Теорема. Правильную рациональную дробь P x / Q x ,

где Q x x a k x b x2 px q m , можно единственным образом разло-

где Ai , Bi , Mi, Ni – действительные числа i 1, 2, ... .

Из формулы (3.3) видно, что линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби I и II типа, а квадратичным множи-

телям – простейшие дроби III и IV типа.

Таким образом, если научимся интегрировать простейшие дроби и разлагать правильную рациональную дробь на сумму простейших, то задача интегрирования рациональных дробей будет решена.

§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование простейших дробей I и II типов не представляет труда. В самом деле:

комендуется придерживаться следующей схемы:

1.Найти производную квадратного трёхчлена и записать её в числителе.

2.Произвести тождественные преобразования в числителе.

3.Интеграл разбить на два интеграла и свести их к табличным.

23

§ 4. Метод неопределённых коэффициентов

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда корни знаменателя действительные и различные, т. е. рассмотрим правильную дробь:

Pn x Pn x .

Qm x x a x b ... x d

Данную дробь можно разложить на простейшие дроби I типа следующим образом:

лены. Их можно определить следующим образом. Равенство (*) есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественно равные многочлены в числителях дробей слева и справа.

Многочлены, получившиеся в левой и правой частях равенства после приведения к общему знаменателю, должны быть тождественно равны при любых частных значениях x .

Придавая x частные значения, получим систему уравнений для определения коэффициентов. Этот метод нахождения коэффициентов назы-

вается методом частных значений.

24

x2 3 A x 2 x 3 Bx x 3 Cx x 2

Отметим, что неизвестные коэффициенты простейших дробей можно найти и методом сравнения коэффициентов, который состоит в следующем:

1.В равенстве (*) дроби приводят к общему знаменателю.

2.Приравнивают числители дробей слева и справа, раскрывают скобки и записывают многочлен в правой части по убывающим степеням х.

3.Приравнивая друг другу коэффициенты многочленов левой и правой части при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения коэффициентов.

§ 5. Интегрирование рациональных дробей

Всё вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.

1. Если рациональная дробь неправильна, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной дроби.

2.Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.

3.Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

25

§ 6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе дроби

При интегрировании выражений, содержащих квадратный трёхчлен, рассмотрим такие виды интегралов:

Чтобы вычислить интегралы вида I и III, нужно выделить полный квадрат в знаменателе и свести их к табличным.

26

Для вычисления интегралов вида II и IV рекомендуется следующая схема:

1.Найти производную квадратного трёхчлена и записать её в числителе.

2.Произвести тождественные преобразования в числителе.

3.Интеграл разбить на два интеграла и свести их к табличным.

Пример.

27