razdel3UMK
.pdf2) |
lim |
2x |
2 − x +3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3x |
3 + x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
lim |
|
2x |
4 + 7x3 − 4 |
; |
|
|
||||||||||
|
6x |
5 −3x3 + |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
lim |
|
2 +3x 2 −5x 4 |
|
|
; |
|||||||||||
2x |
+3x 2 − |
3x5 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
x 2 − x −12 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− 2x 2 − |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
lim |
|
|
|
x 2 +3x + 2 |
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
2x |
3 +5x 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
2x |
|||||||||||||||
7) |
lim |
|
3x |
2 −5x + 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ x3 |
− 4x 2 + x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8) |
lim |
|
3x |
2 −5x + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− 4x 2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
lim |
|
x 2 |
− 2x +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x3 −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10) lim |
|
3x 2 −5x +1 |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
+ |
3 |
||||||||||||
|
x→∞ 2x3 −3x 2 |
|
|
12) |
lim |
x 2 − 25 |
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ x3 +8x +15 |
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
lim |
|
x 2 + 4x − 21 |
; |
|
|
|||||||
|
2x3 − |
7x + |
3 |
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
14) |
lim |
|
8 − 2x |
+5x |
3 |
|
|
; |
|
|
|||
|
2 +3x3 + x 4 |
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
15) |
lim |
3x 4 − 2x 2 −7 |
|||||||||||
9x5 +3x 2 +5x |
|||||||||||||
|
x→∞ |
||||||||||||
16) |
lim |
4 +5x |
2 −3x |
3 |
; |
||||||||
8 −6x − x 4 |
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
17) |
lim |
|
2x 2 + x −10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 − x 2 − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
18) |
lim |
|
4x3 − 2x |
+1 |
|
|
; |
||||||
|
2x 4 + |
3x3 |
− |
2 |
|||||||||
|
x→∞ |
|
|||||||||||
19) |
lim |
|
5x 2 −3x |
+1 |
|
; |
|||||||
|
2x 4 − |
3x3 |
+1 |
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
||||||||||
20) |
lim |
|
2x +3 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
3x 2 + |
5x + |
6 |
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
22) |
lim |
3x 2 −8x +1 |
; |
|
|
|
|||||
x3 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23) |
lim |
2 +3x 2 + x |
3 |
|
; |
|
|
||||
1 + x3 − x 4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
24) |
lim |
2 + x − x 2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
1 + x 2 −3x3 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||
25) |
lim |
x 4 |
− 2x3 +3 |
|
|
|
|||||
2x |
5 +3x 4 +1 |
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
||||||||
26) |
lim |
2x |
3 − 2x −1 |
; |
|
|
|||||
|
−3x 2 + |
|
2 |
|
|
||||||
|
x→∞ x 4 |
|
|
|
|
|
|||||
27) |
lim |
3x 2 − 2x +1 |
|
; |
|
|
|
||||
x3 − 2x +1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||||
28) |
lim |
2x |
2 −3x +5 |
; |
|
|
|
||||
|
−3x 2 + |
1 |
|
|
|
||||||
|
x→∞ x3 |
|
|
|
|
||||||
29) |
lim |
|
3x +1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
6x |
2 +8x + |
2 |
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||
30) |
lim |
x 4 |
−8x3 +3x |
2 +1 |
. |
||||||
|
x5 − 2x3 + |
2 |
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
Задание №6
Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)
|
lim |
x |
8 |
+ 7x |
6 |
−1 |
|
|
|
(x + 2) |
4 |
+1 |
|
|
21) |
lim |
|
3x |
5 |
+ 2x |
+1 |
|
; |
|||||||||||||||||||
1) |
|
|
; |
11) |
lim |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+3x |
2 |
+ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ x 6 + 4x 4 +5 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x5 + 2x |
|
|
|
x 4 +3x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
12) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
22) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x |
2 |
; |
||||
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ x |
+5x |
− 4 |
|
|
x→∞ |
x |
+ 4x |
+ 4 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
8x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x3 − x 2 +1 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
+ x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
13) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
2x 2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
3x −1 |
; |
|
|
|
|
|
14) |
lim |
4x 6 + x3 |
; |
|
|
|
|
24) |
lim |
|
|
x 2 +1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3 x3 + x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
(x +1)3 −1 |
; |
|
15) |
lim |
(x +1)4 − 2 ; |
|
|
|
25) |
lim |
|
|
|
x 2 +5 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ (x +1)2 − 2 |
|
|
x→∞ |
(x +1)2 +1 |
|
|
|
|
x→∞ 3 |
|
|
|
|
|
|
121
6) |
lim |
x3 |
−50x 2 + 2 |
16) |
lim |
x5 − x 4 +3x3 −1 |
||||||||||||||
10x 2 +15x 2 |
10x 4 −5x3 +3 |
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)4 +3 |
|
|
||||||
7) |
lim |
x |
; |
|
|
|
|
17) |
lim |
; |
|
|||||||||
3 |
−8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|||||||||||||||
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||
8) |
lim |
x3 |
+3x |
2 − 4 |
; |
18) |
lim |
x 7 +3x 6 + 2 |
|
; |
|
|||||||||
|
|
x 2 −1 |
|
|
|
2x 6 +3x |
|
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||
9) |
lim |
|
x3 −1 |
|
; |
|
19) |
lim |
8x |
+1 |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5x |
−3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
+5x − |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ x 2 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||
10) lim |
x 2 + x −12 |
|
; |
20) |
lim |
x3 +3x +1 |
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
3x −9 |
|
|
|
|
|
x→∞ |
x 2 + 2x +15 |
26) |
lim |
|
|
(x +1)4 |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
2x +3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27) |
lim |
|
x 4 |
− 2x 2 +3 |
; |
||||||||||
|
|
|
(x +1)3 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
28) |
lim (x +1)3 −8 |
; |
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
x 2 −1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29) |
lim |
|
|
|
|
|
− x |
|
; |
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
1 |
|
|
|||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
30) |
lim |
|
x |
|
+ x |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
. |
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №7
Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)
1) |
lim |
|
|
2x |
2 +3x +1 |
|
; |
|
|
|
11) |
lim |
|
x 2 |
− x −6 |
|
|
; |
|
|
21) |
lim |
x 2 |
−5x + 6 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2x 2 +5x +3 |
|
|
|
2x 2 |
+ x − |
21 |
|
|
|
|
|
−3x + |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
x→2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) |
lim |
|
3x 2 |
−14x −5 |
; |
|
|
12) |
lim |
x 2 − x − 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
22) |
lim |
|
x |
2 +5x + 6 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 2 |
− 2x −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + x − |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
x→2 x 2 + x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
x 2 + x − 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
13) |
lim |
|
3x |
2 + x − 2 |
|
; |
|
23) |
lim |
|
|
4x 2 −8x +3 |
|
; |
|
|||||||||||||||
|
2x 2 |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 + 4x +1 |
|
|
|
2x 2 −7x + |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
x→1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
x 2 + 7x +10 |
; |
14) |
lim |
|
2x 2 −5x |
−7 |
|
; |
24) |
lim |
|
x3 + x 2 − x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
2 +9x +10 |
|
3x |
2 + x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
x→−1 x3 + x 2 + x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
2x 2 −7x − 4 |
|
|
15) |
lim |
|
x 2 |
+ 2x −15 |
|
25) |
lim |
|
|
|
|
x3 −1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2x 2 −13x + 20 |
|
2x 2 + 7x −15 |
|
|
|
|
+5x − |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
x→−5 |
|
x→1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
lim |
|
|
x 2 |
+10x + 21 |
; |
16) |
lim |
|
2x 2 +9x |
+ 4 |
|
; |
26) |
lim |
|
x3 |
+3x 2 − 4 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 2 +8x + |
15 |
|
|
x 2 |
− x − |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
lim |
2x 2 |
+ x −10 |
; |
|
|
|
|
17) |
lim |
3x 2 |
−5x + 2 |
|
; |
|
|
27) |
lim |
|
|
|
3x 2 + 2x −1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
− x − 2 |
|
|
|
|
|
x 2 − 4x +3 |
|
|
|
9x3 +9x 2 − x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|||||||||||||||||||||||||
8) |
lim |
|
|
2x 2 + 7x − 4 |
|
|
18) |
lim |
|
x 2 |
+3x + 2 |
|
|
|
|
28) |
lim |
|
|
x3 −8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x |
2 +13x + 20 |
|
2x 2 +5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→−4 |
|
|
x→−2 |
|
|
|
x→2 x(x 2 − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122
9) lim |
x 2 |
+ 4x − 21 |
; |
19) |
lim |
x 2 |
− x −12 |
; |
|
29) |
lim |
2x |
2 −5x |
−3 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2x |
2 −7x +3 |
|
|
|
− 2x −8 |
|
4x 2 |
−18x −10 |
|||||||||||||||
x→3 |
|
|
x→4 x 2 |
|
|
|
|
|
x→−1 2 |
|
|||||||||||||
10) lim |
|
x 2 − 25 |
|
; 20) |
lim |
|
x 2 − x −12 |
|
; |
30) |
lim |
x 4 −16 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 +5x + 6 |
8 |
− x3 |
|
|
|||||||||||||
x→−5 x 2 +8x +15 |
|
x→−3 x |
|
|
x→2 |
|
|
|
Задание №8
Вычислить пределы функций
1) |
lim |
|
1 + 2x − |
|
1 − 2x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
lim |
3 |
9 − x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→8 |
|
|
x |
2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
lim |
|
|
x −6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
lim |
|
1 + 2x − |
|
1 − 2x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
3 1 + 2x −3 1 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6) |
lim |
|
|
27 + x |
27 − x |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + |
3 |
3 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7) |
lim |
|
|
1 − 2x + x |
2 −(1 + x) |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8) |
lim |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9) |
lim |
|
|
x +13 − 2 |
|
|
x +1 |
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10) lim |
|
|
1 − x −3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→−8 |
2 + 3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16) |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x +1 − |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17) |
lim |
4x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 + x − |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18) |
lim |
9x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 + x − |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
19) |
lim |
16x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4 + x − |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20) |
lim |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
+ x − |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21) |
lim |
|
|
|
|
27 + x −3 |
27 − x |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
2 |
|
+ |
4 |
x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22) |
lim |
|
|
|
1 − 2x + |
3x 2 −(1 + x) |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
23) |
lim |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24) |
lim |
|
|
|
x − 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
25) |
lim |
|
x +13 − 2 |
x +1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
3 (x 2 −9)2 |
|
|
|
|
|
|
|
123
11) |
lim |
|
|
1 + 2x −3 |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
lim |
3 |
|
x −1 ; |
|
|
||||||
|
x→1 |
x |
2 |
−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
+ 2 |
|
|
|
||||
13) |
lim |
x −6 |
; |
|
||||||||
|
|
|
x3 +8 |
|
||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
||||||||
14) |
lim 5 − |
|
9 + 2x |
; |
|
|||||||
|
x→8 |
|
|
2 −3 x |
|
|
||||||
15) |
lim |
3 |
|
8 +3x + x |
2 − 2 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
x 2 + x |
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить пределы
1) |
lim |
arctg 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
4x |
|
|
|
|
|
11) |
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2) |
lim |
x 2 ctg 2x |
; |
|
|
|
|
12) |
lim |
|||
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||
3) |
lim |
cos x −cos5x |
; |
|
13) |
lim |
||||||
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
4) |
lim |
cos3x −cos 5x |
14) |
lim |
||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||||
5) |
lim |
sin x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
15) |
lim |
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||
6) |
lim |
1 −cos 6x |
; |
|
|
|
|
16) |
lim |
|||
1 −cos 2x |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||||
7) |
lim |
1 −cos 4x |
; |
|
|
|
|
17) |
lim |
|||
2x tg2x |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
||||
8) |
lim |
x tg 5x |
|
|
; |
18) |
lim |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos x −cos2 |
|
|||||||||||
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
3 |
|
|
8 + 2x − x |
2 − 2 |
|
|
|
|||||||||||
26) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
+ x |
3 |
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27) |
lim |
|
|
|
|
9 − x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→8 |
3 |
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x − 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
28) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
3 |
x |
3 |
+ 64 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29) |
lim |
10 − x −6 |
1 − x |
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→−8 |
|
|
|
2 + 3 x |
|
|
|
|||||||||||
30) |
lim |
17 + x + 2 |
− x − 2 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 + 3 |
|
|||||||||||||
|
x→−27 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Задание №9
sin 2 x4 ;
x 2
1 −cos 3x ; x 2
cos x −cos5 x ; x 2
arctg 2x 5x 2 + x ;
1 −cos x ; x sin x
cos3x −1; x tg 2x
cos x −cos3 x ; x sin 2x
x ctg 5x ;
21) lim
x→0
22) lim
x→0
23) lim
x→0
24) lim
x→0
25) lim
x→0
26) lim
x→0
27) lim
x→0
28) lim
x→0
sin 2 x3
2x 2
x ctg x ;
x
1 −cos x ;
2x sin x ;
1 −cos x (arcsin 2x)2 ;
5x 2
tg x −sin x ; x3
2 arcsin2 x + x 4
3x3
cos x −cos x2 ; 1 −cos x
124
9) lim |
|
3x 2 |
|
; 19) |
lim |
x tg 3x |
; 29) |
lim |
sin 2 x + tg2 x |
; |
|||
cos x −cos3 x |
|
|
2x 2 |
||||||||||
cos x −cos3 x |
|||||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|||||||
10) lim |
|
arcsin 3x |
; |
20) |
lim |
1 −cos 4x |
; |
30) |
lim |
tg 3x −sin 3x |
. |
||
|
6x |
|
|
||||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
1 −cos8x |
|
x→0 |
27x3 |
|
|
Вычислить пределы
1) |
lim |
|
|
1 − 2сosx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→3 sin x − |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
lim(1 − x)tg |
πx |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
|
|
1− |
1 − x |
2 |
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 cos x −cos2 x |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
lim |
x + 4 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
lim |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 sin π(x + 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
6) |
lim |
2sin π(x +1) |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
ln(1 + 2x) |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
sin 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 x 2 +5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8) |
lim |
3ln(1 + 2x) |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9) |
lim |
|
|
|
ln(1 + 4x) |
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 sin(π(x + 4)) |
|
|
||||||||||||||||
10) lim |
|
|
2x |
−1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− 2x) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 ln(1 |
|
|
|
|
|
|
1 −cos10x
11) lim 2 ;
x→0 ex −1
Задание №10
16) |
lim |
sin 7x −sin 3x |
; |
|
|||||||||||||||||||||
ex2 −e4π2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
17) |
lim |
|
|
x 2 − π2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18) |
lim |
|
arctg(x 2 − 2x) |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 3πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19) |
lim |
|
arctg(x 2 − 2x) |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 3πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20) |
lim |
1 − x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→1 sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21) |
lim |
|
|
|
|
x 2 −3x +3 −1 |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22) |
lim |
cos 5x −cos3x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23) |
lim |
|
|
|
|
x 2 − x |
|
+1 |
−1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→−2 3 2+x+x2 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
25) |
lim |
cos3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 −cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
26) |
lim |
1 + x sin x −cos 2x |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
|
lim |
2x 2 −3x |
|
|
|
|
27) |
lim |
|
1 − 2 cos x |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12) |
|
; |
|
|
|
|
x→π sin(π−3x) |
|
|
|||||||||
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
3 |
sin(a + x)−sin(a − x) |
|
|||||||||
13) |
lim |
1 −cos 2x |
; |
28) |
lim |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 cos8x −cos 2x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
− 2 |
; |
|
|
||||
14) |
lim |
; |
|
|
29) |
lim |
5 + x |
|
|
|||||||||
2 + x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
sin x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
||||||
15) |
lim |
x 2 − x +1 −1 |
; |
30) |
lim |
|
|
cos x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
tg πx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
x→0 |
|
sin 2 2x |
|
|
|
|
Задание №11 |
|
||
|
|
Вычислить пределы |
|
lim(2x −7)[ln(3x + 4)−ln(3x)] |
|
1) |
lim(2x +3)[ln(x + 2)−ln x]; |
16) |
|||
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
2) |
|
lim (x − 4)[ln(2 −3x)−ln(5 −3x)]; |
17) |
lim(2x +1)[ln(x +3)−ln x]; |
|
|
x→−∞ |
|
x→∞ |
|
|
3) |
lim(3 − x)[ln(1 − x)−ln(2 − x)]; |
18) |
lim(5x + 2)[ln(x +1)−ln x]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
4) |
lim(3x − 2)[ln(2x −1)−ln(2x +1)]; |
19) |
lim(x + 2)[ln(5x − 4)−ln(5x)]; |
||
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
5) |
lim(2x −7)[ln(3x + 4)−ln(3x)]; |
20) |
lim x [ln x − ln(1 + x)]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x →∞ |
|
|
6) |
lim(3x +5)[ln(x +5)−ln x]; |
21) |
lim(x +1)[ln(2x +3)−ln(2x +1)] |
||
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
7) |
lim(2x +1)[ln(x +3)−ln x]; |
22) |
lim(x + 2) [ln x −ln(1 + x)]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
8) |
lim(3x + 2)[ln(x +1)−ln x]; |
23) |
lim x [ln(x + 2)−ln(1 + x)]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
9) |
lim(x + 2)[ln(2x +1)−ln(2x −1)]; |
24) |
lim(x +3) [ln(x −1)−ln x]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
10) |
lim(2x −3)[ln(x − 2)−ln(x +1)]; |
25) |
lim(2x + 7) [ln(3x +1)−ln 3x |
]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
11) |
lim(x −5)[ln(x −3)−ln x]; |
26) |
lim(3x + 2) [ln(4x −1)−ln 4x |
]; |
|
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
12) |
lim(2x −5)[ln(2x + 4)−ln(2x +1)]; |
27) |
lim(x +3) [ln(x +3)−ln(x −1)]; |
||
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
13) |
lim(3x −1)[ln(2x −1)−ln(2x +1)]; |
28) |
lim(x +1) [ln(2x +3)−ln 2x]; |
||
|
|
x→∞ |
|
x→∞ |
|
14) lim(2x −3)[ln(x + 2)−ln(x −1)]; |
29) |
|
|
||
|
|
x→∞ |
lim(4x −1)[ln(3x + 2)−ln(3x +1)]; |
||
|
|
|
x→∞ |
|
126
15) lim(3x +5)[ln(x +5)−ln x]; |
30) lim x [ln(x +5)−ln(3 + x)]. |
x→∞ |
x→∞ |
Вычислить пределы
2x +3 x+1
1) lim ;
x→∞ 2x +1
|
2 |
−1 |
x2 |
|
||
|
x |
|
|
; |
||
|
|
2 |
|
|||
2) lim |
x |
|
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|
2x 2 + 2 x2
3) lim x→∞ 2x 2 +1
x 2 −3x + 6 x
4) lim ;
x→∞ x 2 +5x +1
6x −7 3x+2
5) lim ;
x→∞ 6x + 4
|
2 |
+ x +1 |
−x2 |
||
|
x |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
6) lim |
+ x −1 |
|
|||
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
3x |
+ |
1 2x+3 |
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ 3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x + |
3 x+4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2x |
2 |
+ 21x |
− |
7 |
2x+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
2x |
2 |
+18x |
+ |
9 |
|||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3x |
2 |
−5x |
|
|
|
x+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10) |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−5x |
+ 7 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x→∞ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
−6x +5 |
3x+2 |
|
|||||||||||
11) |
lim |
|
x |
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−5x + 6 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
Задание №12
|
x |
|
− |
|
1 x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3x |
2 |
− |
|
6x + |
|
7 |
|
−x+1 |
||||||||||||||
17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
3x |
|
|
+ |
|
20x −1 |
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
2 |
|
+ |
|
4x − |
1 |
|
2x+5 |
|||||||||||||
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
3x |
|
|
+ |
|
2x + |
3 |
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2x |
2 |
+ |
|
5x + |
1 |
x |
|
|||||||||||||||
19) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
2x |
|
|
+ |
|
5x + |
2 |
|
||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
+5x −1 |
x+1 |
|||||||||||||||||
20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
2 |
|
|
+ 4x + 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
+ 2x −3 |
x+2 |
|||||||||||||||||
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
x |
|
|
− x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
+ |
|
5 |
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
22) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
13x |
|
|
+3 |
x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
23) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ 13x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
+ |
|
3 |
−x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
24) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2x −1 |
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
25) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
+ 2 |
|
2x−x3 |
|
|
|
|
||||||||||||
26) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
|
|
7x |
2 |
+8x |
x+2 |
|
|
lim |
x + |
4 x |
|
|
|
|
||||||||||
12) |
|
|
|
; |
|
27) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
7x |
2 |
+11x |
|
|
|
x→∞ |
x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
+ x +1 |
2x2 |
|
|
|
|
3x 2 −1 |
x+1 |
|
|||||||||||
13) |
|
|
|
|
; |
|
28) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
x |
3 |
+ 2 |
|
|
|
|
x→∞ |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
||||||||||
|
|
2x |
2 |
+ 2x +3 |
3x2 −2 |
|
|
|
4x 2 + x |
1−2x |
|
|||||||||||||
14) |
|
|
|
|
|
29) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
2x |
|
2 |
+ 2x +1 |
|
|
|
x→∞ |
4x |
|
− x +1 |
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4x |
|
2 |
+ 4x −1 |
1−2x |
|
|
|
|
2x |
2 |
+ x |
3x−1 |
||||||||||
15) |
|
|
|
|
; |
30) |
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
4x |
+ 2x +3 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
− x + 2 |
|
Задание №13
Найти точки разрыва функции, если они существуют) Сделать чертеж
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
если x ≤ 0 |
|
|
||
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) f (x)= |
sin x, 0 < x ≤ π |
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
− |
, если x > |
|
|
||||
|
x |
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 − x, если x ≤ 0 |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2) f (x)= tgx, если 0 < x ≤ |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, если x > |
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 , если x ≤ 0 |
|
|
||||||
3) f (x)= |
|
|
|
|
если 0 < x ≤ π; |
||||
cos x, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
− |
, если x > |
|
|
||||
|
x |
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 , если x ≤ 0
16) f (x)= x, если 0 < x ≤1; |
|
|
>1 |
2, если x |
|
1 − x 2 , если x ≤ 0 |
|
|
если 0 < x ≤ 2 |
; |
17) f (x)= 1, |
||
x − 2, если x > 2 |
|
|
|
|
|
|
x +1, если x ≤ 0 |
|
18) f (x)= |
1, |
если 0 < x ≤1 ; |
|
|
|
|
|
− 2, если x >1 |
|
2x |
128
x 2 +1, |
если x ≤ 0 |
|
|
||
4) f (x)= 1, |
если 0 < x ≤ 2 |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− 2, если x > 2 |
|
|
||
x |
|
|
|||
x 2 −1, |
если x ≤ 0 |
|
|
||
5) f (x)= x, если 0 < x < 2 |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2x − 2, если x ≥ 2 |
|
|
|||
− x, если x ≤ 0 |
|
|
|||
6) f (x)= x 2 , если 0 < x ≤ 2 ; |
|
||||
|
+1, если x > 2 |
|
|
||
x |
|
|
|||
3x +1, если x ≤ 0 |
|
|
|||
7) f (x)= x 2 +1, |
если 0 < x ≤1; |
||||
|
|
|
|
|
|
1, если x >1 |
|
|
|
||
sin x, |
если x ≤ 0 |
|
|
||
8) f (x)= 2x, если 0 < x ≤1; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
x, если x >1 |
|
|
|
||
cos x, если x ≤ 0 |
|
|
|||
9) f (x)= x 2 +1, |
если 0 < x ≤1; |
||||
|
|
|
|
|
|
x, если x >1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−3x, если x ≤ 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
π |
|
10) f (x)= tgx, если 0 < x ≤ |
; |
||||
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2, если x > |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 +1, если x ≤ 0 |
|
|||
19) |
f (x)= |
1 − x, если 0 < x ≤1; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1, если x >1 |
|
|||
|
|
− x, если x ≤ 0 |
|
|
||
20) |
f (x)= x 2 , если 0 < x ≤1; |
|
||||
|
|
|
|
−1, если x >1 |
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
cos x, если x ≤ |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если π < x ≤ π ; |
|
||
21) |
f (x)= |
0, |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
, если x > π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1, если x ≤ 0 |
|
|||
22) |
f (x)= x 2 , если 0 < x ≤ 2 ; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, если x > 2 |
|
|
||
|
|
x 2 +1, если x ≤1 |
|
|||
23) |
f (x)= 2x, если1 < x ≤ 3; |
|
||||
|
|
|
|
+ 2, если x > 3 |
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
sin x, если x ≤ 0 |
|
|||
24) |
f (x)= x, если 0 < x ≤ 2; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если x > 2 |
|
|
||
|
|
x − 2, если 0 ≤ x ≤ 2 |
|
|||
25) |
f (x)= |
0, |
если 2 < x ≤ 3 |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
1, если x > 3
129
|
0, если x ≤ 0 |
11) |
f (x)= x +1, если 0 < x ≤1; |
|
|
|
2x, если x >1 |
|
2x +1, если x ≤ 0 |
12) |
f (x)= x 2 +1, если 0 < x ≤1; |
|
|
|
1, если x >1 |
|
2x −1, если x ≤ 0 |
13) |
f (x)= x 2 −1, если 0 < x ≤1; |
|
|
|
2x, если x >1 |
|
|
|
cos x, если x ≤ 0 |
14) |
f (x)= 1 − x, если 0 < x ≤1; |
|
|
|
x 2 , если x >1 |
|
tgx, если x ≤ 0 |
15) |
f (x)= x, если 0 < x ≤1; |
|
|
|
2, если x >1 |
|
|
|
|
0, если x ≤ 0 |
|
||
|
|
< x ≤ π |
|
26) f (x)= tgx, |
если 0 |
; |
|
|
|
4 |
|
|
|
π |
|
x, если x > |
4 |
|
|
|
|
|
|
− x, если x ≤ 0 |
|
||
27) f (x)= −(x −1)2 , если 0 < x ≤ 2; |
|||
x −3, если x > 2 |
|
||
|
|
|
|
x −3, если x ≤ 0 |
|
||
28) f (x)= x +1, |
если 0 < x ≤ 4 ; |
||
|
x, если x > 4 |
|
|
3 + |
|
||
x + 4, если x ≤ −1 |
|
||
29) f (x)= x 2 + 2, если −1 < x ≤1; |
|||
|
|
|
|
2x, если x >1 |
|
||
x +1, |
если x ≤ 0 |
|
30) f (x)= |
(x +1)2 |
, если 0 |
< x ≤ 2. |
|
|
|
|
− x + 4, если x > 2
Задание №14
Исследовать на непрерывность функции, при каком выборе параметров A и B функция непрерывна
|
x 2 − 4 |
, если x ≠ 2; |
||||
1) |
f (x)= |
|
|
|
||
x − 2 |
|
|||||
|
|
|
|
x = 2 |
||
|
A, если |
|||||
|
x3 −1 |
, если x ≠1; |
||||
2) |
f (x)= |
|
|
|||
x −1 |
||||||
|
|
|
|
x =1 |
||
|
A, если |
130