1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Интегрирование является действием, обратным дифференцированию, и представляет собой многозначную операцию. Все формулы, свойства и теоремы по неопределённому интегралу доказываются одним и тем же методом: дифференцированием обеих частей равенств, что подчёркивает взаимообратность операций интегрирования и дифференцирования.

Интегрирование намного сложнее дифференцирования. Если дифференцирование функций производится по раз и навсегда установленным правилам и формулам, то при интегрировании очень часто требуется индивидуальный подход к функции и не всегда интеграл может быть найден. Интегрирование требует от вычислителя не только знаний основных методов и формул, но и определённых навыков.

Если данный интеграл не является табличным, и тождественные алгебраические или тригонометрические преобразования с помощью свойств интеграла не приводят к таковому, то для его решения следует подобрать метод интегрирования. Целью применения методов интегрирования является сведение данного интеграла к табличному или уже известному.

Занимаясь дифференцированием функций, мы ставим перед собой задачу: по данной функции найти её производную. Теперь перейдём к изучению обратной задачи: найти функцию, зная её производную.

§ 1. Понятие неопределённого интеграла

Во многих вопросах науки и техники приходится восстанавливать функцию по известной её производной.

При дифференцировании мы рассматривали такую задачу: дана функция F x ; требуется найти её производную, т. е. функцию Например, предполагая известным изменения пути с течением времени

5

S f t , мы путём дифференцирования нашли сначала скорость V dSdt , а

затем и ускорение a dVdt .

Очень часто приходится решать обратную задачу: дана функция

Например, ускорение a задано как функция от времени t :a a t , требуется определить скорость V и пройденный путь S в зависимости от t. Таким образом, здесь необходимо по функции a a t восстановить ту функцию V V t , для которой a является производной, а затем, зная функцию V , найти ту функцию S S t , для которой производная будет V .

Задача отыскания функции по заданной производной этой функции решается, например, в инерциальных системах счисления пути самолёта. В них с помощью акселерометров определяются ускорения движения самолёта. По ускорениям вычисляются скорости, а по скоростям – пройденный самолётом путь с указанием его текущих координат.

Легко видеть, что если для данной функции существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так в примере 1 можно было взять в качестве первообразных следующие функции:

6

F x С , где С const .

Доказательство

В силу определения первообразной имеем F x f x . Пусть Ф x – другая первообразная для f x , т. е. Ф x f x .

Обозначим x F x Ф x , отсюда x F x Ф x f x f x 0 . Разность производных двух функций равна нулю. Это значит, что

разность этих функций – величина постоянная, т. е. F x Ф x С , отсюда

Ф x F x С .

Итак, если функция f x имеет первообразную F x , то она имеет их бесконечное множество F x С , где С const .

F x С называют семейством первообразных для функции f x . Определение 2. Совокупность всех первообразных F x С для функ-

ции f x на некотором интервале называется неопределённым интегралом от функции f x на этом интервале и обозначается f x dx F x С,

где ∫ – знак интеграла;

f x dx – подынтегральное выражение; f x – подынтегральная функция.

Определение 3. Отыскание всех первообразных для данной функции или одной из них называется интегрированием.

7

Пример 2. Найти неопределённый интеграл Cos x dx .

Cos x dx Sin x С, проверим Sin x С Cos x .

Замечание. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет совокупность (семейство) интегральных кривых.

Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции f x существуют первообразные, а значит и неопределённый интеграл?

На этот вопрос отвечает теорема существования неопределённого интеграла, которую мы примем без доказательства.

Теорема 2. Если функция f x непрерывна на некотором интервале, то для неё на этом интервале существует первообразная, т. е. неопределённый интеграл.

§2. Основные свойства неопределённого интеграла

1.Производная от неопределённого интеграла равна подынтеграль-

2.Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т. е. d f x dx f x dx .

3.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции, плюс произвольная постоянная

d F x F x С .

Справедливость последующего равенства легко проверить дифференцированием: дифференциалы от обеих частей равенства равны d F x .

Замечание. Из свойств 2 и 3 следует, что знаки d и ∫, стоящие рядом, взаимно уничтожаются. В этом проявляется диалектический закон единства и борьбы противоположностей.

8