1.4 Методы решения уравнений, описывающих течение жидкостей

Приведенные выше уравнения относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных, универсальным методом решения которых, используемым в том числе и «FEMLAB», является метод конечных элементов (МКЭ). Суть МКЭ состоит в том, чтобы заменить истинное решение дифференциального уравнения, существующее на всей области определения, но известное лишь в некоторых ее точках, непрерывной аппроксимацией этого решения. При этом искомое решение, которое не выражалось в виде элементарных функций путем интегрирования исходного дифференциального уравнения или результатов его тождественных преобразований, выражается приближенно в аналитическом виде путем применения специальных численных методов аппроксимации данных. Проще говоря, когда решение уравнения настолько сложное, что не существует пригодной для его выражения элементарной функции, то это решение выражается в виде набора таких функций. Собственно, понятие МКЭ существует во взаимосвязи с определенной группой методов, предназначенных для отыскания набора функций и их комбинации, в совокупности представляющих решение дифференциального уравнения.

Один из методов, принадлежащих этой группе – это метод взвешенных невязок, суть которого состоит в следующем. Подбирается функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям и краевым условиям, но подбирается не произвольно, поскольку такой подбор вряд ли возможен уже в двухмерном пространстве, а с использованием специальных методов.

Пусть состояние некоторой среды описывается дифференциальным оператором

LV+P=0 , (1.42)

где L – дифференциальный оператор, например, оператор Лапласа;

V – фазовая переменная – неизвестная функция, которую следует найти;

P – величина, не зависящая от V.

Решение (1.42) выполняется совместно с граничным условием первого рода (Дирихле), то есть на границе задано значение фазовой переменной

V(Г)=V_Г . (1.43)

Решение ищется с помощью функции следующего вида

, (1.44)

где V^* – приближенное решение;

F – функция, удовлетворяющая граничным условиям;

N_m – пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю;

A_m – неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору;

M – число пробных функций.

Если подставить V^* в исходный дифференциальный оператор (1.42), то получим невязку R=LV^*+P, изменяющуюся в области решения. Иначе говоря, в каждой точке решения невязка, т.е. его отличие от истинного значения, имеет свое значение.

При этом, поскольку цель – получить V^* максимально приближенное к истинному решению на всей области определения, то необходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать невязку в этой области. Одним из вариантов такого условия может быть следующее уравнение

, (1.45)

где W_n – весовые функции, в зависимости от выбора которых, различают варианты метода взвешенных невязок;

S – область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название «метод поточечной коллокации», для кусочно-постоянных функций – «метод коллокации по подобластям», но наиболее распространенным является «метод Галеркина», в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N. В этом случае, если количество пробных и весовых функций равно, то после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A, которая в матричной форме записи имеет следующий вид

KA+Q=0 . (1.46)

В (1.46):

- K – матрица, элементы которой рассчитываются по формуле

; (1.47)

- Q – вектор, элементы которого рассчитываются по формуле

(1.48)

Решая (1.46) с учетом (1.47)-(1.48), находим вектор A, элементами которого являются искомые коэффициенты A_m. Подстановка найденных коэффициентов A_m в (1.44) дает решение исходной задачи.

Из вышеизложенного очевидны недостатки метода взвешенных невязок. Поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности. Однако при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов K_ij и Q_i, связанные с необходимостью вычисления двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами при решении плоских и объемных задач. Поэтому на практике метод взвешенных невязок не использовался, до изобретения метода конечных элементов. Идея последнего заключена в том, чтобы в методе взвешенных невязок воспользоваться простыми пробными и весовыми функциями, но не во всей области S, а ее отдельных подобластях (конечных элементах). При этом точность решения задачи обеспечивается использованием большого числа конечных элементов (КЭ), относительно простой формы, вычисление интегралов по которым не представляет сложности. Математически переход от метода взвешенных невязок к МКЭ осуществляется с использованием специальных пробных функций, называемых также «глобальными базисными функциями», которые обладают следующими свойствами:

- в узле аппроксимации функции имеют значение равное единице;

- отличны от нуля только в КЭ, содержащих этот узел аппроксимации, во всей остальной области равны нулю.

Для одномерной задачи набор таких кусочно-линейных функций, при количестве КЭ, равном трем, иллюстрируется рисунком 1.2.

На рисунке видно, что на каждом КЭ действует строго определенное число ненулевых глобальных базисных функций (в данном примере две), и вместо вычисления интеграла по всей области можно вычислить интегралы по КЭ и сложить их. Процедура сложения получила название «ансамблирование».

Рисунок 1.2 – Приближение решения пробными функциями в методе

конечных элементов

Использование глобальных базисных функций приводит к тому, что процедура вычисления интегралов по КЭ становиться достаточно простой и, поскольку в узлах аппроксимации N_m=1, коэффициенты A_m приобретают физический смысл, они становятся равными значению фазовой переменной в узлах. В аппроксимации (1.44) теперь можно отказаться от использования функции F, поскольку удовлетворить граничные условия можно естественным образом, задавая значения V в узлах, расположенных на границе.

В пределах одного КЭ, при условии, что он включен между i-м и j-м узлами, аппроксимацию решения можно определить с помощью глобальных базисных функций следующим образом

, (1.49)

где X – текущая координата, отсчитываемая от начала КЭ;

L – его длина;

и – значения фазовых переменных соответственно в i-ом и j-ом узлах КЭ.

Компоненты вектора N_e получили название «функций формы конечного элемента».

Функции формы можно получить и из других соображений. Зададимся полиномом, аппроксимирующим решение внутри конечного элемента, например

. (1.50)

Подстановка X=0 и X=L в (1.50) соответственно дает

, (1.51)

. (1.52)

Выражая из (1.51)-(1.52) коэффициенты a₀ и a₁, и подставляя их в (1.50), получаем

, что эквивалентно (1.49).

Таким же образом, можно получить функции формы для квадратичной, кубической и других аппроксимаций. Соответственно аппроксимации называются и функции формы, а также КЭ – квадратичный, кубический и т.д.

Выбор конкретной аппроксимации зависит от нелинейности решаемой задачи – чем больше нелинейность V^*, тем более высокий порядок должна иметь принятая функция формы и соответственно КЭ. При этом действует следующее правило – порядок аппроксимирующего полинома должен быть больше или равен порядку решаемого дифференциального уравнения. Под порядком дифференциального уравнения понимается наибольший порядок производных, входящих в это уравнение.

Последовательность решения задач с использованием МКЭ приблизительно следующая:

а) выбирается вид КЭ;

б) строится сетка, т.е. область решения разбивается на КЭ;

в) определяется функция формы и математическая модель КЭ;

г) определяется математическая модель объекта путем ансамблирования;

д) задаются граничные условия;

е) решается полученная система алгебраических уравнений с получением в результате искомых коэффициентов, т.е. значений расчетных параметров (фазовых переменных) в узлах сетки.

На уровне пользователя из вышеперечисленного решаются следующие вопросы:

- выбор вида КЭ;

- задание параметров сетки;

- задание граничных условий.

Выбор вида КЭ тесно связан с выбором параметров сетки. Увеличение детализации сетки позволяет использовать более простые функции формы и наоборот. Поэтому нельзя говорить о выборе размера элемента или функции его формы независимо. Точно также в отношении этих параметров вряд ли употребим термин «правильный выбор»/ «неправильный выбор» – при решении задачи между ними всегда подбирается разумный баланс на основе нелинейности изменения фазовых переменных, сложности геометрии и наличествующих вычислительных ресурсов. Можно лишь говорить о путях подбора этого баланса, основанных на интерактивном взаимодействии пользователя с программой конечноэлементного анализа, используемой для решения.