Математика и информатика
.pdf
f (x) 2x3 .
Задача 2
Вычислить дифференциал функции: y ln sin 
x .
Задача 3
Вычислить приближенно:
101.
Задача 4
Построить график касательной к графику функции y = 4x – x2 в точках пересечения с осью OX.
Тема 6. Исследование функций
Задача 1
Используя систему компьютерной математики MathCAD, исследовать функцию y(x) 2x2 ln x на возрастание и убывание. Построить график функции.
Задача 2
Используя систему компьютерной математики MathCAD,
исследовать функцию |
y(x) |
1 |
x3 (x2 5) на |
максимум и минимум. |
||||
6 |
||||||||
Построить график функции. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя систему |
компьютерной математики |
MathCAD, найти |
||||||
наибольшее и наименьшее значения функции |
y(x) |
x 1 |
на отрезке |
|||||
ex |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
> 1;1@. Построить график функции.
Задача 4
Используя систему компьютерной математики MathCAD, исследовать точки перегиба, выпуклость и вогнутость функции
y(x) 4x3 2x4 . Построить график функции.
Задача 5
Используя систему компьютерной математики MathCAD, построить график и наклонную асимптоту к графику функции y(x) arctgx x .
Тема 7. Неопределенный интеграл
Задача 1
Вычислить неопределенные интегралы:
81
а) ³ 1 x6 dx ,
б) ³cos 3x 5 dx , в) ³ 2x 1 2 dx ,
|
г) ³ |
1 x2 |
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ³xexdx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
е) ³x cos(x)dx . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 8. Определенный интеграл |
|
|
|
|
Задача 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вычислить аналитически: |
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а) ³ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos(x) |
udx , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
б) ³ |
|
sin |
2 |
(x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
в) ³xe x2 |
udx . |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 – 6 и y = –x2 + |
||||||||||||||||
5x – 6. Построить графики функций. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Построить график и вычислить длину дуги кривой y |
ln sin x от |
|||||||||||||||
x |
|
S |
до x |
2 |
|
|
2S |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Построить графики функций y = –x + 2 и y = 2x – x2. |
|
|
|
|||||||||||||
|
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ |
||||||||||||||||
фигуры, ограниченной графиками этих функций. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 9. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
||
|
Задача 1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||
|
Найти общее решение дифференциального уравнения yc |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
82
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти общее решение дифференциального уравнения yc 3y |
e2x . |
||||||||||||||
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
Найти частное решение дифференциального уравнения xyc |
|||||||||||||||
ln x |
|||||||||||||||
для x0 e и y0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Тема 10. Элементы линейной алгебры |
|
||||||||||||
Задача 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
§1 0 3· |
§3 |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для A |
¨ |
1 |
¸ |
найти A B . |
|
|
|
|
|||||||
¨ |
¸ и B |
¨ |
¸ |
|
|
|
|
||||||||
|
¨ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
©2 |
2 1¹ |
¨ |
2 |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1 |
3 |
2· |
|
|||
Вычислить определитель матрицы A |
¨ |
2 |
1 |
5 |
¸ |
|
|||||||||
¨ |
¸. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
1 |
0 |
1 |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
¹ |
|
||||
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
§1 |
|
3 |
0 |
2 · |
|
|
|
|
|
|||
Найти ранг матрицы A |
¨ |
0 |
|
1 |
1 |
2 |
¸ |
|
|
|
|
|
|||
¨ |
|
¸. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¨ |
|
|
6 |
0 |
4 |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©2 |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|||||
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
§1 |
3 |
2 |
· |
|
Найти обратную матрицу A 1 для матрицы A |
¨ |
2 |
1 |
5 |
¸ |
¨ |
¸. |
||||
|
¨ |
1 |
0 |
1 |
¸ |
|
© |
¹ |
|||
Тема 11. Системы линейных уравнений
Задача 1
Найти решение системы уравнений методом Гаусса:
83
2x |
4x |
2 |
3x |
3 |
1 |
|
° |
1 |
|
|
|
||
®x1 |
2x2 4x3 |
|
3 |
|||
° |
|
x2 5x3 |
2 |
|
||
¯3x1 |
|
|||||
Задача 2
Найти решение системы уравнений методом Крамера:
x |
2x |
2 |
3x |
3 |
5 |
||
° |
1 |
|
|
|
|
||
®2x1 x2 x3 |
|
1 |
|||||
°x |
3x |
2 |
4x |
3 |
|
6 |
|
¯ |
1 |
|
|
|
|
||
Задача 3
Найти решение системы уравнений методом обратной матрицы:
x |
2x |
2 |
x |
3 |
2 |
° 1 |
|
|
|
||
®2x1 3x2 2x3 2 |
|||||
° |
|
|
|
|
8 |
¯3x1 x2 x3 |
|
||||
Тема 12. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события
Задача 1
Проводится испытание — два выстрела по мишени. Рассматриваются события:
А1 — ни одного попадания; А2 — одно попадание; А3 — два попадания.
Верно ли, что события А1, А2 и А3 образуют полную группу событий?
Задача 2
В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался черным. После этого из урны берут еще один шар.
Найти вероятность того, что этот шар тоже будет черным.
Задача 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, н, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны.
Найти вероятность того, что на трех, вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «сон».
Задача 4
В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Деталь оказалась
84
стандартной. Найти вероятность того, что изначально в ящике была 1 стандартная деталь.
Все возможные гипотезы о первоначальном числе стандартных деталей в ящике равновероятны.
Тема 13. Случайные величины
Задача 1
Может ли таблица
задавать закон распределения дискретной случайной величины?
Задача 2
Укажите график плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону.
85
Задача 3
Определите дисперсию случайной величины, заданной законом распределения:
Задача 4
Случайная величина задана функцией распределения
|
0 |
|
ɩɪɢ x d 2 |
||
|
° |
|
|
|
|
F(x) |
°x |
1 |
ɩɪɢ 2 x d 4 . |
||
® |
|
||||
2 |
|||||
|
° |
|
ɩɪɢ x ! 4 |
||
|
°1 |
|
|||
|
¯ |
|
|
|
|
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (2, 3).
Тема 14. Основы математической статистики
Задача 1
Дана выборка из генеральной совокупности
^2,3,7,2,8,5,4,8,7,4,9,5,11,4,6`.
Определить объем и размах выборки.
Задача 2
Для выборки, представленной статистическим рядом:
вычислить значение исправленной выборочной дисперсии.
Задача 3
Для двух заданных выборок проверить статистическую гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Тема 15. Прикладные программы пакета MS Office Практическая работа 1.
Создание документа со списком
1.Создать небольшой текстовый документ посредством ввода с клавиатуры с использованием средств автоматизации ввода текстового редактора (автозамена и автозавершение).
2.Отформатировать документ: установить параметры страницы; задать шрифтовое оформление; отформатировать абзацы; вставить колонтитулы и номера страниц.
3.Вставить в документ графические объекты.
4.Создать и отформатировать список.
86
У Т В Е Р Ж Д Е Н Постановлением Правительства Москвы
от 13 марта 2001 г. № 243–ПП
СОСТАВ Межведомственной комиссии
при Правительстве Москвы по вопросам реализации жилой площади
на коммерческой основе, построенной по городскому заказу
|
Председатель комиссии |
Омельченко С.Д. |
— заместитель руководителя Департамента |
|
градостроительной политики, развития и |
|
реконструкции города Москвы |
Заместители председателя комиссии
Волков С.С. — заместитель руководителя Департамента градостроительной политики, развития и реконструкции города Москвы
Забралов С.Н. — заместитель начальника Правового управления Правительства Москвы
|
Секретарь комиссии |
|
Сырина Е.Ю. |
— начальник Управления по реализации целе- |
|
|
|
вого заказа в строительстве |
|
|
Члены комиссии |
Демин А.С. |
— |
заместитель руководителя Департамента |
|
|
экономической политики и развития города |
|
|
Москвы |
Дридзе Е.Б. |
— начальник Финансового управления Кон- |
|
|
|
трольного комитета города Москвы |
Дорош В.М. |
— |
заместитель руководителя Департамента |
|
|
жилищной политики и жилищного фонда |
|
|
города Москвы |
87
Практическая работа 2 Создание документа с таблицей
1.Создать документ из готовых текстовых фрагментов, сохраненных в других файлах.
2.Отформатировать документ: установить параметры страницы; задать шрифтовое оформление; отформатировать абзацы; вставить колонтитулы и номера страниц.
3.Создание в документе таблицы, ее форматирование и заполнение данными. Расчет показателей.
|
Кол-во преступлений (в тыс.) |
Всего |
||
Год |
Грабеж |
Разбой |
Кража |
(в |
|
тыс.) |
|||
|
|
|
|
|
2001 |
142,5 |
44,5 |
1270,4 |
|
2002 |
167,3 |
47,0 |
926,8 |
|
2003 |
198,0 |
48,7 |
1150,7 |
|
2004 |
251,0 |
55,4 |
1276,9 |
|
2005 |
344,0 |
63,7 |
1573,0 |
|
2006 |
394,5 |
65,6 |
1600,1 |
|
2007 |
400,7 |
69,1 |
1602,3 |
|
Итого |
|
|
|
|
Практическая работа 3 Создание документа с использованием шаблонов и стилей
1.На основе готового шаблона подготовить сложный документ, состоящий из глав, параграфов, пунктов, используя готовый текстовый файл.
2.Создать стили Заголовок 1, Заголовок 2, Заголовок 3 для заголовков трех уровней — глав, параграфов, пунктов.
3.Оформить заголовки 1-го, 2-го, 3-го уровней, используя стили Заголовок 1, Заголовок 2, Заголовок 3 соответственно.
4.Вставить в верхний колонтитул Фамилию И.О. автора (слева) и номер страницы (справа).
5.Вставить в конце документа на отдельной странице оглавление.
Практическая работа 4 Индекс сезонной преступности
Большинству юридически значимых явлений свойственны сезонные колебания. Наиболее простой метод выявления и измерения сезонных колебаний — это сопоставление месячных данных со средним уровнем за год. Это отношение уровней, выраженное в процентах, именуется индексом сезонности и рассчитывается по формуле:
88
ИС =Ум/ Уср 100%,
где ИС — индекс сезонности, Ум — уровень по месяцам, Уср — средний уровень за год.
1. Создать таблицу, содержащую данные помесячной динамики преступности в России.
Месяц |
Уровень преступности |
Индекс сезонности |
|
(Ум) |
(ИС) |
||
|
|||
январь |
202013 |
|
|
февраль |
231917 |
|
|
март |
236772 |
|
|
апрель |
217325 |
|
|
май |
216308 |
|
|
июнь |
224342 |
|
|
июль |
210395 |
|
|
август |
214087 |
|
|
сентябрь |
227999 |
|
|
октябрь |
232266 |
|
|
ноябрь |
206925 |
|
|
декабрь |
204732 |
|
|
Уср |
|
|
2.Рассчитать средний уровень преступности за год (Уср).
3.Определить индекс сезонности (ИС) для каждого месяца по предложенной выше формуле.
4.Вывести только те записи, уровень преступности в которых превышает средний уровень преступности за год.
5.Построить гистограмму, отражающую динамику индекса сезонности по месяцам, расположив ее на отдельном листе с именем «Динамика ИС».
Практическая работа 5 Изучение возрастной преступной активности
Выявление закономерности является задачей статистической обработки социально-правовых данных. Основными показателями анализа статистических данных являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание характеризует среднее взвешенное значение данных, вычисляемое по формуле:
89
|
|
ª |
|
º |
|
|
n |
« |
fi |
» |
|
x |
¦«xi |
» |
|||
n |
|||||
|
i 1 |
«« |
¦ fi »» |
||
|
|
¬ |
i 1 |
¼ |
|
Дисперсия характеризует отклонение данных от среднего значения и вычисляется по формуле:
|
|
|
|
ª |
|
|
|
|
º |
|
|
|
|
n « |
|
fi |
» |
||
|
|
|
V 2 |
¦«(xi x)2 |
|
» |
|||
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
i 1 « |
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
« |
|
¦ fi » |
|||
|
|
|
|
¬ |
|
|
i 1 |
¼ |
|
|
1. Создать таблицу, содержащую данные о возрастной преступной |
||||||||
активности: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ |
Возраст лиц, |
|
Процент |
|
|
|
Средний возраст в |
|
|
лет |
преступлений (fi) |
|
|
|
группе (xi) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
14–15 |
|
3 |
|
|
|
|
14,5 |
|
2 |
16–20 |
|
11 |
|
|
|
|
18,0 |
|
3 |
21–25 |
|
22 |
|
|
|
|
23,0 |
|
4 |
26–30 |
|
26 |
|
|
|
|
28,0 |
|
5 |
31–35 |
|
19 |
|
|
|
|
33,0 |
|
6 |
36–40 |
|
10 |
|
|
|
|
38,0 |
|
7 |
41–45 |
|
5 |
|
|
|
|
43,0 |
|
8 |
46–50 |
|
3 |
|
|
|
|
48,0 |
|
9 |
51–60 |
|
1 |
|
|
|
|
55,5 |
|
|
Среднее взвешенное( |
|
) |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
Дисперсия(V 2) |
|
|
|||
2.Рассчитать основные статистические параметры: среднее взвешенное и дисперсию.
3.Построить график распределения процентов преступлений по возрастным группам, поместив его на лист «Распределение».
Практическая работа 6 Создание базы данных «АБИТУРИЕНТ»
1. Разработать информационную структуру базы данных «АБИТУРИЕНТ», которая содержит следующие сведения об абитуриентах:
а) анкетные сведения:
—регистрационный номер (шифр);
—фамилию, имя, отчество;
—Год рождения;
90