- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
- •§ 1. Понятие неопределённого интеграла
- •§ 2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •§ 3. Таблица основных интегралов
- •2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •§ 3. Интегрирование по частям
- •Практическое занятие 1.
- •§ 1. Некоторые сведения о многочленах
- •§ 2. Рациональные дроби
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Метод неопределённых коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование рациональных дробей
- •Практическое занятие 2.
- •Практическое занятие 3.
- •Практическое занятие 4.
- •Практическое занятие 5.
- •Практическое занятие 6.
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОТВЕТЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение отметим, что рассмотренные методы и приёмы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определённые навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике
врезультате решения большого числа примеров.
Сфилософской точки зрения две изучаемые новые операции дифференцирования и интегрирования являются иллюстрацией основного закона диалектики, который формулируется как «единство и борьба противоположностей». Действительно, дифференциал и интеграл – противоположности, встретившись, они уничтожают друг друга, но существовать друг без друга не могут.
Ф. Энгельс в «Диалектике природы» приводит пример иллюстрации закона диалектики «отрицание отрицания», который формулируется как «…переменная величина x после дифференцирования равна dx, если же её проинтегрировать, то получим уже семейство функций х+с».
Таким образом, получаем не исходную переменную, а новое её качество – семейство интегральных кривых.
56
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Использованная литература
1.Букин, К. А. Руководство для студентов по курсу « Математика для экономистов»: материалы МИЭФ / К. А. Букин. – Москва, 2010.
2.Малахов, А. Н. Высшая математика / А. Н. Малахов, Н. И. Максюков, В. А. Никишкин. – М.: ЕАОИ, 2008.
3.Лунгу, К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач: в 2 ч. / К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров. – М.: Физматлит. – Ч. 1 (2-е изд., перераб. и
доп), 2010; Ч. 2, 2007.
4.Зубков, В. Г. Курс высшей математики: учеб. пособиедля студентов заочной (дистанционной) формы обучения. Т. 1–2 / В. Г. Зубков, В. А. Ляховский, А. И. Мартыненко, В. Б. Миносцев. – М.: МИИР, – Т. 1, 2007; Т. 2, 2005.
5.Математика / под ред. Л. Н. Журбенко, Г. А. Никоновой. – М.: Инфра-М, 2009.
6.Журбенко, Л. Н. Математика в примерах и задачах / Л. Н. Журбенко, Г. А. Никонова и др. – М.: Инфра-М, 2009.
Рекомендуемая литература
1.Баврин, И. И.Высшая математика; учеб. для студентов вузов / И. И. Бав-
рин. – М.: Академия, 2010. – 616 с.
2.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие / Г. Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2003. – 432 с.
3.Буцык, С. В. Математика для гуманитариев: учеб.-метод. пособие / С. В. Буцык; Челяб. гос. акад. культуры и искусств, каф. информатики. – Челябинск, 2011. – 92 с.
4.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: С решениями: учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ОНИКС 21 век; Мир и образование. – Ч. 1, 2003. – 304 с.
5.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: С решениями: учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ОНИКС 21 век; Мир и образование. – Ч. 2, 2003. – 416 с.
6.Хорошилова, Е. В. Математический анализ. Неопределенный интеграл (в помощь практическим занятиям) / Е. В. Хорошилова. – М.: ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2007.
7.Берман, Г. Н. Решебник к сборнику задач по математическому анализу / Г. Н. Берман. – М.: Лань, 2008.
8.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный и др. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.
57
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|||
1 вариант |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ln| √4 |
| |
|||||||
1) |
√ |
|
|
√ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
ln| |
| |
|
|
|
|
|
||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)–
6)cos2
7) |
|
8 |
3 |
|
|
|
|
, |
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8) |
sin4 |
116sin4 |
|
|
sin4 |
|
|
cos4 |
|
cos4 |
|
cos4 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4cos4 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9)ln
10) |
|
√ |
|
|
√ |
2 |
|
3 |
|
= |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= –3 |
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
1 |
|
1 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13)x+ln
14)2arcsin
2 вариант |
|
|
|
|
ln| | |
||||
1) |
,, |
6 |
|
|
6√ |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|||||||||
2) |
sin |
|
cos |
|
|||||
3) |
|
ln| |
1| |
|
|
||||
4) |
|
|
|
||||||
|
|
|
5)–
58
6)–
7)–
8)–
10) |
2 |
|
|
|
|
|
ln|1 4 |
| |
|
|||||||
9) |
xarctg2x – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11) |
|
|
√ |
|
2 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12) |
|
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x +ln5| |
|
25| |
||||||||||||||
13) |
1 |
|
|
|||||||||||||
14) |
ln |
ln| |
3| |
|
|
|
|
sin |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 вариант |
√25 |
4 |
1) 3ln |
2)–
3)+C
4)–
5)–
6)1
7)
8) – |
|
cos6 |
|
sin6 |
|
|
9)
10)ln
11) |
1 |
16 |
ln |
1 |
1 |
16 |
12)– x – ln
13)–
14)–
4 вариант
1) 2√ 3√ 6√ √
2) 2x+
59
3) |
ln |
2 | |
|
||||||||
5) |
–ln| |
|
|||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
– |
11) |
|
12)ln
13)9ln| 5|
60