1.2 Описание спиралевидного потока несжимаемой жидкости

Значительная часть задач гидродинамики бурения скважин связана с закрученными или спиралевидными потоками («swirl flow»), возникающими при вращении бурильной колонны в скважине, а также использовании турбулизаторов, вихревых кольмататоров и т.д. Принципиальным отличием спиралевидного потока является наличие окружной составляющей скорости, направленной по касательной к окружности, полученной поперечным сечением внешней стенки бурильной колонны. В случае трехмерного моделирования обычного не спиралевидного потока вектор скорости в конкретной точке области расчета определяется тремя составляющими в соответствии с числом координатных осей

. (1.22)

Использование (1.22) при расчете спиралевидного потока сопряжено с рядом трудностей, так как направление окружной скорости не совпадает ни с одной координатной осью и, более того, в каждой точке окружности внешней образующей поперечного сечения колонны вектор окружной скорости находится под своим углом к координатным осям. Данное обстоятельство делает невозможным непосредственное задание физических свойств границы, соответствующей внешней стенке бурильной колонны, при использовании (1.22). В этой связи, в уравнение Навье-Стокса вместо фазовой переменной скорости вводятся:

- «вихревая функция» –  (stream function), для плоской задачи определяемая уравнением

; (1.23)

- «завихренность потока» – , определяемая для тех же условий уравнением

. (1.24)

После преобразований получаем уравнение Навье-Стокса в «бездивергентном» виде

. (1.25)

Заметим, что уравнение неразрывности в полученной системе отсутствует, а задача решается только в 2-D-Axial symmetry постановке.

1.3 Описание турбулентного потока несжимаемой жидкости

Физически- и математически-обоснованным расчетным уравнением движения жидкости в турбулентном режиме остается, рассмотренное выше, уравнение Навье-Стокса, которое применялось с соответствующей целью на ранних стадиях развития численного моделирования данного процесса. Однако главным недостатком этого метода решения задачи описания турбулентного течения жидкости является необходимость использования большого количества конечных элементов с целью корректного описания флуктуаций физических параметров в зонах турбулентных вихрей. Данное обстоятельство делает модели, основанные на прямом решении уравнения Навье-Стокса, малопригодными для практических расчетов турбулентного режима течения.

Способом преодоления указанной проблемы является ввод в систему расчетных уравнений статистических неизвестных. Таким образом, вместо аналитически строгих уравнений движения и непрерывности, составляющих систему уравнений Навье-Стокса, приходим к полуэмпирической системе уравнений, основанной на осредненных физических параметрах, вычисляемых в предположении, что изменение этих параметров – статистическая закономерность.

Примером такой модели является, так называемое, усредненное по Рейнольдсу уравнение Навье-Стокса – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS):

, (1.26)

где – плотность жидкости (кг/м³);

– средняя скорость течения (м/с);

– динамическая вязкость (Па*с);

– давление (Па).

Сравнение RANS с оригинальным уравнением Навье-Стокса (1.1) показывает, что отличием является последний член в левой части уравнения движения , называемый силовым тензором Рейнольдса – Reynolds Stress Tensor (RST), который описывает возмущения скорости жидкости вокруг среднего значения. Теоретической базой, на которую опирается RST, является представление фазовой переменной турбулентного потока (), зависящей от времени и координат, в виде сумы среднего значения () и флуктуационной части (). Схема, поясняющая данное разложение, представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Формализация фактического тренда фазовой переменной

нестационарного процесса турбулентного течения

На рисунке представлена типичная зависимость параметров процесса турбулентного течения от времени. В данном случае приведена зависимость для скорости, но аналогичный характер изменения имеют и другие параметры процесса, например, давление и вязкость. Как видно из рисунка, изменение параметров процесса турбулентного течения происходит в двух масштабах времени, причем зависимость средней скорости достаточно гладкая и имеет периодический характер, что способствует ее математическому описанию. При этом мелкомасштабные колебания, определяющие величину , несмотря на кажущуюся хаотичность, достаточно закономерно колеблются относительно осредненной скорости, что предопределяет эффективность применения статистического инструментария их моделирования. Таким образом, если исходная зависимость представляется весьма сложной для моделирования, то покомпонентное моделирование не доставляет серьезных проблем, а получив модели каждого из компонентов, можно легко восстановить исходную зависимость с достаточно высокой точностью.

Точки получаются путем интегрирования в пределах интервалов , на которые разбивается исходная зависимость. Затем по полученным точкам находится непрерывная модель , используя которую вычисляют точки .

При решении системы RANS в трехмерном пространстве методом конечных элементов, за счет даже симметричного RST мы получаем шесть дополнительных уравнений для шести неизвестных, которыми являются составляющие скоростей флуктуации по осям координат. Однако решить, полученную таким образом систему, невозможно, так как в ней содержатся еще и статистические неизвестные, возникшие при моделировании. Из-за этих неизвестных система RANS не является замкнутой, что получило название – «проблема замыкания уравнений турбулентности» (the closure problem of turbulence).

Известно множество решений указанной проблемы, отличающихся допущениями и гипотезами относительно характера турбулентного потока. Так, например, на ранних этапах моделирования турбулентного потока энергия вихрей учитывалась за счет введения дополнительной вязкости, которая не зависела от координат и времени. Таким образом, изменение количества движения, происходящее в турбулентных вихрях, подменялось изменением вязкости жидкости в рамках модели параллельного сдвига, действующей при моделировании ламинарного потока. Иначе говоря, для моделирования турбулентного потока использовалась модель ламинарного потока, усовершенствованная путем увеличения вязкости жидкости на флуктуационную составляющую. Действующая при этом эквивалентная вязкость турбулентного потока, была названа «турбулентной вязкостью» (turbulent viscosity). Первоначально при моделировании использовалась турбулентная вязкость, не зависящая от координат и времени, которая в более поздних и развитых моделях была заменена функцией координат и фазовых переменных. Разновидностей функции турбулентной вязкости предложено достаточно много, поэтому классификация моделей турбулентного потока выполняется по формальному признаку количества уравнений, введенных в систему дополнительно к уравнениям движения и неразрывности.

На практике достаточно распространен метод замыкания системы RANS – «closure», основанный на аналогии между хаотичным тепловым движением молекул газа и динамикой завихрений в турбулентном потоке. Данному методу соответствует функция турбулентной вязкости (), связывающая ее с отношением кинетической энергии турбулентного потока () к диссипации этой энергии (), посредством эмпирической константы =0,09

. (1.27)

При этом RST выражается через градиент скорости потока и турбулентную вязкость следующим образом

. (1.28)

Подставляя выражение для RST в RANS, получаем основное уравнение движения, соответствующее математической модели

, (1.29)

где – турбулентная энергия (м²/с²);

– диссипация (м²/с³).

Уравнение неразрывности потока в модели не отличается от RANS

. (1.30)

Поскольку в уравнении движения появились две новых статистических переменных, в систему дифференциальных уравнений модели добавляются два дополнительных уравнения, определяющие данные переменные.

Турбулентная энергия выражается уравнением, получаемым путем аналитических преобразований (1.28)

, (1.31)

а диссипация – преимущественно эмпирическим уравнением

,(1.32)

где =0,1256, =1,92, =1, =1,3 – эмпирические константы.

Таким образом, согласно принятой классификации, модель относится к классу «турбулентных моделей двух уравнений» (two-equation models). Данный класс моделей характеризуется относительной простотой решения, так как количество дополнительных уравнений невелико, но также известно, что точность получаемых с их помощью решений невысока, хотя и приемлема для практических расчетов.

Известными случаями, когда модель работает с невысокой точностью, являются:

- расчет вращающихся потоков, например, поток бурового раствора в кольцевом пространстве скважины при вращении бурильной колонны;

- расчет в зонах рециркуляции, сопряженных с объемным расширением потока, например, когда буровой раствор попадает по трубопроводу в отстойник или амбар.

Тем не менее, для большого количества практических задач, включая расчет местных сопротивлений в циркуляционной системе буровой и скважине, расчет статических перемешивающих устройств в системе приготовления бурового раствора и расчет промывки кольцевого и внутритрубного пространств скважины при развитом турбулентном режиме, точность результатов моделирования достаточно высока.

В сравнении с моделями высоких классов, демонстрирующих большую достоверность результатов моделирования, основным достоинством модели является нетребовательность к вычислительным ресурсам, что обеспечивает решение задач на непрофессиональных компьютерах, работающих под управлением Windows с доступным объемом адресуемого пространства оперативной памяти до 4 Гб.

Вместе с тем, все вышеперечисленное относится к расчету сплошной, т.е. изотропной, среды, каковой является промывочная жидкость в основном объеме канала течения, тогда как в его пристенной зоне расчетная среда становится анизотропной. При этом степень анизотропии зависит от развитости турбулентности в потоке. Для получения результатов моделирования, согласующихся с практикой, анизотропию жидкости необходимо учитывать, что делается за счет использования специальных граничных условий, называемых «функциями стенки» (wall-function).

Существует две основных разновидности функций стенки. Первая разновидность основана на введении дополнительных составляющих в уравнение движения, характеризующих пристенный эффект. Необходимым условием применимости данного подхода является детализация расчетной сетки в зоне вблизи стенки для корректного моделирования, так называемого, ламинарного или вязкого подслоя (viscous sublayer). Степень необходимой детализации сетки определяется толщиной ламинарного подслоя, динамически изменяющейся вместе с интенсивностью потока, описываемой числом Рейнольдса. Таким образом, данная разновидность функций стенки обеспечивает наилучший результат при моделировании переходного потока или неразвитого турбулентного потока, существующего при невысоких числах Рейнольдса. Однако необходимость тонкой адаптации сетки делает программную реализацию функции стенки весьма сложной, что ухудшает сходимость алгоритма расчета в целом.

Вторая разновидность функций стенки опирается на существование эмпирически обоснованной взаимосвязи между скоростью жидкости и ее трением о стенку, локализованном в тонком пристенном слое. Данная разновидность функций стенки применяется для развитого турбулентного потока, когда толщина ламинарного подслоя настолько незначительна, что уже не определяет результат моделирования, т.е. когда имеет место режим граничного трения, а также когда изменения давления вдоль стенки достаточно малы. Тем не менее, успешное применение данной разновидности функций стенки возможно и при небольших числах Рейнольдса, при условии достаточного эмпирического обоснования, что делает ее наиболее универсальной.

Рассмотрим свойства функции стенки, основанной на граничном трении.

Прежде всего, отметим, что толщина граничного слоя, локализующего в себе трение, определяется отношением кинематической вязкости жидкости () к скорости скольжения (трения) (), называемым также «характеристической длиной» (relevant length scale)

, (1.33)

где ; (1.34)

– напряжение сдвига жидкости по поверхности стенки;

– плотность жидкости.

На удалении от стенки много большем, нежели величина , параметры сплошного изотропного потока рассчитываются как функции координат с использованием модели турбулентного течения. В промежутке между граничным слоем и сплошным потоком находится буферная зона, в пределах которой действует универсальный закон распределения скоростей

, (1.35)

где – постоянная Кармана, равная 0,42;

С – постоянная, характеризующая шероховатость стенки, и равная 5 для гладкой поверхности;

– расстояние от стенки по нормали к ее поверхности.

Выражение под знаком натурального логарифма называется безразмерной или относительной координатой и обозначается

. (1.36)

Рассматривая равновесие между буферной зоной и граничным слоем, привлекая уравнения преобразования кинетической энергии потока в диссипацию, получаем выражение граничного условия стенки для модели

. (1.37)

Учитывая также, что на стенке вектор потока для импульса эквивалентен напряжению сдвига, получаем

. (1.38)

Подставляя в полученное уравнение выражение для скорости скольжения, получаем граничные условия для и в следующем виде

, (1.39)

. (1.40)

Несмотря на кажущуюся простоту, полученные граничные условия не позволяют сразу вычислить значения и на стенке канала, ввиду того, что величина скорости скольжения – , зависящая от напряжения сдвига на стенке канала – , неизвестна до проведения расчета, так как определяется его результатами в виде следующей зависимости

, (1.41)

где – скорость течения жидкости вдоль стенки канала.

Данное обстоятельство накладывает ограничение на вид граничных условий, которые преобразуются в вырожденную форму (weak form) с целью введения в расчет тангенциального множителя Лангранжа – , с физической точки зрения соответствующего . Поскольку для вычисления существуют надежные математические методы, его введением обеспечивается функционирование рассмотренной функции стенки.

Кроме того, заранее неизвестна толщина граничного слоя, характеризующаяся переменной , значение которой, тем не менее, должно быть задано до проведения расчета. На практике задается начальное приближение границы пристенного слоя, которое выбирается исходя из его попадания в диапазон , определенный эмпирически для случая сплошного граничного слоя.

Таким образом, решение задачи расчета турбулентного течения с использованием полуэмпирической модели опирается на ряд рекурсивных процедур, что предопределяет итеративный характер расчета, когда сначала при установленных начальных приближениях прямыми методами решается уравнение движения, т.е. находятся фазовые переменные u, v и p, затем решаются уравнения для и , на основе чего корректируются начальные приближения. Данная последовательность циклически повторяется до тех пор, пока изменение значений фазовых переменных в двух соседних петлях цикла не станет меньше предустановленного значения погрешности вычислений.