Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel3UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Понятие функции, свойства функции.

2.Элементарные функции.

3.Неявное и параметрическое задания функции

4.Преобразование графиков функции

5.Графики функции в полярных координатах

6.Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности

7.Предел числовой последовательности

8.Предел функции

9.Односторонние пределы

10.Бесконечно большие и бесконечно малые функции

0∞

11.Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей 0 , ∞

12.Первый замечательный предел

13.Второй замечательный предел

14.Эквивалентные, бесконечно малые и их применение при вычислении пределов

15.Определение непрерывности функции

16.Непрерывность элементарных функций

17.Точки разрыва функции и их классификация

18.Свойства функций непрерывных на отрезке

102

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Найти

множество

значений

функций.

1) f (x)= x 2 −8 x + 20

2) f (x)= 2−x2

3) f (x)= 2 cos x − 7

4) f (x)=

+ 4

5) f (x)=

arctg x

6) f (x)=

7) f (x)=

8) f (x)= sin x cos x

+ 2

x 2 + 4

5 − x

9) f (x)= ex2 −2 x−3 10) f (x)=

3.2.2. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего

вида 1) f (x)=

sin x

2) f (x)= x5 + 3 x3

− x 3) f (x)=

4) f (x)= arcsin x

5) f (x)= sin x + cos x

6) f (x)=

− 2

7) f (x)=

8) f (x)= x ex

x 2 −1

9) f (x)=

10) z (y)= ln y3

3.2.3. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее

наименьший

положительный

период,

если он

существует

1) f (x)= cos

2) f (x)=

3) f (x)= tg (2 x −1) 4) f (x)= sin

− ctg x 5) f (x)= sin 3x cos 3x

6) f (x)= cos2 x −sin 2 x

7) f (x)=

sin 2 x

8) f (x)=10

9) y =

sin 5x

10) y = ln

cos 4x − 2

3.2.4. Найти сложные функции f (g (x)), g (f (x)), где 1) f (x)= ex ,

g(x)= ln x

2) f (x)= 3 x +1,

g(x)= 2 x −5

3) f (x)=

g(x)= cos x

4) f (x)= x 2 , g(x)=x + 2 5) f

(x)=

, g(x)=

x −1

−3

103

3.2.5. Какие из следующих функцией имеют обратные? Для таких функций

найти обратные функции

1) y = 3 x + 5

2) y = x 3 − 2

3) y =

4) y =

x − 2

5) y =

6) y = 2x−3

− x

3.2.6.

Путем

преобразования

графиков

построить

графики

3x +1

4) y = −log2 (2x −1)

1) y = tg

−

2) y = 2 arccos

x −1

3) y =

6x − π

5) y = 2

arctg x

+ π 6) y = cos

7) y

3 − 2x 8) y =

x − 4

+ 2

3.2.7.

Построить

кривые,

заданные

полярной

системе

координат

1)ρ = ϕ

2)ρ =

3)ρ = sin ϕ

4)ρ = cos ϕ

5)ρ = 2 sin 3ϕ

6)ρ =1 − cos 2ϕ

7)ρ =

1 −3cos ϕ

x = t 2

3.2.8. Построить кривые, заданные в параметрическом виде 1)

y =

− t

x = a(t −sin t)

x = 2

x = a cos t

cos

x = a

y =1 + t

= b sin t

y = a(1 − cos t)

y = a

sin

3.2.9. Написать пять первых членов каждой из последовательностей, заданных их общими членами

1) xn

;

2) xn

n + 2

;

2n +

n3 +1

3) xn =1+(−1)

;

4) xn

= n (1−(−1)n ) ;

5) x

3n +5

;

6) xn

−

arcsin

+ π

2n −3

( 1)

n ;

7) xn

1 sin

π n

;

8) xn

2n −1

;

104

9) xn =	n	;	10) xn = arcsin	(−1)n	;
	(n +1)!
				2

π n

(

−

11) xn = cos (−1)

;

12) xn =

−

;

−(−1)

13) xn = −n [2 +(−1)n ];

14) xn =

cos2

π n

;

1+ n2

15) xn =

;

16) xn = (−1)n−1

n +1

2n+1

3.2.10. Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена:

1)	1,		1	,		1	,		1	,K;
		1	2		1 2 3			1 2 3 4

2)12 , 2 , 12 , 2 ,...;

3)0 , 12 , 23 , 34 ,...;

4)2 , 5 , 10 , 17,...;

5) −1 , 2 , −3 , 4,...;

6)2 , 43 , 65 , 87 ,...;

7)0 , 2 , 0 , 2,...;

8)1 , 0 , − 3 , 0 , 5 , 0 , − 7 , 0,...; 9) −3 , 53 , − 75 , 97 , −119 ,...;

10)0, 22 ,1, 22 ,0,− 22 ,−1,− 22 ,0,...;

11)− 12 , 1 , − 98 , 1 ,−3225 ,169 ,...;

12)1 , 2 , 13 , 4 , 15 ,...

13)1, 2 14 , 2 79 , 3161 , 3 256 , K

14)2, 10, 26, 82, 242,730, K

105

3.2.11. Ограничены ли последовательности:

(−1)

2){2 n};

;

512

;

4) 2n +

;

+ n

5) −

;

6) (−1)n

;

π n

cos

π(n −1)

7) sin

;

8) n

;

5n +1

cos

π n

;

10)

;

−9n

11){ln n};

12){(−1)n sin n}.

Ответы

обоснуйте.

3.2.12. Используя определение предела, докажите, что:

1) lim

n +1

= 0;

2) lim

= 2;

n→∞

n→∞ n +3

3) lim

n −1

=1;

4) lim qn = 0 , если

<1;

n→∞

5) lim

cos

π n

= 0

;

6) lim

4n 2 +1

;

n→∞ n

n→∞ 3n 2 + 2

+ 4

(−1)n

7) lim

=1;

8) lim

1 +

=1;

n→∞

9) lim

= 0;

10) lim

(n +1)2

;

n→∞ n 2 +

n→∞ 2n 2

11) lim

−1

= 1;

12) lim

3n +

2n +1

n→∞

3.2.13. Используя определение предела, доказать, что:

1) lim

2 + 3 = 7 ;

2) lim (x 2 −3x)= 0 ;

x→−2(

)

x→3

106

3) lim

=1;

4) lim lg x = 0 ;

x→1 x

x→1

5) lim

x 2 −1

;

6) lim

x −1

;

2(x +1)

x→2 x 2 +1

x→3

7) limπ sin x =1;

8) lim x sin

= 0 ;

x→2

x→0

9) lim cosx = 1;

10) lim C = C (f (x)= C = const).

x→0

x→x0

3.2.14. Используя определение предела доказать, что:

1) lim

x +1

= 1;

2) lim

x −1

;

x→∞

x→∞ 3x + 2

3) lim

2x −1

;

4) lim

sin x

= 0;

3x + 2

x→+∞

x→∞

5) lim

= 0;

lim

x 2 −1

=1;

2 +1

→∞ x

x→+∞ x 2 +3

lim

100

= 0 ;

8) lim

cos

= 0 ;

x − 2

→−∞

x→∞ x

lim

e 1x =1;

10) lim

= 0.

→+∞

x→−∞ x

3.2.15. Найти пределы

1) lim

− x 2 − x +1

;

2) lim

x 2 + 2x −8

;

+ x 2

− x −1

x3 −8

x→1 x3

→2

3) lim

2x 2 −11x +5

;

4) lim

x5 + 2x4 + x2 − 3x −10

;

x→5

3x 2 −14x −5

x→−2 x4 + 2x3 + 3x2 + 5x − 2

5) lim

1 −

;

6) lim

tgx

;

1 − 1 + tgx

x→1

1 −3 x

→0

7) lim (1 + x)5 −(1 +5x)

;

8) lim

x m −1

; m, n N ;

x→0

x 2 + x5

→1 x n −1

9) lim

(x + h)3 − x3

;

10) lim

8x3 −1

;

6x 2 −5x +

x→0

→

107

11) lim

3 −

4 x

;

12) lim

x −1

−1

;

x 2

9 −

−1

x→81

x→1

x −1

−

, n, m N ;

14) lim

2 + x

2 − x

13) lim

;

3 2 + x −3 2 − x

x→1 m x

−1

x→0

−

x 2 −

15) lim

x −a

;

16) lim

;

x 2 −a 2

x −1

x→а

x→1

−

− 4 1 − 2x

7 + x3

3 + x 2

1 + x 2

17) lim

;

18) lim

x + x 2

;

x −1

x→1

x→0

19) lim

5 (1 + x)3

−1 ;

20) lim

sin 2 x

x→0

x→π 1 + cos3 x

3.2.16. Найти пределы.

1) lim

+ 3x2 + 4x −1

;

2) lim

8 + 7x6 −1

;

5x3 + 6x + 7

4x4

x→∞

x→∞ x6 +

3) lim

+ 2x

;

4) lim

+1 + x

;

−3x3 +

+ x − x

x→∞ x4

x→∞

5) lim

3x +1

;

6) lim

;

3x +

→∞

5x + 3 x

x→∞

7) lim (2x −3)20 (3x + 2)30

;

lim

2x +3

;

→∞

(2x +1)50

x→±∞ 2x −3

x + 3 x + 4 x

;

9) lim

x +

x + x

;

10)

lim

x +1

→±∞

x→+∞

2x +1

11) lim

−

;

12) lim

8x −7x

;

−ex

→∞ 1

x→∞ 6x −5x

+ 4

x7 +3

2x3 −1

13) lim

;

14)

lim

1 +

2x 2 −1

;

x8 + x7 +1 − x

→+∞

x→−∞

15) lim

3 x4 + 3 − 5 x3 + 4

;

x→∞

108

(n −1)

16) lim

x +

+ x

+... + x +

x→∞

3.2.17. Найти пределы.

1) lim

sin 3x

;

2) lim

1−

1− x

;

sin 4x

x→0 sin 4x

x→0

3) lim

1− cos5x

;

4) lim

tg m x

;

x→0

x→0 sin n x

5) lim

sin x − cos x

;

6) lim

cos x

;

x→π

π − 4x

x→π π − 2 x

7) lim

1− cos 5x

;

8) lim

tgx −sinx

;

1− cos3x

x→0

9) lim

sin 5x −sin 3x

;

10) lim

1 +sin x −cos x

;

1 +sin p x −cos px

x→0

sin x

x→0

11) lim

sin x −sin a

;

12) lim

tg 2 x −3tgx

;

x→0

cos(x

x −a

x→a

13) lim

tg(a + x) tg(a − x)− tg2

;

x 2

x→0

14) lim

1 + tgx −

1 +sin x

;

15) lim

sec x −sec a

;

x 2

x→0

x→a

x −a

cos x −3 coosx

1 −

16) lim

;

17) lim

cos x

;

sin 2 x

1 −cos

x→0

1 −sin

sin(x -

18) lim

;

19) limπ

x→π

cos

(cos

−sin

)

1- 2cosx ;

x→

sin(a + x) −sin(a − x)

21) lim

1 −cos x

20) lim

;

cos 2x

tg(a + x) − tg(a − x)

x→0

x 2

109

3.2.18. Найти пределы

2x − 5

x−1

1) lim

2) lim

;

x→∞ 2x

x→∞

4) lim

x +1 x

3) lim

1 +

;

x→∞

x→±∞ 2x −

− 2x +1 x

5) lim 1

;

6) lim

;

− 4x +

x→±∞

x→∞ x2

lim

(tgx)tg2x ;

cos x x2

7) lim

;

x→

x→0

cos 2x

1 + tgx

sin x

9) lim

sin x

10) lim

x−a

;

x→0

1 +sin x

x→a

sin a

ctgx

+ cos

11) lim

− x

;

12) lim

sin

;

x→0

x→∞

13) lim

−a

;

14) lim

loga x −1

;

x −a

x→1

x −1

x→a

16)

lim

(1 + cos x)2sec x ;

x x−2

15) lim

;

x→

x→2

17) lim

(1 + tg2

x )1 2x ;

18) lim (cos x)1 x ;

x→0

19) lim (cos x +sin x)1 x ;

20) lim (cos x)1 x2 .

x→0

3.2.19. Найти пределы

1) lim

− x cosec

π + x ;

2) lim x

+ arctg x ;

x→π 4

x→−∞

3) lim x ctg 2x ;

4) lim sin 2x ctg x ;

x→0

x→π

5) xlim→+∞ (x − x2 + 5x);

6) xlim→∞ (

2 x2

+1 −

x2 +1);

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc