Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel3UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2.2.4. Синусоида – график функции y = sin x

График

проходит

через

точки

(πn;0);

+ 2 πn, 1 ;

−

+ 2

πn, −1 ; (n Z).

− π

2 π x

−

3π

−

−1 2

2.2.5. Косинусоида – график функции y = cos x

						y
						1
					π		0 π	π	3π 2 π			x
	3	π

−			− π	−
					2	2			2
	2				2	2			2

										π	+ πn;0
Характерные точки графика (2 πn;1); (π + 2 πn;−1);										2	+ πn;0	,
										2

где n Z .

2.2.6. Тангенсоида – график функции y = tg x

					1
		− π		π	1		π	π
	3π								3π
−			−		–1	0				x
				2		0	2			x

	2
	2								2

Точки разрыва x =	π	+ πn .
	2		π					π
Характерные точки: (πn;0)			π				−	π
Характерные точки: (πn;0)			;	4	+ πn;1	;	−	4	+ πn; −1 , где n Z .
				4				4

2.2.7. Котангенсоида – график функции y = ctg x .

− π	−	π	0	π	π 3π	2 π	x
				2
		2			2

										Точки
разрыва: x = πn .										Точки
разрыва: x = πn .
	π		π				−	π
Характерные точки:		+ πn;0	;	4	+ πn;1	;	−	4	+ πn; −1 , где n Z .
	2			4				4

2.2.8. График y = arcsin x						2.2. 9. График y = arccos x
π	y						y
π	y						π
2							π
							2
– 1	1	x
	− π					– 1	1	x
	2
2.2.10. График y = arctg x .
					y
			π 2
			– 1		1	x
					− π 2
Прямые y = π	и y = −	π являются асимптотами.
2		2
		π	−1;	−	π
Характерные точки (0;0); 1;		;	−1;	−	.
		4			4
2.2.11. График y = arcctg x .
					y
				π
					− π 2
			– 1		1	x
Прямые y = 0 и y = π являются асимптотами.
				53

	π		π	−1;	3π
Характерные точки 0;	;	1;	;			.
					4
	2		4

		ex − e−x
2.2.12. Гиперболический синус y = sh x	sh x =

		2

0 x

График проходит через начало координат.

		ex + e−x
2.2.13. Гиперболический косинус y = ch x	ch x =

		2

1		x
1

0 1
График проходит через
График проходит через	точку (0; 1).
			sh x
2.2.14. Гиперболический тангенс y = th x

		th x =
			ch x

y
1
0	1	x
–1

Прямые y = −1 и y =1 являются асимптотами графика. График проходит через начало координат.

		ch x
2.2.15. Гиперболический котангенс y = cth x

	cth x =
		sh x

	y
	1
	0	x
	–1
Прямые y =1, y = −1 и	x = 0 являются асимптотами.

2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ 2.3.1. Построение графика y = f (k x), k ≠ 1, k > 0 .

Если k >1, то график сжимается в k раз вдоль оси 0X .

Если 0 < k <1, то абсциссы всех точек графика увеличиваются в k1 раз

(график растягивается).

ПРИМЕР 2.7. Построить график функции y = cos 2 x .

Решение. График получается из графика y = cos x путем сжатия в 2 раза

вдоль оси

перейдет в

точку

. Точка

;0 ; (π;

−1) →

;−1 ;

(2 π;1)→(π;1) и т.д.

y = cos 2x

y = cos x

0 π

− π

−

3π 2 π

ПРИМЕР 2.8. Построить график функции y = sin

Решение.

y = sin

y = sin x

−3π

− π 2

0 π

2 π

2 − π

3π 2

2 π

-1

Гра

фик растягиваем вдоль оси 0X

(π;1);

в 2 раза. Точка

;1 перейдет в точку

−

; −

точки (π;0)→ (2 π;0);

1 → (− π; −1).

2.3.2. Построение графика y = m f (x), m ≠ 1, m > 0

Если m >1, то все ординаты увеличиваются в m раз,

т.е. график растя-

гивается вдоль оси 0Y в m раз.

Если 0 < m <1, то ординаты всех точек графика уменьшаются в

раз,

график сжимается.

ПРИМЕР 2.9. Построить график функции y = 2 cos x . Решение.

y 2

y = 2cos x

y = cos x

−	3π	− π	−	π	0
−	2		−	2	–1
	2			2	–1
					–2

π	π	3π 2 π	x
2		2

m = 2 : график растягивается в 2 раза вдоль оси 0Y .

Точка (0;1) графика y =cos x переходит в (0; 2); точки (π;−1)→ (π;−2);

−

→

y = arccos x

π 2

y =

arccos x

1 x

–1

ПРИМЕР 2.10. Построить график функции y =

arccos x .

Решение. Построим график функции

y = arccos x

и сожмем его вдоль

оси Oy в 2 раза.

Точка

(−1; π)

перейдет в точку

−1;

; точки

→ 0;

;

→

;

2.3.3. Построение графика y = f (x −a)

Если a > 0 , то график сдвигается без изменения вправо на a

единиц, ес-

ли a < 0, то сдвиг производят влево на

единиц.

ПРИМЕР 2.11. Построить график функции y = tg x +

Решение. Запишем формулу в виде

y = tg x − −

. Строим y = tg x

и сдвигаем его вдоль оси 0X влево на

π единиц, так как

a = −

π.

	π	y
y = tg x +
	4

					1
−	3π	− π	−	π	–1
−	2		−	2	–1

π	π	3π	x
2		2

y = tg x

−

Точка

(0;0)

−

→ (0;1);

переходит в точку

; точки

−

;−1

→

;−1 .

ПРИМЕР 2.12. Построить график функции y = arcsin(x −1).

π2

		1	x
	0
–1
		y = arcsin(x −1)

y = arcsin x − π2

Решение. Строим график функции y = arcsin x и параллельным переносом сдвигаем его вправо без изменения на 1 единицу.

2.3.4. Построение графика y = f (x)+b

Если b > 0 , то график сдвигается на b единиц вверх, если b < 0 − на b единиц вниз.

ПРИМЕР 2.13. Построить график функции y = x 2 +1.

Решение. Построим график y = x 2 .

y = x 2 +1

1		y = x 2
–1	0 1	x

График y = x 2 +1 получается путем параллельного переноса на 1 единицу вверх (b =1 > 0).

ПРИМЕР 2.14. Построить график функции y = x −1.

		y	y =	x
			y =	x
		1		y =		x −1
	– 1	0	1	2	3	x
		– 1
		– 1

Решение. Строим график y =			x и смещаем его на 1 единицу вниз, тогда

ординаты всех точек графика уменьшаются на 1 единицу.

Замечание. В п.п. 2.3.3 и 2.3.4 сдвиг графика по осям можно заменить переносом координатных осей. Т.е. для построения графика y = f (x − a)+ b не-

обходимо найти новое начало координат (a; b) и провести новые оси, параллельно исходным.

ПРИМЕР 2.15. Построить график функции y = 2x−1 −3. Решение. I способ (с помощью переноса графика)

Строим график y = 2x , смещаем его по оси 0X на 1 единицу вправо – получаем график функции y = 2x , затем спускаем полученный график на 3 единицы вниз.

y	y = 2x	y	y = 2x−1		y
	y = 2x		y = 2x−1		y = 2x−1 −3
1		1			1
-1 0 1	x	-1 0 1	x	-1	0 1	x
-1 0 1		-1 0 1		-1	0 1

II способ.

На координатной плоскости xOy через точку (1; −3) проводим пунктир-

ной линией вспомогательные оси		′ ′				′	′	, в которых строим график
ной линией вспомогательные оси		O x			и O y			, в которых строим график
y′ = 2x′ .
		y			y′
					y = 2x−1 −3

				1
								x
	-1		0		1			x
	-1		0		1

0’ x′

В плоскости xOy этот график будет совпадать с графиком функции y = 2x−1 −3.

2.3.5. Построение графика y = f (− x)

Заметим, что ордината графика y = f (− x) в некоторой точке x0 равно ординате графика функции y = f (x) в точке − x0 .

Следовательно, для построения графика функции y = f (− x)надо график y = f (x) отобразить симметрично относительно оси 0Y .

ПРИМЕР 2.16. Построить график функции y = log2 (− x).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc