймовірностей за кожним каналом розсіювання (на атомах домішок, на іонізованих домішках, коливаннях ґратки тощо) і записати для часу релаксації

Визначимо тепер рухливість носіїв

Формула показує, що повний час релаксації в основному визначається парціальним процесом, який має менший час релаксації. Дійсно, припустимо, що всі часи релаксації τі однакові. Тоді, якщо розсіювання визначається s незалежними каналами, то

тобто якщо функція розподілу носіїв формується s каналами розсіювання з однаковим часом релаксації, то рухливість носіїв буде в s разів меншою від парціальної рухливості. Уявимо, що деякий механізм роз-

сіювання характеризується часом релаксації τm, значно меншим за часи релаксації інших механізмів, яких для визначеності нехай буде два – із часами релаксації τ1 та τ2, відповідно. Причому τ1 τ2, τm << τ1, τ2. Тоді із (9.95) отримуємо, що час релаксації буде обмежений зверху

Іншими словами, повний час релаксації визначається парціальним процесом із найменшим часом релаксації. Виходячи з цього, можна стверджувати, що за високих температур основним механізмом розсі-

ювання є розсіювання на теплових коливаннях ґратки, для якогоτ E –1/2. За зменшення температури роль теплових коливань зменшується, а роль розсіювання на іонах домішки – підвищується, і поведінка часу

релаксації визначається співвідношенням τ E3/2.

9.4. Залежність рухливості напівпровідника від температури

Як видно з отриманих результатів, залежність провідності від температури визначається двома чинниками – залежністю від температури концентрації носіїв і залежністю від температури середнього часу релаксації. Температурна залежність n та p розглядалась у попередньому розділі. Тепер же розглянемо залежність рухливості носіїв напівпровідника від Т. Оскільки час релаксації суттєво визначається механізмом розсіювання, розглянемо ці головні механізми окремо.

9.4.1. Розсіювання на коливаннях ґратки

Як нам уже відомо (див. (9.44)), за розсіювання носіїв на довгохвильових акустичних фононах час релаксації

Тоді, використовуючи (9.85) і беручи до уваги, що x = E/kT для середнього часу релаксації, який визначає рухливість та електропровідність, маємо

Таким чином рухливість, що зумовлена розсіюванням носіїв на коливаннях ґратки, визначається формулою

Вона зменшується зі зростанням температури і збільшується – зі зменшенням ефективної маси. Оскільки ефективна маса електрона зазвичай менша за ефективну масу дірок, то рухливість електронів більша за рухливість дірок.

9.4.2. Розсіювання на іонізованих домішках

Згадаємо, що за розсіювання на іонізованих домішках час релаксації залежить від енергії та ефективної маси як

При обчисленні середнього часу релаксації у цьому випадку необхідно обчислити інтеграл

Оскільки в межах інтегрування логарифм повільно змінюється, можна винести його за знак інтеграла, взявши у точці, де функція x 3e–x має максимум, тобто в точціx = 3 або E = 3kT. Урезультаті, зважаючи на те,

що ∞∫dxx3e−x = 6 , отримаємо

Таким чином, за розсіювання носіїв на іонізованих домішках рухливість визначається формулою

За не дуже низьких температур поведінку рухливості в основному визначає величина T 3/2. Таким чином, можна стверджувати, що

тобто рухливість носіїв, що обумовлена розсіюванням на іонізованих домішках, зменшується за зменшення температури.

9.4.3. Розсіювання на нейтральних атомах домішок

Оскільки час релаксації за розсіювання на нейтральних атомах домішок не залежить ні від температури, ні від енергії, то частина рухливості носіїв, що визначається такими процесами розсіювання, також не залежатиме ні від Т, ні від Е та визначатиметься формулою

Зрозуміло, що цей компонент рухливості має сенс лише за низьких температур, коли основна кількість домішок не іонізована. Для кремнію та германію за не дуже низьких температур (Т > 10 К) внеском до рухливості від процесів розсіювання на нейтральних домішках можна знехтувати.

або, враховуючи залежність парціальної провідності від температури, маємо

Рухливість напівпровідника немонотонно залежить від температури. Цю складну залежність можна пояснити тим, що в різних те м- пературних інтервалах до формування рухливості роблять внесок різні механізми розсіювання носіїв.

Оскільки електрони та дірки мають заряди протилежного знаку, то повна електропровідність є сумою парціальної провідності електронів і дірок. Питому провідність напівпровідника можна записати у вигляді

де b = µn/µp. Для власного напівпровідника, де n = p = ni ця формула переходить у наступну

Із врахуванням залежності рухливості та концентрації носіїв від температури, σ можна записати у вигляді

рухливості й може бути різною залежно (як ми бачили раніше) від механізму розсіювання. За подальшого зменшення температури відбувається "вимерзання" носіїв, де провідність знов визначається експоненціальною залежністю числа іонізованих домішок. Ми бачимо, що на відміну від металів провідність напівпровідників принципово залежить від температури, оскільки від останньої залежить концентрація носіїв заряду. І тільки в області виснаження домішок, де концентрація носіїв майже не залежить від температури, поведінка провідності визначається механізмом розсіювання носіїв і має ступеневий характер.

9.5. Гальваномагнітні явища

внапівпровідниках

Кінетичні явища, що відбуваються в напівпровідниках за одночасної дії електричного та магнітного полів, називаються гальваномагнітними. Основною їх причиною є викривлення траєкторії носіїв заряду в магнітному полі під дією сили Лоренца. Траєкторії носіїв заряду у напівпровідниках під дією магнітного поля та вільного носія в магнітному полі – кругової спіралі, що навивається на магнітну силову лінію – можуть суттєво відрізнятись. Різноманітність траєкторій носіїв заряду у різних матеріалах є основною причиною розмаїття гальваномагнітних явищ. Найбільш ефективно гальваномагнітні ефекти виявляються

вгеометрії, коли магнітне та електричне поля перпендикулярні. До гальваномагнітних ефектів належать, зокрема:

ефект Холла – виникнення різниці потенціалів за рахунок відхилення носіїв заряду до бічних граней зразка у магнітному полі, перпен-

дикулярному до напрямку електричного струму;