Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel3UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

ПРИМЕР 1.19. Функции α = x 2

и β = 3x 2

при x → 0

являются б.м.ф.

одного порядка: lim

x 2

= lim

≠ 0 .

x→0 3 x 2

x→0

α(x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21. Если

lim

= 0 , то α(x) называют б.м.ф. бо-

β(x)

лее высокого порядка, чем β(x).

x→x0

ПРИМЕР 1.20. Функция α = 3 x 4

при x → 0

есть б.м.ф. более высокого

порядка, чем β = x3 , так как

lim

α(x)

= lim

3 x 4

= lim 3x = 0 .

β(x)

x→x0

x→0

β(x). В этом случае говорят, что б.м.ф. α(x)

стремится к нулю быстрее, чем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22. Если

lim

α(x)

= ∞, то α(x) называется б.м.ф.

β(x)

более низкого порядка, чем β(x).

x→x0

ПРИМЕР 1.21. Сравнить функции α(x)= sin x и β(x)= x 2 при x → 0 .

Решение.

lim

α(x)

= lim

sin x

= lim

sin x

= ∞,

следовательно

β(x)

x→0

x 2

x→0 x x

α(x)− б.м.ф. более низкого порядка, чем β(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23. Если

lim

α(x)

=1,

то α(x) и β(x)

называются

β(x)

x→x0

α ~ β.

эквивалентными бесконечно малыми, это обозначается так:

ПРИМЕР 1.22. lim

sin x

=1, следовательно, sin x ~ x при x → 0 .

x→0

ПРИМЕР 1.23. lim

tg x

=1, следовательно, tgx ~ x при x → 0 .

x→0

ПРИМЕР 1.24.

x = sin t

lim

arcsin x

= lim

arcsin sin t

= lim

x → 0

t → 0

x→0

t→0

sin t

t→0 sin t

=1, следовательно arcsin x ~ x при x → 0 .

lim

sin t

t→0

Теорема 1.11. Предел отношения двух бесконечно малых функций не из-

менится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми, то есть , если

α ~ α

, β ~ β

и lim

α(x)

= A , то lim

α1 (x)

= A .

x→x0

β(x)

x→x0 β1 (x)

Доказательство.

lim

α1

x→x0

→x0

β1

= lim

lim

β1

lim

α1

=1 1

lim

α1

= lim

α1

x→x0

sin 3x

ПРИМЕР 1.25. Найти предел lim

→0 sin 5x

Решение. lim

sin 3x

sin 3x ~ 3x

= lim

x→0 sin 5x

sin 5x ~ 5x

x→0

ПРИМЕР 1.26. Найти предел lim

tg2 2x

→0 sin2 x

tg 2x ~ 2x

Решение.

lim

tg2

= lim

(2x)2

=16 .

2 x

sin

x→0

sin

→0

ПРИМЕР 1.27. Найти предел lim

x arcsin x

→0

tg x

Решение.

lim

x arcsin x

arcsin x ~ x

= lim

x x

= lim x = 0 .

x→0

tg x

tg x ~ x

→0

x→0

1.9. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1.9.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y = f (x)

определена в точке x 0

и в некоторой ее окрест-

ности.

y = f (x) называется непрерывной в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24. Функция

точке x 0 , если существует предел

lim f (x)

и он равен значению функции в

этой точке, то есть

x→x0

lim f (x)= f (x 0 ).

(1.18)

x→x0

Так как lim x = x 0 , то равенство (1.18) можно записать в виде
x→x0
				(1.19)
lim f (x)= f lim		x = f (x 0 ).		(1.19)
x→x0	x→x0
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции под
знаком функции можно перейти к пределу, то есть в функцию f			(x)	вместо ар-

гумента x подставить его предельное значение x 0 .

Пользуясь определением предела, можно сформулировать определение непрерывности функции на «языке ε − δ».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.25. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетво-

ряющих неравенству		x − x0		< δ выполняется неравенство
ряющих неравенству		x − x0		< δ выполняется неравенство
			f (x)− f (x0 )			< ε.	(1.20)
			f (x)− f (x0 )			< ε.	(1.20)
Обозначим	x = x − x 0 и назовем приращением аргумента,						тогда раз-
ность y = f (x)− f (x 0 )= f (x0 +					x)− f (x0 ) называют приращением функции
f (x) в точке x 0 .				x и	y могут быть как положительными, так и
Очевидно,	приращения			x и	y могут быть как положительными, так и
отрицательными числами.				x → 0 , то равенство (1.20) означает
Так как при x → x 0				x → 0 , то равенство (1.20) означает
				lim	y = 0 .		(1.21)
				x→0

Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

ПРИМЕР 1.28. Показать, что функция y = x 2 непрерывна в любой точке

x R .		y = (x +	x)2 − x 2 = x 2 + 2 x	x + x 2 − x 2 =
Решение.		y = (x +	x)2 − x 2 = x 2 + 2 x	x + x 2 − x 2 =
= 2x	x +	x 2 .	x + x 2 )= 2x lim
lim	y = lim (2x		x + x 2 )= 2x lim	x + lim	x lim x = 0.
x→0		x→0	x→0	x→0	x→0

x R .

Отсюда, согласно определению 1.26, следует непрерывность функции y = x 2 на всей числовой оси.

ПРИМЕР 1.29. Исследовать на непрерывность функцию y = sin x . Решение. Функция y = sin x определена при всех

Возьмем произвольную точку x и найдем приращение

y = sin(x +

x)−sin x =

2sin

cos x +

Тогда

lim

y = lim 2sin

cos x +

= 0, так как

→0

x→0

≤1, то есть

функция

cos(x + x)

ограничена и

cos x +

lim sin

= 0 , а произведение ограниченной функции на бесконечно малую

x→0

есть б.м.ф.

Следовательно, функция y = sin x непрерывна в любой точке x . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27. Функция f (x) называется непрерывной в точке

x 0 справа (слева), если

lim f (x)= f (x0 )		lim		(1.22)
			f (x)= f (x0 ) .
x→x0 +0	x→x0 −0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28. Функция f (x) непрерывна в интервале (a, b), ес-

ли она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке
[a, b],	если она непрерывна в интервале (a, b)			и в точке x = a непрерывна
справа		f (x)		x = b непрерывна слева
справа	lim	f (x)	= f (a) , а в точке	x = b непрерывна слева
	x→a+0

lim	f (x)= f (b) .
x→b−0

1.9.2. Точки разрыва функции и их классификация

Из первого определения непрерывности, то есть из равенства (1.18) следует, что для непрерывности функции f (x) в точке x 0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция f (x) определена в точке x 0 и некоторой ее окрестности;

2)функция f (x) имеет предел при x → x0 ;

3)предел функции в точке x 0 равен значению функции в этой точке.

Точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий, называются точ-

ками разрыва этой функции.

Если x = x0 − точка разрыва функции y = f (x), то в этой точке не выполняется по крайней мере одно из приведенных выше условий.

y
0	3	x
Рис. 1.12

ПРИМЕР 1.30. Функция определена в окрестности точки x 0 , но не определена в самой точке x 0 .

Решение. Функция y = x 1−3 не определена в точке x 0 = 3, следователь-

но, x 0 = 3 − точка разрыва (рис. 1.12).

ПРИМЕР 1.31 Функция определена в точке x 0 и ее окрестности, но не

существует предел lim f (x).

x→x0

y
2
1
1	2	3	x
1	2	3
- 1
- 2
Рис. 1.13
	35

Решение.
f (x)= x − 2,			если	x <1
	3 − x,		если	x ≥1
Функция определена в точке x 0 =1, f (1)= 2 ,								однако эта функция не
имеет предела при x →1:				lim		f (x)= −1,
lim	f (x)= 2 .		x→1−0
lim	f (x)= 2 .
x→1+0		=1 − точка разрыва (рис. 1.13).
Точка x 0		=1 − точка разрыва (рис. 1.13).
ПРИМЕР 1.32. Функция определена в точке x 0								и ее окрестности, суще-
ствует предел		lim f (x), но этот предел не равен значению функции в точке
	x→x0
x 0 lim f (x)≠ f (x0 )
x→x0
			sin x		,	если	x ≠ 0
Решение.		f (x)	=	x	,	если	x ≠ 0
			0,			если	x = 0
							y
							1
							0
			−2π			−π	π	2π	x
									x
						Рис. 1.14
lim f (x)= lim sin x				=1, а f (x 0 )= f (0)= 0
x→0		x→0	x
Точка x 0		= 0 − точка разрыва (рис. 1.14).
Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и
второго рода.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.29. Точка разрыва x 0 называется точкой разрыва
первого рода функции y = f (x), если в этой точке существуют конечные
односторонние пределы, то есть
lim	f (x)= A1 и			lim		f (x)= A . При этом:
x→x0 −0			x	→x0 +0
1) если A1 = A2 , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
							36

2) если A1 ≠ A2 , то x 0			называется точкой конечного разрыва; величи-
ну A1 − A2	называют скачком функции в точке разрыва.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.30.			Точка	разрыва x 0					называется точкой разрыва
второго рода функции y = f (x), если в этой точке по крайней мере один из од-
носторонних пределов не существует или равен бесконечности.
ПРИМЕР 1.33. Дана функция f (x)=						x + 2 . Найти точки разрыва и вы-
яснить их характер.						x + 2
яснить их характер.
Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме
			x + 2			=1			при x > −2,
точки x = −2. Очевидно, что f (x)= x + 2						=1			при x > −2,
			−		(x + 2)			= −1 при x < −2.
					x +	2		= −1 при x < −2.
					x +	2			f (x)=1. Поэтому в точке
Следовательно,		lim	f (x)= −1		и		lim		f (x)=1. Поэтому в точке
		x→−2−0				x→−2+0
x = −2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 1.15). Скачок функции в этой
точке равен 1 − (−1) = 2.
						y
							1
		- 2		- 1			0		x
							- 1
				Рис. 1.15
ПРИМЕР 1.34. Исследовать на непрерывность функцию y = arcctg 1 .
									x
Решение. Функция определена, а следовательно, и непрерывна на всей
числовой оси, кроме точки x = 0 . Найдем в этой точке односторонние
пределы:							lim arcctg 1 = arcctg(− ∞)= π,
	1 = arcctg(+ ∞)= 0 .						x→0−		x
lim arcctg	1 = arcctg(+ ∞)= 0 .
x→0+	x
Функция в точке x = 0 терпит разрыв первого рода (рис. 1.16), величина
скачка в этой точке равна π − 0 = π.
				37

					y
					π
					π 2
					0		x
					Рис. 1.16
							1
ПРИМЕР 1.35. Найти точки разрыва функции y = 2 x−1 и выяснить их ха-
рактер.
Решение. Функция не определена при x =1.
					y
					1
					0	1	x
						Рис. 1.17
	1			1
lim 2 x−1 = 2−∞ =				1	= 0,
x→1−0	1		2	+∞
	1
lim	2 x−1 = 2+∞ = +∞,
x→1+0			x =1 − точка разрыва функции второго рода
следовательно,			x =1 − точка разрыва функции второго рода					(рис. 1.17).
Здесь учтено, что
	1	= 20
lim	2 x−1	= 20	=1 и
x→+∞	1
	1	= 20
lim	2 x−1	= 20	=1.
x→−∞
					38

n N ,

1.9.3. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1.12. Пусть функции f (x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0 , тогда

вэтой точке непрерывны функции:

1.f (x)± ϕ(x);

2.f (x) ϕ(x)

3.ϕf ((xx)), если ϕ(x0 )≠ 0.

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Пусть функции f (x) и ϕ(x) непрерывны в некото-

рой точке x = x0		, это значит, что lim f (x)= f (x 0 ), lim ϕ(x)= ϕ(x 0 ).
		x→x0	x→x0
	Докажем, например, непрерывность функции ψ(x)= f (x) ϕ(x).
	Имеем		lim ϕ(x)= f (x0 ) ϕ(x0 )= ψ(x0 ), что и
lim ψ(x)= lim f (x) ϕ(x)= lim f (x)
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0
доказывает непрерывность функции f (x) ϕ(x) в точке x 0 . Аналогичным обра-
зом доказываются остальные утверждения теоремы.

Теорема 1.13 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция u = ϕ(x) непрерывна в точке x 0 , а функция y = f (u) непрерывна в соответст-

вующей точке u0 = ϕ(x 0 ). Тогда сложная функция y = f [ϕ(x)] непрерывна в

точке x 0 .

Доказательство. Из непрерывности функции u = ϕ(x) следует

lim u = lim ϕ(x)= ϕ(x0 )= u 0 , то есть при x → x 0 имеем u → u0 . Тогда в
x→x0	x→x0
силу непрерывности функции y = f (u) получим
	lim f [ϕ(x)]= lim f (u)= f (u 0 )= f [ϕ(x 0 )].
	x→x0	u→u0
	Это и доказывает, что сложная функция y = f [ϕ(x)] непрерывна в точке

x 0 .

Пользуясь приведенными выше теоремами, можно доказать, что всякая

элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Рассмотрим некоторые из них.

ПРИМЕР 1.36. Целая рациональная функция (многочлен)

Pn (x)= a 0 x n + a1x n−1 + a 2 x n−2 +K+ a n , где

a 0 , a1,K, a n R , непрерывна в каждой точке числовой прямой, как сумма непрерывных функций a 0 x n , a1x n−1,K, a n .

то есть

ПРИМЕР 1.37. Дробно-рациональная функция	R(x)=	Pn (x)	, где
		Qm (x)

Pn (x), Qm (x)− многочлены, непрерывна во всех точках, в которых знамена-

тель отличен от нуля, как частное двух непрерывных функций. Непрерывность тригонометрической функции y = sin x нами уже дока-

зана, аналогичным образом можно показать непрерывность функции y = cos x . А тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x непрерывны, как отношение двух непрерывных функций sin x и cos x , во всех точках, в которых их знаменатель отличен от нуля.

1.9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функции, непрерывные на отрезке, имеют ряд важных свойств. Мы сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 1.14. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

y
		M
				m
0	a	x1	x 2	b	x
		Рис. 1.18

Функция принимает наибольшее значение M в точке x1 , а наименьшее

m − в точке x 2 (рис. 1.18). Для любого x [a, b] имеет место неравенство m ≤ f (x)≤ M .

Из данной теоремы вытекает следующее следствие.

Следствие 1.2. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 1.15. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b]

найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль, f (с)= 0 .

На графике f (a)< 0 , f (b)> 0, f (c)= 0 (рис. 1.19).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc