Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ЭБС / 788034.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2024

Размер:

520.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Практическое занятие 2.

Интегрирование рациональных дробей

Пример 1. Найти интеграл I1= 3	x dx
3	x

Решение. Подынтегральной функцией является неправильная рациональ-

, выделим целую часть дроби, выполнив тождественные

ная дробь 3

преобразования:

3 x

x 3

(x 3) 6

x 3

3 x

x 3

Далее применим свойство линейности неопределенного интеграла, метод введения под знак дифференциала, табличные интегралы

dx x c, dxx x c

исвойство инвариантности неопределенного материала.

3 x

(

)dx

d (x 3)

6 ln

3 x

x 3

Пример 2. Найти интеграл I2=

Решение. Степень числителя выше степени знаменателя, т. е. под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь. Выделим целую часть дроби делением числителя на знаменатель:


_ x5+x4–8				X3–4x
_ x5+x4–8				X3–4x
	x5–4x
	x5–4x			X2+x+4
	_ x4+4x3–8			X2+x+4


		x4–4x2
		_4x3+4x2–8
		4x3–16x

			4x2+16x–8

Итак,

	x5 x4 8	x2	x 4	4x2 16x 8 x2 x 4 4			x2 4x 2	.
	x3 4x	x2	x 4	4x2 16x 8 x2 x 4 4				.
	x3 4x			x3 4x			x3 4x
Правильную рациональную дробь					x2 4x 2	представим в виде суммы
Правильную рациональную дробь					x3 4x	представим в виде суммы
					x3 4x

простейших рациональных дробей; для этого сначала разложим знаменатель на множители:

x3 4x x(x

x2 3 4x 2 x 4x

2 4) x(x 2)(x 2).

x2 4x 2

x(x 2)(x 2)

Знаменатель дроби имеет только действительные различные корни, значит правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших (элементарных) дробей со знаменателями х, (х–2), (х+2), т. е. в виде дробей первого типа:

x2 4x 2	=	A	B	C
		x	x 2	x	2
x(x 2)(x 2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов сначала выполним тождественные преобразования:

	x2 4x 2	=	A(x 2)(x 2) Bx(x 2)	Cx(x 2)	,
	x(x 2)(x 2)	=	x(x 2)(x 2)		,
	x(x 2)(x 2)		x(x 2)(x 2)
откуда имеем:
	x2 4x 2 =	A(x 2)( x 2) Bx(x 2) Cx( x 2) .

Воспользуемся условием тождественности многочленов и применим метод частных значений для нахождения коэффициентов A, B, C.

В качестве частных значений для х выберем корни знаменателя дроби: x=0, х=2, х=–2.

x=0		–2=–4А
x=0		–2=–4А
x=2		4+8–2=8В
x=–2		4–8–2=8С

Имеет систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С:

4 A 2

8 B 108C 6

Откуда находим А= 12 , В= 54 , С=- 34 .

Таким образом, имеем	x2 4x 2	=	1	1	5	1	3	1
	x(x 2)(x 2)		2	х	4	х 2	4	х 2

Теперь найдем данный неопределенный интеграл, применив свойство линейности неопределенного интеграла, табличные интегралы

х dx	x 1	c, dx	ln	x	c


	1	x

и свойство инвариантности неопределенного интеграла:

I2=

x5 x4 8

dx =

(x2 x 4 4(1

))dx

(x2 x 4 2

)dx

x 2

x2 dx xdx 4 dx 2 dx

4x 2ln

5ln

x 2

3ln

x 2

4x ln

x2 (x 2)5

(x 2)3

Практическое занятие 3.

Интегрирование методом замены переменной

Пример 1. Найти интеграл I1=		x 1		dx
	x	x	2

Решение. Введем новую переменную t по формуле t= x 2 , откуда най-

дем t2=x-2, х=t2+2 и dx=(t2+2)'dt=2tdt

Преобразуем подынтегральное выражение через новую переменную t:

I1=	x 1	dx =	((t 2	2) 1)2t			dt 2	t 2 3			dt
	x x 2				2
			(t			2)t		t	2	2

Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, выделим из нее целую часть, применив тождественные преобразования:

t 2 3	t 2 2 1	t 2	2	1	1		1	.
t 2 2	t 2 2		2	t 2 2		t 2	2
		t 2

Для дальнейшего нахождения интеграла применим свойство линейности,

табличные интегралы dx x c ,

1 arctg

c : I1=

x 1

2 (1

)dt 2( dt

) 2(t

)

2(t

arctg

) c

( 2)

2(t

arctg

t 2

) c 2t

2arctg

Вернемся

первоначальной

переменной

интегрирования

х,

заменив

t= х 2 :

I1=		x 1		dx = 2	х 2 2arctg	2(х 2)	c .
	x	x	2
						2

Пример 2. Найти интеграл I2=		e	2 x		dx

	4	e		x	1

Решение. Введем новую переменную t по формуле t= 4 ex 1 , откуда най-

дем t4= ex 1,	ex t4 1; x ln(t 4 1),	dx (ln(t 4 1))\| dt	4t 3		dt
			t 4	1

Выразим подынтегральное выражение через новую переменную t:

e2 x dx

I2= ex 1 =

(t 4

1)2 4t 3 dt

1)t

4 (t

)dt 4( t

dt t

dt) 4(

t 7

t 3

) c

Вернемся к первоначальной

переменной

интегрирования x,

заменив

t= 4

1 :

I2=4

(t 7

t 3 ) c

4(1 4

(ex

1)7

1 4

(ex

1)3

4 (ex

1)3 (3ex

4) c

Пример 3. Найти интеграл I3=

4x 3

(x 2)

Решение. Введем новую переменную t по формуле t = x – 2, откуда найдем x=t+2, dx=(t+2)' dt=dt. Выразим подынтегральное выражение через новую

переменную t: I3=	4x 3			4(t 2) 3		dt	4t 11
					3			3	dt
	(x	2)	3	t			t

Найдем интеграл по новой переменной t, разделив почленно числитель на знаменатель, а затем применив свойство линейности неопределенного ин-

x 1

теграла и формулу x dx 1 c :

I3=

4t 11

4 11

t 2

4 11

dt (

)dt 4 t

dt 11 t

dt 4t

c t

t 2

2t 2

Вернемся к первоначальной переменной интегрирования х, заменив t=x–2.

I3=	4	11	c c	4	11
	t	2t 2		x 2	2(x 2)2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ЭБС

#
05.02.2024627.76 Кб43787977.pdf
#
05.02.2024530.68 Кб42788022.pdf
#
05.02.2024535.92 Кб43788023.pdf
#
05.02.2024533.64 Кб42788025.pdf
#
05.02.2024629.19 Кб42788029.pdf
#
05.02.2024520.98 Кб42788034.pdf
#
05.02.2024527.76 Кб42788038.pdf
#
05.02.2024506.15 Кб44788043.pdf
#
05.02.2024461.79 Кб42788047.pdf
#
05.02.2024524 Кб42788048.pdf
#
05.02.2024633.75 Кб42788062.pdf