razdel3UMK

y = tg x, y = ctg x

y

y = tg x

y

y = ctg x

− π

0

π

x

− π

0

π

x

2

2

Рис. 1.7

5. Обратные тригнометрические функции

π

π

y = arcsin x,

D(f )= [−1;1],

E(f )=

;

;

−

2

D(f )= [−1;1],

E(f )

2

y = arccos x,

= [0; π];

y = arctg x,

D(f )= R,

π

;

π

E(f )= −

2

;

D(f )= R,

2

y = arcctg x,

E(f )= (0; π).

Примерами элементарных функций являются:

y = a x + b - линейная функция

a, b R ;

y = ax2 + bx + c - квадратичная функция

a, b,c R ;

y = a0 x n + a1x n−1 +K+ a n -

целая

рациональная

функция или

многочлен степени n

a 0 ,K,a n R,

n N ;

y =

a

0

x n + a

1

x n−1 +K+ a

n

, a 0 ,a n , b0

,K, bm R,

n, m N −

b0 x m + b1x m−1 +K+ bm

дробно-рациональная функция; частным случаем дробно-рациональной

функции является дробно-линейная функция y =

ax + b

, a, b,c,d R .

cx + d

Примерами неэлементарных функций могут служить

1,

x > 0

x,

x > 0

x = 0 ,

y

=

x

x = 0

y = sign x = 0,

= 0,

−1, x < 0

− x, x < 0

1.2.4. Обратная функция

Пусть задана функция y = f (x)

с областью определения D и множест-

значение y E .

Пусть,

в

свою

очередь,

каждому

значению

y E

соответствует единственное

значение

x D,

тогда

мы

получаем

новую

функцию x = ϕ(y)

с областью определения E и множеством значений D (рис.

1.9).

f

ϕ

x1

y1

x1

y1

x 2

y2

D

x 2

y2

x3

D

E

y3

x3

y3

E

Рис. 1.9

Такая функция ϕ(y) называется обратной к функции f (x).

Из определения вытекает, что

для функции

y = f (x) существует

обратная функция тогда и только

тогда, когда соответствие f

между

множествами D и

E является

взаимно однозначным.

Отсюда следует, что

ПРИМЕР 1.1. Для функции y = 3x +5 обратной

функцией является

x =

1

y −

5

.

3

3

ПРИМЕР 1.2. Для функции y = x 2 , x [0;+∞) обратной функцией яв-

ляется

x = y, y [0;+∞); заметим, что для функции

y = x 2 , заданной в

промежутке (−∞;∞), обратной не существует, так как одному значению y со-

ответствуют два значения x .

Графики взаимно обратных функций y = f (x) и x = ϕ(y) симметричны

относительно прямой y = x .

1.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 ,

кроме, быть может, самой точки x0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1.14. Число A

называется

пределом

функции

y = f (x) в точке x0 (или при x → x0 ), если для любого сколь угодно малого

числа ε > 0 найдется

такое

число

δ > 0,

что

для

всех

x ≠ x0 ,

удовлетворяющих неравенству

x − x0

< δ,

выполняется

неравенство

f (x)− A

< ε.

Это

определение предела дано на «языке ε −δ», его коротко можно запи-

сать так:

f (x)− A

ε > 0 δ > 0, x :

x − x0

< δ, x ≠ x0

< ε.

Предел функции записывают

lim f (x)= A .

x→x0

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела

lim f (x)= A1 ,

lim f (x)= A2 и они равны, то существует предел

x→x0 −0

x→x0 +0

lim f (x)= A = A1 = A2 .

x→x0

≠ A2 , то предел lim f (x) не существует.

Если же A1

x→x0

Рассмотрим теперь поведение функции y = f (x) при неограниченном по

абсолютной величине увеличении аргумента

x , то есть при x → −∞,

x → +∞, x →∞.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Пусть функция y = f (x) определена в промежут-

ке (−∞;∞). Число A называется пределом функции f (x) при x → ∞, если

для любого числа ε > 0 существует такое число M = M(ε)> 0 , что для всех

значений x , удовлетворяющих неравенству

x

> M , выполняется неравенство

f (x)− A

< ε. В этом случае пишут lim f (

x)= A . Коротко это определение

x→∞

можно записать так:

ε > 0 M > 0,

x

> M

f (x)− A

< ε lim f (x)= A .

x→∞

x → +∞, то пишут lim f (x)= A ,

Если

если же x → −∞, то пишут

lim f (x)

= A .

x→+∞

x→−∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Функция y = f (x)

называется бесконечно боль-

M > 0 δ > 0, x :

x − x0

< δ, x ≠ x0

f (x)

> M .

Записывают lim f (x)= ∞.

x→x0

Если f (x) стремится к бесконечности при x → x0 и принимает лишь

положительные значения, то пишут lim f (x)= +∞; если же принимает лишь

x→x0

отрицательные значения, то lim f (x)= −∞.

x

→x0

y = f (x), заданная на всей числовой

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Функция

прямой,

называется бесконечно большой при x → ∞, если для любого числа

M > 0 найдется такое число

N = N(M)> 0 , что при всех x , удовлетворяю-

щих неравенству

x

> N, выполняется неравенство

f (x)

> M . Коротко:

M > 0

N > 0, x :

x

> N

f (x)

> M lim f (x)

= ∞.

x→∞

y =

1

x → −3:

ПРИМЕР

1.4.

Функция

есть б.б.ф.

при

x +3

1

1

lim

= −∞,

lim

= +∞.

+3

x→−3−0 x +3

x

→−3+0 x

ПРИМЕР

1.5. Функция y = x3

является б.б.ф. при

x → ∞, причем

lim x3

= +∞,

lim x3 = −∞.

x→+∞

x→−∞

1.4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Функция y = f (x) называется бесконечно малой

(б.м.ф.) при x → x0 , если

lim f (x)= 0 .

(1.1)

x→x0

отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая, то есть

lim

α(x)

= 0, где lim f (x)= A ≠ 0 .

x→x0

f (x)

x→x0

Доказательство:

1) Пусть α(x)

и β(x)− две б.м.ф. при x → x0 . Это значит, что

ε > 0 δ >

0, x :

x − x

0

< δ

1

,

x ≠ x

0

α(x)

< ε .

(1.2)

1

2

и δ2 > 0,

x :

x − x0

< δ2 ,

x

≠ x0

β(x)

<

ε .

(1.3)

Пусть δ − наименьшее из чисел δ1

2

и δ2 . Тогда для всех x , удовлетво-

α(x)+β(x)

≤

α(x)

+

β(x)

< ε +

ε = ε.

2

2

Таким образом,

α(x)+β(x)

ε > 0 δ > 0, x :

x − x0

< δ, x ≠ x0

< ε.

Это значит,

что lim

[α(x)+β(x)]= 0, то есть α(x)+β(x)− б.м.ф. при

x → x0 .

x→x0

Аналогично

проводится доказательство для любого

конечного числа

б.м.ф.

2) Пусть функция f (x) ограничена приx → x0 . Тогда существует такое

число M > 0, что для всех x из δ1 − окрестности точки x0

выполняется не-

равенство.

f (x)

≤ M .

(1.4)

ε

Пусть α(x)− б.м.ф. при x → x0 . Тогда для любогоε > 0, а значит, и

> 0 найдется такое число δ2 > 0 , что при всех x ,

удовлетворяющих нера-

M

x − x0

< δ2 , выполняется неравенство

венству

α(x)

<

ε

.

(1.5)

M

δ2 . Тогда для всех x ,

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и

удовлетворяющих неравенству

x − x0

< δ, x ≠ x0 ,

выполняются оба нера-

венства (1.4) и (1.5) . Следовательно,

ε

f (x) α(x)

=

f (x)

α(x)

<

M = ε. А это означает,

что произ-

M

ведение f (x) α(x) при x → x0 является бесконечно малой функцией.

Аналогичным образом доказываются остальные утверждения теоремы.

1

Теорема 1.2. Если α(x)− бесконечно малая функция при x → x0 , то

− бесконечно большая функция и наоборот:

если

f (x)−

бесконечно

α(x)

1

большая функция при x → x0 , то

− бесконечно малая функция.

f

(x)

Доказательство.

Пусть

α(x)− б.м.ф. при

x → x0 ,

то

есть

lim α(x)= 0 .

Тогда

ε > 0 δ > 0, x :

x − x0

< δ, x ≠ x0

x→x0

1

1

1

1

α(x)

< ε,

>

, то есть

> M , где

M =

. А это означает,

α(x)

α(x)

ε

ε

1

является бесконечно большой.

что функция

α(x)

Аналогично доказывается обратное утверждение.

f (x)

Теорема 1.3. (о связи между функцией и ее пределом). Если функция

в точке x0 имеет предел равный A, то ее можно представить как сумму

числа

A и бесконечно

малой

функции

α(x), т.е.

если

lim f (x)= A , то

f (x)= A + α(x).

x→x0

Обратно: если f (x)= A + α(x), то

lim f (x)= A .

x→x0