Математика и информатика

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f(x) < f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек ее области определения, где производная функции равна нулю или не существует. Если fc(x0) = 0, это еще не значит, что в точке x0 есть экстремум. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Достаточное условие экстремума: если fc(x) < 0 на (a; x0) и fc(x) > 0 на (x0; b), то точка x0 — точка минимума функции f(x); если

fc(x) > 0 на (a; x0) и fc(x) < 0 на (x0; b), то точка x0 — точка максимума функции f(x).

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a; b). Если на промежутке (a; b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке.

Если на промежутке (a; b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке.

Изучение темы 6 позволяет студентам самостоятельно выполнять математический анализ типовых и экспериментальных функциональных зависимостей.

Тема 7. Неопределенный интеграл

Цель темы — изучить основные понятия интегрального исчисления, получить устойчивые практические навыки применения этих методов интегрирования с применением математической компьютерной системы MathCAD.

Изучаемые понятия обеспечивают решение важных прикладных задач, в том числе в деятельности судебных экспертов.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

51

Первообразные определены с точностью до константы: если функция

Fc(x) f (x) .

Изучение темы 7 обеспечивает формирование у студентов знаний, достаточных для овладения методами интегрального исчисления.

Тема 8. Определенный интеграл

Цель темы — изучить особенности интегрального исчисления на примере типовых прикладных задач с применением математической компьютерной системы MathCAD.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности, связанные с понятием определенного интеграла и основных теоретических положений, связанных с этим понятием.

Пусть на промежутке a, b задана функция f (x) и на промежутке

a, b заданы произвольные числа x1, x2 , x3 , , xn 1, удовлетворяющие условию:

a < x1 < x2 < < xn-1 < b.

Эти числа разбивают промежуток a, b на n более мелких

i 1

функции f(x) по промежутку a, b .

Отметим, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает.

b

Тогда определенным интегралом I ³ f x dx от функции f x

a

по промежутку a, b называется предел, к которому стремится

52

первоначального разбиения промежутка a, b и выбора точек ci. Число

a называется нижним пределом интегрирования, а число b — верхним пределом интегрирования.

Изучение вопросов интегрального исчисления обеспечивает всестороннее рассмотрение задач математического анализа и их практических приложений.

Тема 9. Дифференциальные уравнения

Цель занятия — изучение методов и способов решения основных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого и второго порядка.

Следует уяснить, что изучение различных явлений или процессов приводит к уравнениям, в которые входят как неизвестные величины (искомые функции), так и скорости изменения этих величин (производные искомых функций). При этом получаются дифференциальные уравнения, то есть соотношения между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными.

В изучаемой теме целесообразно выделить понятие задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Если в обычном дифференциальном уравнении мы получаем семейство решений, то для задачи Коши находим единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Рекомендуется ознакомиться с основными типами обыкновенных дифференциальных уравнений (с разделяющимися переменными, однородными, линейными, в полных дифференциалах) и основными методами их решения.

Дальнейшее изучение темы рекомендуется посвятить изучению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Целесообразно разобрать частные случаи решения ОДУ 2-го порядка — сведение к дифференциальному уравнению первого порядка. Также рекомендуется изучить методы решения ОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (однородные). Закончить изучение темы рекомендуется приложением дифференциальных уравнений к решению задач.

Тема 10. Элементы линейной алгебры

Цель темы — изучить основные категории и методы матричного исчисления с применением математической компьютерной системы MathCAD.

53

Изучаемые понятия в рамках данной темы позволят студентам изучить методы решения линейных уравнений, решать оптимизационные практические задачи.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

Так, матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектором-строкой или векторомстолбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица размера m un, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m n , то матрицу называют квадратной порядка n . Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами. Если все элементы ai, j диагональной матрицы равны 1, то матрица называется

единичной и обозначается буквой Е.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование знаком «Т» наверху.

Матрицу A, можно умножить на матрицу B , то есть найти матрицу C A B , если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B , при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько

строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B .

n

Каждый элемент матрицы C определяется как cij ¦aikbkj .

k 1

Элемент ci, j матрицы-произведения C равен сумме произведений

элементов i-строки первой матрицы-сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы-сомножителя.

Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц A B , то произведение B A , вообще говоря, не определено.

Если A B и B A одновременно определены, то в общем случае эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно.

Изучение элементов матричного исчисления являются подготовкой студентов к овладению приемами и методами решения оптимизационных задач, в том числе в области экспертных исследований.

54

Тема 11. Системы линейных уравнений

Цель темы — изучить основные методы решения линейных уравнений, получить практические навыки решения практических задач матричного исчисления с применением математической компьютерной системы MathCAD.

Изучаемые методы в рамках данной темы позволят студентам самостоятельно решать задачи на основе методов решения линейных уравнений.

Выделим основные теоретические положения темы и отметим их особенности.

Так, решением системы вида

называют упорядоченный набор чисел x1, x2, , xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m = n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются

эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными. Преобразование, применение которого превращает систему в

новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным

или равносильным преобразованием.

Матрица системы называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

55

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса сводится к составлению матрицы коэффициентов квадратной системы, которая является квадратной матрицей, на базе которой формируется расширенная матрица, состоящая из m строк и n 1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений.

Дальнейшие преобразования расширенной матрицы сопровождаются последовательным вычитанием строк матрицы для получения треугольной матрицы. В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x1 исключена из всех

уравнений, кроме первого, а неизвестная x2 — из всех уравнений, кроме первого и второго, и т.д. Полученная матрица также

соответствует системе.

~

Таким образом, если матрица A является расширенной матрицей

некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B , являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю — нули, треугольной матрицей. Тогда матрица коэффициентов системы — треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Метод Крамера состоит в том, что последовательно определяется

которые получаются из определителя заменой i -го столбца столбцом

бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

56

Таким образом, в рамках изученной темы студенты приобретают навыки решения определенного класса линейных задач, ограниченных методами Гаусса и Крамера.

Тема 12. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события

В системе математических наук особое место принадлежит теории вероятностей. Эта наука изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями.

При изучении темы 12 студентам рекомендуется обратить внимание на случайную природу опытов, рассматриваемых в курсе: когда производится некоторый опыт (или «испытание»), исход его не может быть заранее предсказан, он «зависит от случая».

Таким образом, теория вероятностей позволяет специалистам в области судебных экспертиз измерять количественно степень «правдоподобия» (или вероятности) различных событий; сравнивать их между собой по вероятности, а главное — на основе оценки вероятностей предсказывать исходы случайных явлений. При этом следует обратить особое внимание на то, что предсказывать можно только те случайные события, которые обладают высокой степенью правдоподобия, или, как говорят, большей вероятностью. Определить, какие из событий принадлежат к категории весьма правдоподобных, как раз и позволяет «теория вероятностей».

Студентам рекомендуется при изучении этой темы обратить внимание на понятие «вероятность событий». При этом следует отметить, что не все случайные события одинаково вероятны, среди них бывают более и менее вероятные, а за единицу в теории вероятностей принято считать вероятность достоверного события. Достоверным называется такое событие, которое в данном опыте непременно произойдет. Например, «выпадение не более шести очков при бросании игральной кости» — достоверное событие. Вероятность достоверного события считается равной единице, а нулевую вероятность относят к невозможному событию, т.е. к такому, которое в данном опыте вовсе не может произойти (например «выпадение отрицательного числа очков при бросании игральной кости»).

При обозначении вероятности случайного события А важно соблюдать единое требование, согласно которому эта вероятность обозначается, как – P(A) . Вероятность случайного события всегда должна быть заключена между нулем и единицей: 0 d P(A) d1 . Это важное свойство вероятности.

В рамках изучения данной темы обучаемые должны уметь ответить на проблемный вопрос: а зачем, собственно, нужно уметь вычислять вероятности?

57

Само по себе достаточно важно уметь оценивать числами степени правдоподобия разных событий, сравнивать их между собой. Но конечная задача другая: пользуясь вычисленными вероятностями, предсказывать исходы опытов в области случайных явлений. Существуют такие опыты, где, несмотря на наличие случайности, исход оказывается предсказуемым. Если не точно — то приближенно. Если не с полной достоверностью — то с почти полной. С так называемой «практической достоверностью». К этому и сводится одна из важнейших задач теории вероятностей: выявлять особого рода события — практически достоверные и практически невозможные.

Событие А называется практически достоверным, если его

вероятность не в точности равна единице, но очень близка к единице:

P(A) |1.

Аналогично практически невозможным называется событие A , вероятность которого близка к нулю: P(A) | 0 .

При изучении темы студентам рекомендуется особое внимание обратить на условия появления случаев, которые могут быть отнесены в опыте к схеме случаев. Так, если события A1, A2, ..., Аn обладают тремя свойствами, т. е. несовместны, образуют полную группу и равновозможные, то они называются случаями, а этот опыт сводится к

схеме случаев.

Так, опыт «бросание монеты» сводится к схеме случаев, так как события: А1 — выпадение «герба»; A2 — выпадение «решки» несовместны, образуют полную группу и равновозможные.

Опыт «бросание игральной кости» тоже сводится к схеме случаев; в нем шесть несовместных, образующих полную группу и равновозможных исходов, которые можно перенумеровать по числу

выпавших очков так: A1, A2, A3, A4, A5, A6.

Для оценки своих знаний студентам предлагается ответить на вопрос: для всякого ли опыта можно построить группу случаев?

Так, если опыт состоит в бросании несимметричной (погнутой) монеты, то события «выпадение герба» и «выпадение решки» уже не будут случаями, так как они не равновозможные. Бросание неправильной монеты — опыт, который к схеме случаев не сводится. Чтобы опыт к этой схеме сводился, он должен обладать некоторой симметрией, обеспечивающей равную вероятность исходов. Эта симметрия иногда достигается за счет физической симметрии предметов, применяемых в опыте (монета, игральная кость), а иногда за счет перемешивания, «тасовки» элементов, обеспечивающей равновозможный выбор любого из них (урна с шарами, колода карт, барабан с лотерейными билетами и т. д.). Чаще всего такая симметрия наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения.

58

Основной вывод, который предлагается студентам сделать по изученному теоретическому материалу темы 12, сводится к следующему: если опыт — схема случаев, то вероятность любого события А в этом опыте может быть подсчитана как отношение числа случаев, благоприятных событию А, к общему числу случаев:

благоприятных событию А (обеспечивающих его появление). Рекомендуется при изучении темы подчеркнуть, что большинство

опытов со случайным исходом, с которыми приходится иметь дело на практике, не сводится к схеме случаев. В этой связи важно уметь правильно ответить на следующий проблемный вопрос: существуют ли вероятности событий для таких опытов?

Для ответа на эти вопросы студентам рекомендуется обратиться к другому понятию теории вероятностей — понятию частоты события. Для этого необходимо исследовать результаты опыта, который не сводится к схеме случаев, например бросание «неправильной», несимметричной игральной кости.

Заметим, что частоту события иначе называют его статистической

M A — число опытов, в которых появилось событие А.

Между частотой события и его вероятностью существует некоторая связь.

Более вероятные события, в общем, происходят чаще, чем маловероятные.

Студентам предлагается заметить, что понятия «частота» и «вероятность» отнюдь не тождественны. Сходство между частотой и вероятностью проявляется тем заметнее, чем большее число опытов произведено. При малом числе опытов частота события в значительной мере случайна, может существенно отличаться от вероятности. Например, при 10 бросаниях монеты ее герб вполне может выпасть 3 раза, при этом частота появления герба будет — 0,3, что сильно отличается от вероятности 0,5. Однако при увеличении числа опытов частота события постепенно «теряет» свой случайный характер. Случайные обстоятельства, сопровождающие каждый отдельный опыт, в массе опытов взаимно погашаются, и частота постепенно стабилизируется, приближаясь, с незначительными колебаниями, к некоторой средней, постоянной величине. Естественно, можно предположить, что эта постоянная величина и есть не что иное, как

вероятность события.

Проверить это утверждение возможно только для опытов, сводящихся к схеме случаев.

59

Вкачестве вывода студентам предлагается отметить, что главное содержание теории вероятностей составляют не прямые, а косвенные методы, позволяющие выражать вероятности одних событий через вероятности других, более простых.

Дальнейшее изучение темы 12 рекомендуется посвятить двум основным правилам теории вероятностей: правилам сложения и умножения вероятностей.

Вероятность того, что произойдет одно из двух несовместных событий (все равно, какое именно), равна сумме вероятностей этих событий.

Отметим, что правило сложения вероятностей легко обобщается на любое число событий.

Студентам рекомендуется отдельно отметить следствия, вытекающие из правил сложения вероятностей.

Всвою очередь, правило умножения вероятностей сводится к тому, что вероятность совмещения двух событий (т. е. совместного появления того и другого) равна вероятности одного из них, умноженной на вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Уместно отметить, что правило умножения вероятностей упрощается для событий, которые называются независимыми.

Студентам рекомендуется отметить, что два события А и В называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления другого, т.е. условная вероятности события А в предположении, что В произошло, совершенно такая же,

как и без этого предположения: P(A/ B) P(A) .

В противном случае события А и В называются зависимыми. Рекомендуется рассмотреть также наиболее сложные задачи,

имеющие большое практическое значение. Для таких задач имеет место несколько возможных сценариев развития событий, несколько вероятных гипотез, когда в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) H1, H2, …, Hn, имеется некоторое

Студентам предлагается по итогам рассмотренного теоретического материала сделать вывод, обращая внимание на практическое применение рассмотренных теорем и правил.

Теоретический материал по данной теме закрепляются на практических занятиях с использование вычислительных средств и математического программного комплекса MathCAD.

60