§ 3. Интегрирование по частям
Одной из причин сложности операции интегрирования является отсутствие формулы интегрирования произведения функций. Есть метод интегрирования произведения некоторых классов функций, который называется методом интегрирования по частям.
Выведем формулу интегрирования по частям.
Пусть u u x и |
v v x – две функции от x , имеющие непрерывные про- |
|
изводные. Из |
дифференциального исчисления |
известно, что |
d u V udV Vdu . |
|
|
Отсюда, интегрируя получаем: u v udv vdu |
|
|
или |
udv u vdu |
(2.2) |
В равенстве (2.2) произвольной постоянной мы не пишем, так как в правой части формулы остался неопределённый интеграл, содержащий произвольную постоянную.
Формула (2.2) называется формулой интегрирования по частям.
Пример. Найти x Cosxdx . |
|
|
|
|
|
|
Решение: xCosxdx |
u x, |
du dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
v |
Cos xdx Sin x C1 |
|
|
|
dv Cosxdx, |
|
|
|
|||
x Sinx C1 Sinx C1 dx x Sinx C1 x Cos x C1 x C x Sinx Cosx C.
заметим, что определяя функцию V по дифференциалу dV можно брать любую произвольную постоянную C1 , так как в конечный результат она не входит. Поэтому в дальнейшем удобно считать С1 0 .
Успех формулы интегрирования по частям зависит от умения правильно разбить подынтегральное выражение на множители u и dV . При этом, как правило, за u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается.
15
Иногда для получения окончательного результата нужно интегрирование по частям применять последовательно несколько раз.
Укажем некоторые часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида:
P x kx dx, |
P x akx dx, |
P x Sin kx dx, |
P x Cos kxdx, |
||||
где P x – многочлен, |
k – некоторое действительное число. |
||||||
Интегралы этих типов берутся по частям, если положить u P x . |
|||||||
II. Интегралы вида: |
|
|
|
|
|
||
P x n xdx, |
P x log a xdx, |
P x arc Sin x dx, |
P x arc Cos xdx, |
||||
|
|
P x arcctg xdx, |
P x arc ctg xdx, |
||||
где P x – многочлен.
Во всех этих случаях за u при интегрировании по частям применяют функцию, являющуюся множителем перед P x .
Практическое занятие 1.
Простейшие методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование разложением и введением под знак дифференциала
Пример 1. Найти интеграл
I1= |
x x3ex x2 |
dx |
|
x |
3 |
||
|
|
|
|
Решение. Произведя почленное деление числителя на знаменатель и применяя свойствo линейности неопределенного интеграла, получим:
I1= |
|
|
x x3ex x2 |
|
dx = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx x |
|
|
||
x |
3 |
|
x |
3 |
|
x |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 1 |
|
|
x |
dx |
|
|
e |
|
|
|
5 |
|
. |
x |
dx x |
2 dx e dx |
x |
|||
|
|
|
|
|
||
16
x 1
К первому интегралу применим формулу x dx 1 c,( 1) ,
ко второму – ex dx ex c ,
к третьему – |
|
dx |
ln |
|
x |
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I1= |
x 2 |
e x ln |
|
x |
|
c |
2 |
|
|
1 |
|
e x ln |
|
x |
|
c |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь через c обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся при интегрировании каждого слагаемого. Пример 2. Найти интеграл
I2= dx
(2x 3)5
Решение. Перенесём степень из знаменателя в числитель и запишем аргумент (2х – 3) сложной степенной функции под знаком дифференциала:
I2 = |
dx |
|
= (2x 3) 5 dx |
(2x 3) 5 d(2x 3) |
|
1 |
(2x 3)5 d(2x 3) . |
(2x 3) |
5 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
Здесь подынтегральное выражение разделено на 2, так как (2x – 3)'=2 и
d(2x – 3)=2dx, откуда dx d (2x 3) 2
Теперь используем свойство инвариантности неопределенного интеграла и
применим формулу |
x dx |
|
x 1 |
|
,( 1) |
относительно переменной ин- |
|||||||
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тегрирования (2x – 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I2 = |
dx |
|
= 1 (2x 3) 4 |
c c |
1 |
|
|
. |
|||||
(2x 3) |
|
|
|
||||||||||
5 |
8(2x 3) |
4 |
|||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
17
Пример 3. Найти интеграл
I3 = esin x cos xdx
Решение. Записав аргумент sinx сложной показательной функции под знаком дифференциала и разделив подынтегральное выражение на производную этого аргумента (sinx)'=cosx, применим свойство инвариантности неопределенного интеграла и формулу ex dx ex c относительно перемен-
ной интегрирования sinx, тогда получим
I3= esin x cos xdx esin x cos xd(sin x) |
esin x d(sin x) esin x c |
cos x |
|
Пример 4. Найти интеграл
I4 = |
5 |
arctgxdx |
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
Решение. Сложной степенной функции является 5 arctgx, поэтому записываем под знаком дифференциала arctgx. Далее используем свойство инвариантности неопределенного интеграла и формулу
x 1
x dx 1,( 1) , относительно переменной интегрирования arctgx:
I4= |
5 |
arctgxdx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
c 5 arctgx 5 |
arctgx c , |
так |
как |
||
(arctgx)5 d(arctgx) 5(arctgx)5 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
||
d (arctgx) |
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|
|||||
1 x2 |
|
|
|
|
||||||
18