Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel3UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

y = log2 (− x)	1		y = log2 x

–1	0	1		x

Решение. Строим график функции y = log2 x и отображаем его симметрично относительно оси 0Y .

2.3.6. Построение графика y = −f (x)

Ординаты графиков функций y = f (x) и y = −f (x) в некоторой точке x0 отличаются друг от друга только знаком.

Следовательно, для построения графика функции y = −f (x) необходимо график функции y = f (x) отобразить симметрично относительно оси 0X .

ПРИМЕР 2.17. Построить график функции y = − 12 .

Решение. Строим график y = 12

	y			x
			1	x
		y =
	1
			2


				x
0				x
0				x
-1			1	x
		y = −
		y = −	2
			2

Отображая график симметрично относительно оси 0x , получаем график

y= − 1 x .

2.3.7. Построение графика y = f ( x )

Если x ≥ 0 , то x = x и f ( x )= f (x), при x < 0 x = −x и f ( x )= f (− x), т.е. при положительных значениях x график не изменяется, а

при отрицательных происходит симметричное отображение относительно оси 0y (справа от оси 0y график сохраняется, при этом левая часть графика отно-

сительно 0y стирается, а затем производится симметрия относительно оси ор-

динат).

ПРИМЕР 2.18. Построить график функции y = arccos x

y		y
	π		π
	π		π
	π 2		π 2

–1

y = arccos x

y = arccos

2.3.8. Построение графика функции y =

f (x)

Если f (x)≥ 0 , то графики функций y = f (x) и y =

f (x)

совпадают ,

при f (x)< 0

f (x)

= −f (x).

f (x)

Поэтому, для построения графика y =

часть графика, расположен-

ная выше оси 0x не изменяется, нижняя же ее часть отображается симметрично относительно оси 0x , т.е. весь график будет располагаться в верхней полуплоскости.

ПРИМЕР 2.19. Построить график функции y = tg x .

Решение. Строим график функции y = tg x . Отображаем нижнюю полуплоскость на верхнюю симметрично относительно оси Ox .

y = tg x

y =

tg x

−π

−

2.3.9. Порядок действий при построении графика y = f (x + a + b)

Необходимо помнить, что порядок преобразования графиков имеет существенную роль.

Для построения графика y = f (x + a + b)

1)построить график функции y = f (x);

2)в зависимости от знака числа b сдвинуть график y = f (x) влево или вправо на b единиц (п.2.3.3);

3)отобразить полученный график симметрично относительно оси Oy

(п.2.3.7);

4)в зависимости от знака числа а сдвинуть его вправо или влево на a

единиц (п.2.3.3).

ПРИМЕР 2.20. Построить график функции y = log2 ( x + 2 +1).

	y							y
			y = log2 x			y = log2 (x +1)

			1							1
					x							x
-1		0		1			-1		0		1

				y									y
y = log2 (	x	+1)							y	= log2 (	x + 2			+1)



						1										1
								x										x
			-1		0		1	x				-1			0		1	x
			-1		0		1					-1			0		1

ПРИМЕР 2.21. Построить график функции y = 2 x−3 −1. Решение.

y			y
		y = 2x			y = 2x−1
					y = 2x−1
1		x	1		x
-1 0	1	x	-1 0	1	x
-1 0	1		-1 0	1

y			y	y = 2 x−3 −1
		y = 2 x −1		y = 2 x−3 −1
		y = 2 x −1
1		x	1		x
-1 0	1	x	-1 0	1	x
-1 0	1		-1 0	1

2.3.10. Порядок действий при построении графика функции y = m f (k x −c)+ b

	c
Преобразуем функцию к виду y = m f k x −		+ b;

	k

y = m f [k (x −a)]+b, где a = kc .

Для построения графика необходимо

1)построить график функции y = f (x);

2)произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0x - построить график функции y = f (k x) (п.2.3.1);

3)произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0y - построить график

функции y = m f (k x)		(п.2.3.2);
4)	произвести сдвиг вдоль оси 0x - построить график y = m f (k (x − a))
(п.2.3.3);
5)	произвести	сдвиг вдоль оси 0y - построить график

y = m f (k (x − a))+ b (п.2.3.4).

Замечание: 1) п.п. 2 и 3 можно поменять местами;

2)п.п.4 и 5 можно поменять местами;

3)сдвиги п.п.4 и 5 можно заменить смещением осей координат.

2 x +

+ 2.

ПРИМЕР 2.22. Построить график функции y = −sin

+ 2 .

Решение. Запишем функцию в виде y = −sin 2

x +

1) y = sin x

− π

2 π

−

3π

−

−1

2) y = sin 2x

y = sin 2x

− π

−

-1

3) y = −sin 2x

y = −sin 2x

− π −

-1

4) y = −sin

2 x +

y = −sin

2 x +

−

−π

−

-1

+ 2

y = −sin

2 x +

+ 2

= −sin

2 x +

−π

−

2.4. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

2.4.1. Полярная система координат.

Полярная система координат определяется заданием начальной точки O - полюса и луча Oρ, исходящего из полюса. Тогда любая точка M на плоскости

определяется двумя величинами: расстоянием ρ = OM , (ρ ≥ 0) и углом ϕ,

который образует вектор OM

O 1

с осью Oρ - M(ρ; ϕ).
Например,	M1		π
Например,	M1	2;	отмечается на
			6

луче, который образует с осью Oρ угол

π6 , на расстоянии 2 от точки O .

Если совместить полярную и декартовую системы координат так, чтобы Oρ

ρсовпадала с положительной полуосью Ox , то получим формулы, связывающие декартовые и полярные координаты:

x= ρcos ϕ; y = ρsin ϕ.

2.4.2.Построение кривой.

Кривая определяется заданием формулы, связывающей угол ϕ с ρ, т.е.

ρ = ρ(ϕ). Необходимо определить при каких значениях ϕ значение ρ ≥ 0 . Затем придавая полярному углу ϕ возможные различные значения, вычислить соответствующие значения ρ и составить таблицу зависимости ϕ и ρ

Откладывая от полярной оси заданные значения ϕ, на лучах отмерять соответствующее расстояние ρ. Соединить полученные точки плавной линией.

ПРИМЕР 2.23. Построить кривую ρ = cos 2ϕ в полярной системе координат.

	Решение. cos 2ϕ ≥ 0;												−		π	+ 2πn ≤ 2ϕ ≤ π + 2πn ;
														2				2
											− π			+ πn ≤ ϕ ≤				π + πn ,			n Z.
												4						4
	n = 0 : − π						≤ ϕ ≤			π		;
			4							4
	n =1:		3π			≤ ϕ ≤				5π		;
	n =1:		4			≤ ϕ ≤				4		;
			4							4
	n = 2 :		− π					+ 2π ≤ ϕ ≤						π		+ 2π - эта часть плоскости совпадает с частью
			4											4
плоскости при n = 0 .
	Итак, кривая располагается между лучами ϕ = − π																							и	ϕ =	π	, а также ме-
																					4					4
жду лучами ϕ =					3π			и ϕ =			5π		. Построим таблицу соответствия ϕ и ρ.
жду лучами ϕ =								и ϕ =					. Построим таблицу соответствия ϕ и ρ.
			4									4
ϕ		− π	− π						0						π		π			3π		5π			π			7π			5π
ϕ		− π	− π						0					6			4		4		6				π		6			4
		4	6											6			4		4		6						6			4
ρ		0			1				1						1		0		0				1		1				1	0
ρ		0	2						1					2			0		0		2				1		2			0
			2											2							2						2

	Отметим полученные точки на плоскости
				5π					3π															π
				5π				4																π		π
			6					4																4
			6																					4
																										6

7π			−	π
7π	5π	−	π	6
6	5π	−	π
	4		4
	4

Данная кривая называется лемнискатой Бернулли.

2.5.ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ

ВПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВИДЕ

Кривая задана в параметрическом виде, если задана система двух функ-

x = x(t),

ций ( ) Связь между переменными x и y осуществляется через проме-

y = y t .

жуточную переменную t , которая называется параметром.

	1
x =			,		1			1		4
x =		t	,	Тогда t =	1		y =	1	+	4
Например,						;					- функция задана в яв-
Например,					x	;		x 2		x	- функция задана в яв-
			2	+ 4t.	x			x 2		x
y = t				+ 4t.

ном виде.

Однако, не всегда есть возможность выразить переменную y через переменную x , или наоборот, поэтому переходить к явному заданию функции не целесообразно.

Построение кривой, заданной в параметрическом виде, начинается с ана-

лиза:

1)при каких t определена функция;

2)множество значений x (если возможно);

3)множество значений y (если возможно);

4)точки пересечения с осями координат

а) Oy : x = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значениеy ; б) Ox : y = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значениеx .

5) характер изменения x и y при t → ∞.

Далее составляется таблица значений t, x, y причем, желательно параметру t придавать возрастающие значения.

t	t1	t 2	t3	…	t n
x	x1	x 2	x3	…	xn
y	y1	y2	y3	…	yn
	M1	M2	M3	…	Mn

В декартовой системе координат нанести точки M1 (x1; y1 ), M2 (x 2 ; y2 ), … ,

Mn (x n ; yn ), которые соединить последовательно плавной линией.

ПРИМЕР				2.24. Построить кривую, заданную в параметрическом виде
x = t 2 +1
	1			.

y =			−1
		t

Решение. Проведем анализ по пунктам:

1)t ≠ 0 , т.е. x =1 является точкой разрыва;

2)x >1;

3)y R ;

4)а) x ≠ 0 для любого t , следовательно, с осью Oy кривая не пересекается;

б) y = 0 , тогда t =1 и x = 2 . Итак, точка пересечения с осью Ox A(2;0);

5)если t → ∞, то x → +∞, а y → −1;

6)если t → 0 + 0 , то x →1, y → +∞;

если t → 0 − 0, то x →1, y → −∞. Составим таблицу соответствия

t	− 3		− 2	−1	−		1		1	1	2		3
t	− 3		− 2	−1	−			2		1	2		3
					2			2
x	10		5	2		5			5	2	5		10
x	10		5	2	4			4		2	5		10
					4			4

y	−	4	−1,5	− 2	− 3			1		0	−	1	−	2
y	−		−1,5	− 2	− 3			1		0	−		−
	3										2		3

Построим график

-1

-2 -3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc