razdel3UMK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

=1, x 2 = 3;

; x1 =1, x 2 = 3;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

1 −cos 2x

если x ≠ 0;

3) f (x)=

x 2

x = 0

A, если

−

, если x ≠ 0 ;

4) f (x)= e

x = 0

A, если

5) f (x)=

ln(1 + 2x), если x ≠ 0;

x = 0

A, если

6) f (x)= x sin

+1,

если x ≠ 0;

x = 0

A, если

+ 2,

если

x < 0 ;

7) f (x)= e

A + x, если

x ≥ 0

+ A, если −3 ≤ x < 2

8) f (x)=

;

, если

x < −3, x ≥ 2

B x

πx

если

9) f (x)= cos

2 + 2,

≤1;

+ Bx, если

2, sin x,

если x ≤ −

−

10) f (x)= A sin x + B, если − π

< x <

;

если

≥

cos x,

+1,

если x ≤1

11) f (x)=

;

− Ax

, если x >1

− x sin

если x ≠ 0;

12) f (x)= 1

x 2

+ A, если

x = 0

131

13)

f (x) (1 + x)n −1, если x ≠ 0, n N ;

x = 0

A, если

f (x)=

[ln(1 + x)−ln(1 − x)], если x ≠ 0;

14)

+ A, если

x = 0

x +sin

2 x

+ 2, если x ≠ 0 ;

f (x)=

15)

+ B, если x = 0

ex −e−x

если x ≠ 0 ;

16)

f (x)=

A, если x = 0

A, если x ≤ −1

17)

f (x)= x 2 +1,

если −1 < x ≤ 2;

x > 2

B + x, если

A x3 , если x ≤ −1

18)

f (x)= x 2 +1,

если −1 < x ≤ 2;

B, если

x > 2

πx

A sin

, если x ≤ −1

19)

f (x)= x 4 + 4, если −1 < x < 2;

πx

, если x ≥ 2

Bcos

x 2 + A

, если x < −1

20)

f (x)= x3 , если

−1 ≤ x ≤1

;

+ Bx +1, если x >1

(1 + 2x)−1

, если x

≠ 0 ;

21)

f (x)=

x = 0

A, если

132

если x ≠ −1

22) f (x)=

;

(x−1)2

1 +

x =1

Ax, если

A x 2 , если x < −1

23) f (x)= arcsin x, если −1 ≤ x ≤1;

+ B, если

x >1

A x + 4, если x ≤ −2

− 4

24) f (x)=

x 2

, если

− 2 < x < 2 ;

x − 2

, если

x ≥ 2

B x

x 4 −16

, если x ≠ 2 ;

25) f (x)=

x − 2

+1, если x = 2

x 2 − A

+1, если x ≤ −1

26) f (x)= B, если

−1 ≤ x ≤ 2

;

+1,

если

x > 2

если x < −1

27) f (x)= Ax + B, если −1 ≤ x ≤1;

если

x >1

sin

2 x,

	x − 4		, если x ≠ 4
28) f (x)=	x − 2			;
		π	x, если x = 4
A cos		4

133


A			, если x < −1

	1 + x 2
		πx , если −1 ≤ x ≤1;
29) f (x)= Bsin
		6
Ax2		+1, если x >1


A x +1, если x < 0
		+1, если 0 ≤ x		≤ 2
Bx 2
30) f (x)=				;

x3 + A, если 2 < x ≤ 3B x + 27, если x > 3

Задание №15

Исследовать на непрерывность функции в указанных точках и построить графики

1)	y =		2x		; x1 =1, x 2 = 3;
		x 2
			− 2x −3
2)	y =		2x +1		; x1 = 2, x 2 = 4 ;
		x 2 −3x + 2

3)	y =		x −5		; x1 =1, x 2 = 3;

		x 2 −5x + 4
4)	y =		x −10		; x1 = 2, x 2 = 4 ;
		x 2 − 2x −8

5)	y =		x +5		; x1 = 3, x 2 = 5;

		x 2 − 4x −5
6)	y =		x +3		; x1 = 3, x 2 = 5;

		x 2 − 4x +3
7)	y =		x + 6		; x1 = 0, x 2 = 2;
		2x
			2 − x −6
8)	y =		x +3			; x1 =1, x 2 = 3;
			2 −5x +
		2x		3
9)	y =		x −14		; x1 = 2, x 2 = 4 ;
		x 2 − x −12

134

16) y =16 x−2 ; x1 = 2, x 2 = 6;

17) y = 3x−4 ; x1 = 4, x 2 = 6 ;

18) y = 9 x−3 ; x1 = 3, x 2 = 8;

19) y = 7 x−3 ; x1 = 3, x 2 = 5 ;

20) y = 8x−2 ; x1 = 2, x 2 = 5;

21) y = 2 x−1 ; x1 =1, x 2 = 4;

22) y = e x ; x1 = 0, x 2 = 2 ;

1 + e x−1

10) y =

x −17

; x1 = 3, x 2

= 5;

−

25)

y = e

−1)2

; x1 =1, x 2

= 3;

2x 2 −9x −5

= 7 ;

11) y = 4 x

−5 ; x

= 5, x 2

26) y =

; x1 = 0, x 2 = 2 ;

2 −e−

12) y = 3

x−2

; x1

= 2, x 2

= 3;

27) y =1 −e

; x1 = 0, x 2

=1;

13) y = 7 x

−4 ; x

= 4, x

= 5;

28) y =

; x1 = 0, x 2

= 2 ;

ln x

−

14) y = 8x−3 ; x1

= 3, x 2

= 6;

29) y = e

x2 ; x1

= 0, x 2

= 2;

30) y =

1 − x −1

; x1

= 0, x 2 = −2 .

15) y = 9

x−7

; x1

= 7, x 2

= 9;

Задание №16

Построить график функции, применяя операции над графиками

1) y =1 − 2 lg

;

11)

y =1 −3

x−3

;

21)

y = 3 − tg x +

;

lg(x − 2);

y =

−arccos x ;

y = 2sin x + 2;

2) y =

12)

22)

3) y = log22

x −1

;

13)

y = −2arctg x +1;

23)

y = tg2x +3;

4) y = −2 + log3 (x +5);

y =

arcsin(x +1)

14)

24)

y = ctg

− x +

;

5) y = −log2 x +1;

15)

y = 2 arccos x +

25)

y =

;

x +1

6) y = 2 −lg1 − x

;

16)

y = arctg

x −1

;

26)

y = −

;

6 − x

y =

x + 2

7) y = 2

−1;

17)

2arctg x

27)

;

− x

8) y = −52x +1;

18)

y = arcsin

;

28)

y =

x +3

;

1 − x

y =

9) y =1 + 2x−5 ;

19)

y = −2 cos x

−

29)

;

− x

135

10) y = 3 −3

;

20) y = ctg

x +1;

30)

y =

x +3

3 − x

Задание №17

Построить график функций, заданных параметрически

x =1 − t

x = 2(2 cos t −cos 2t)

x = 2sin

21)

;

1 − t

11)

;

2(2sin t −sin 2t)

y = 2 cos

= t +

x = ln t

;

cos

;

12)

y = t 2

22)

−1

y = t +

sin

x = 2(cos t −sin t)

2 cos

;

x = 3t

23)

;

2(cos t +sin t)

13)

;

2sin t

y = 5t

x = 3cos t

x = t 2

=1 − t

4sin t

;

14)

t 2 ;

24)

;

y = t −

=1 − t

−

x = R sin 2t

1 + t

;

15)

y = 2R

sin 2

25)

3t 2

1 + t

x = cos t

x =

− t

;

16)

y = t

2sin t

+ 2

y = t

x = 3t

x =10 cos t

;

17)

y = sin t

;

y = 3t − t

x = t

x = t cos t

;

18)

y = t

sin t

− t

y = t

x =

26)

y =

x =

27)

y =

x =

28)

y =

2(t −sin t)

2(1 −cos t);

2t − t 2				;
2t 2 − t3				;
2t 2 − t3
1		1
	t +
2	t +		t
2			t		;
1		1
	t −
2	t −		t
2			t

136

x = 2(cos t +sin t)

x = 2 cos

x = 2 t

;

19)

29)

y = 2(cos t −sin t)

sin

− t

y = 2

y = t

x = t

−1

x = t

− 2t

x = t −sin t

;

10)

20)

;

30)

y =1

−cos t

− t

−1

y = t

Задание №18

Построить график функции (в полярной системе координат)

1)ρ =1 −cos ϕ;

2)ρ = 2 cos 2ϕ;

3) ρ =	3	;
	2 +sin ϕ

4)ρ = 2 2 cos 2ϕ;

5)ρ = e2ϕ;

6)ρ = 3 sin 3ϕ;

7)ρ = 2(1 + cos ϕ);

8)ρ = 4ϕ;

9)ρ = 2 cos 3ϕ;

10)ρ = 2 sin 2ϕ;

11)ρ = ϕ2 ;

12)ρ = 2 +sin ϕ;

16)ρ = 2sin ϕ2 ;

17)ρ = 2 cos ϕ2 ;

18)ρ = 2 + cos 2ϕ;

19)ρ = 1 +cossinϕϕ;

20)ρ = sin ϕ2 ;

21)ρ = 2 cos ϕ2 ;

22)ρ = 2 cos ϕ+1;

23)ρ = 2ϕπ;

24)ρ = 2 − cos 4ϕ;

25)ρ = 2 sin 2 ϕ2 ;

26)ρ = 2 cos2 ϕ2 ;

−ϕ

27)ρ = 2 π ;

28)ρ = sin42ϕ;

29)ρ = 2 sin3 ϕ;

30)ρ = cos ϕ+sin ϕ.

Задание №19

Применяя теоремы о свойствах непрерывных функций на отрезке, решить следующие задачи.

1) Показать, что уравнение x3 −3x +1 = 0 имеет на отрезке [1;2] действительный корень.

137

2) Доказать, что любой многочлен Pn (x) нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.

3)Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение

x3 −3x =1 имеет хотя бы один корень на отрезке [1;2].

4)Доказать, что любой многочлен четной степени имеет хотя бы два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициента при его старшем члене.

5)Показать, что уравнение x 2x =1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.

6)Показать, что уравнение 2x = 4x имеет корень на отрезке [0;12].

7)Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = x3 +1 на отрезке [1;4].

8)Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = ex+1 на отрезке [0;1].

9)Найти наименьшее значение функции y = (x + 4)3 на отрезке [0;1].

10)Найти отрезок значений функции y = x 2 + 4x + 6, если x [− 2;0].

11)Найти отрезок значений функции y = x +sin x , если x 0; π .

12)Для какого m уравнение x 2 − x −ln x + m = 0 имеет хотя бы один корень на отрезке [1;2].

13)Для какого a уравнение x ln x = a имеет хотя бы один корень на отрезке [2;3].

14)Для какого p уравнение x3 −3x + p = 0 имеет три вещественных

корня.

15)	Найти наибольшее значение функции y = x3 −12x	на отрезке
[− 2;4].
16)	Показать, что уравнение x = a sin x + b , где 0 < a <1,	b > 0 имеет

по меньшей мере один положительный корень и причем не превосходящий

b + a .

17) Найти наибольшее значение функции f (x)=	1	, x [0;∞).
	+ x 2
3

138

18)Для какого p уравнение p x3 − 2x +1 = 0 имеет хотя бы один действительный корень на отрезке [1;2].

19)Сколько корней имеет уравнение a ex = x 2 при 0 < a < 3.

20)Для какого q уравнение x3 − 2x + q = 0 имеет три действительных

корня.

21)	Для какого	q уравнение x3 − 2x −q = 0	имеет только	один
действительный корень.			y = arctg x + x
22)	Определить	наименьшее значение функции	y = arctg x + x	для

x 0; π4 .

23) Определить наибольшее значение функции y = sin 4 x + cos4 x −1

для x 0; π4 .

24) Определить наибольшее значение функции y = (x 2 +1)ln x для

x [1;4].

25)

Для

какого p

уравнение arcsin x = −x + p

имеет

хотя бы

один

действительный корень.

arctgx = a x

26)

Для

какого

уравнение

имеет

ровно

три

действительных корня.

27)

Для

какого

уравнение

ex = 2x + a

имеет

ровно

два

действительных корня.

sin 2 β

28)

Найти наименьшее значение функции y = lim 1

+ lim

β2

α→0

β→0

на отрезке [0;3].

29)Сколько действительных корней имеет уравнение x 4 −7x −5 = 0?

30)Показать, что уравнение x 3x =1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.

139

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. -

М: Наука. 2000 - 430 с.

2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -

М.: Наука. 2002 - 576 с.

3.Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей

математики. – М.: Высшая школа, 1998. – т.1. - 328 с.

Дополнительная литература:

1.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, 2000.

2.Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г. Контрольные задания по общему курсу высшей математики. – Изд.дом

«Питер», 2006.

Учебные пособия кафедры:

1. Гимаев Р.Г., Умергалина Т.В. Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной. Уфа: УГНТУ,200571с.

2.Сахарова Л.А., Савлучинская Н.М., Якупов В.М. Расчетное задание по математике. Введение в анализ. Уфа: УГНТУ, 2000 – 24 с.

3.Гимаев Р.Г., Жданова Т.Г. Практикум. Введение в анализ. Уфа,

УГНТУ, 2000 – 38 с.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc