razdel3UMK

y

его концах принимает разные значения f (a)= A и f (b)= B (A ≠ B), то для любого числа C, заключенного между A и B, найдется внутри отрезка [a, b] точка с такая, что f (c)= C .

Данная теорема утверждает, что непрерывная на [a, b] функция принимает все промежуточные значения между A и B (рис. 1.20).

41

2.1. ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Пусть даны два множества X и Y . Если каждому значению x из X ставится в соответствие единственное значение y из Y , то говорят, что задана за-

висимость переменной y от переменной x , которая называется функцией. Функцию обозначают y = f (x). Переменную x называют аргументом, y −

значением функции.

Множество X называется областью определения данной функции и обозначается D (f ), а множество всех чисел y , соответствующих различным чис-

лам x X, − областью значений этой функции и обозначается E (f ).

Если числу x 0 из области определения функции f (x) соответствует некоторое число y0 из области значений, то y0 называется значением функции в

точке x 0 .

Функция может быть задана табличным, аналитическим, графическим способами.

ПРИМЕР 2.1. Найти область определения функций: 1)f (x)= 2xx3 −−11,

Решение. 1) Дробь 2xx3 −−11 определена, если ее знаменатель не равен ну-

лю. Поэтому область определения находится из условия x3 −1 ≠ 0 , т.е. x ≠ 1. Таким образом, D (f )= (− ∞;1)U(1, ∞).

2)Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, поэтому функция ln (x + 3) определена в том и только в том случае, когда

x+ 3 > 0, то есть x > −3. Значит, D (f )= (−3;∞).

3)Функция a x , a > 0 определена при всех действительных значениях x ,

при которых имеет смысл выражение 1x , то есть при x ≠ 0 .

Далее область определения второго слагаемого находим из двойного не-

равенства −1 ≤ x 2+1 ≤1. Отсюда − 2 ≤ x +1 ≤ 2 , то есть −3 ≤ x ≤1. Область

определения функции f (x) есть пересечение областей определения обоих слагаемых, откуда D (f )= [−3;0)U(0;1].

ПРИМЕР 2.2. Найти множества значений функций:

1)f (x)= x 2 + 2 x + 5 ;

2)f (x)= 3x2 ;

43

3) f (x)= 2 −3cos 2x .

Решение. 1) так как x 2 + 2 x + 5 = (x +1)2 + 4, а (x +1)2 ≥ 0 для всех

значений x , то f (x)≥ 4 для всех x . Поскольку к тому же функция (x +1)2 принимает все значения от 0 до ∞, то E (f )= [4;∞).

способа является наглядность.

Аналитический способ задания функции – задание зависимости с помо-

четной функции симметричен относительно начала координат.

Для четной или нечетной функции достаточно построить только часть функции справа от оси 0Y , а затем перенести по симметрии.

ПРИМЕР 2.3. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а

2) D (f )= (− ∞;∞), f (− x)= (− x)2 −3 − x = x 2 −3 x = f (x).

Следовательно, функция четная.

3) D (f )= (− ∞;∞) и f (− x)= 2−x − 7 2x ≠ ±f (x), то есть данная функция общего вида.

44

4) D (f )= (−1;1), то есть область определения симметрична относительно

45

cos8x равен 28π = π4 . Таким образом, наименьший положительный период функции равен π4 .

положительный период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, то есть числу 2 π.

5) При x > 0 функция определена и возрастает, поэтому не может быть периодической. Значит, и на интервале (− ∞;∞) функция не является периодической.

2.1.1. Монотонная, обратная и ограниченая функция

Функция f (x) называется неубывающей (невозрастающей) на множест-

ве X D (f ), если для любых значений x1 , x 2 X таких, что x1 < x 2 , справедливо неравенство f (x1 )≤ f (x 2 ) (соответственно, f (x1 )≥ f (x 2 )).

Функция f (x) называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая.

Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве

x = g (y) D (f ), такое, что y = f (x). Функция x = g (x), определенная на E (f ), называется обратной для функции f (x).

Отметим, что E (g)= D (f ).

Если функция f (x) имеет обратную функцию, то каждая горизонтальная прямая y = c пересекает ее график не более чем в одной точке.

Пусть функция x = g (y) (иногда ее обозначают x = f −1 (y)) – обратная для функции y = f (x). Если обозначить аргумент этой функции через x , то ее можно записать в виде y = g (x). Тогда

g (f (x))= x для всех x D (f ),

46

f (g (x))= x для всех x E (f ).

Иными словами, если функция g (x)− обратная для функции f (x), то функция f (x)− обратная для функции g (x); поэтому обе эти функции назы-

вают еще взаимообратными.

Пусть функция y = f (x) возрастает (убывает) на отрезке [a; b]. Тогда на отрезке [f (a);f (b)] соответственно, [f (b);f (a)] определена возрастающая (убывающая) функция g(x), обратная для функции f (x).

График функции g(x), обратной для функции f (x), симметричен графику f (x) относительно прямой y = x .

Функция y = f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множе-

стве X D (f ), если существует такое число M , что f (x)≤ M (f (x)≥ M для всех x X).

Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве X D (f ),

если существует такое число M > 0, что f (x) ≤ M для всех x X .

2.1.2. Сложная функция. Элементарные функции

Пусть область значений функции y = f (x) содержится в области опреде-

ления функции g (y). Тогда функция z = g (f (x)), x D (f )

называется сложной функцией.

Основными (или простейшими) элементарными функциями называются: постоянная функция y = c ; степенная функция y = x α , α R ; пока-

Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, −, , : ) композиций (т.е. образования сложных функций).

ПРИМЕР 2.5. Найти сложные функции f (g (x)) и g (f (x)), где

1) f (x)= x, g (x)= x 2 ; 2) f (x)= x3 , g (x)= 2 x −1.

47

функцию, разрешим уравнение y = x −1 относительно x , откуда x = y +1. Записывая полученную формулу в традиционном виде (т.е. меняя x и y местами), найдем окончательно: y = x +1 − обратная функция к исходной.

2)Функция x 2+ 3 убывает на множестве (− ∞;−3)U(−3;∞), являющейся областью определения. Поэтому у нее есть обратная, которую найдем, разрешая уравнение y = x 2+ 3 −3 обратная к исходной.

3)Функция y = x возрастает на промежутке [0;∞) и, стало быть, имеет обратную.

Найдем обратную, рассуждая, как в пунктах 1), 2), y = x 2 , x [0;∞). Область определения этой функции совпадает с областью значений ис-

ходной функции y = x , то есть с промежутком [0;∞).

2.1.3.Неявные и параметрически заданные функции

Формула y = f (x) определяет явный способ задания функции. Однако во

многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции. Пусть данная функция определена на множестве D . Тогда, если каждое

значение x D и соответствующее ему значение функции y удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F(x; y)= 0 , то говорят, что эта

функция задана неявно уравнением F(x; y)= 0 . Сама функция в этом случае называется неявной функцией.

Пусть на некотором множестве X R заданы две функции x = x (t) и y = y (t). Тогда множество всех точек на плоскости 0xy с координатами

(x (t), y(t)), где t X , называется кривой (или линией), заданной параметри-

чески.

Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции y = f (x), то эта функция также называется функцией, заданной параметрически (или параметрически заданной).

48

Рассмотрим основные элементарные функции и их графики.

2.2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 2.2.1. Степенная функция y = xm

В зависимости от m графики этой функции различны, но все они проходят через начало координат

y

Например, y = 3 x

49

2.2.2. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1)

График показательной функции выше оси 0X и проходит через точку (0;1).

2.2.3. Логарифмическая функция y = loga x (a > 0; a ≠ 1 )

Логарифмическая кривая расположена справа от оси 0Y и проходит через точку (1;0).

50