Практическое занятие 4.

Интегрирование по частям

Пример 1. Найти интеграл I1 = x sin 2xdx

Решение. Применим формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле

ud u du. (*)

Положим u=x, dυ=sin2xdx, откуда du=(x)\dx=dx,

υ= sin 2xdx 12 sin 2xd (2x) 12 cos 2x .

По формуле (*) получаем: I1= x sin 2xdx =

12 x cos 2x 12 cos 2xdx 12 x cos 2x 14 cos 2xd (2x) 12 x cos 2x 14 sin 2x c

=c 12 x cos 2x 14 sin 2x .

33

Пример 3. Найти интеграл

I3= arcsin xdx

x 1

Решение. Применим метод интегрирования по частям.

34

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

I. Вычислим интеграл от рациональной функции вида

Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки tg 2x t сводится к ин-

тегралу от рациональной алгебраической функции. Выразим Sin x и Cos x через

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида (I), поэтому её называют универсальной, однако на практике эта подстановка часто проводит к громоздким вычислениям, поэтому наряду с универсальной подстановкой, нужно знать и другие

35

Рассмотрим три случая:

а) m и n неотрицательные и по крайне мере одно из них является нечёт-

б) m и n неотрицательные чётные, m 2 p, n 2q.

В этом случае используются тригонометрические формулы понижения

36

Возведя в степень и раскрыв скобки, получим члены, содержащие Cos2x в чётных и нечётных степенях. Члены с нечётными степенями интегрируются, как указано в случае а, чётные показатели снова понижаются по тем же формулам. Продолжая таким образом, дойдём до вычисления интеграла вида Сos k xdx , который вычисляется методом введения под знак дифференциала.

в) Если m и n – чётные, причём хотя бы один из них отрицательный. В этом случае используют подстановку tgx t (или ctg x t ).

IV. Cos mx Cos n xdx

Cos mx Sin n xdx

Sin mx Sin n xdx

Используются формулы преобразования тригонометрических функций в

Sin m x Sin n x 12 Cos m n x Cos m n x ,

Cos m x Sin n x 12 Sin m n x Sin m n x .

Пример. Cos3xCos2xdx 12 Cosx Cos5x dx 12 Sinx 101 Sin5x С.

§2. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

спомощью тригонометрических подстановок

Спомощью тригонометрических подстановок интегралы от некоторых иррациональных функций приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций

37

§3. Понятие об интегралах, не берущихся

вэлементарных функциях

Как мы видим, в дифференциальном исчислении, производная от любой элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию, – интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Так, например, хотя по теореме существования для функций:

существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисления значений таких функций.

38