2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике. @

В 1748 г. М.В.Ломоносов сформулировал закон сохранения материи и движе­ния. Через 100 лет Р.Майер и Г.Гельмгольц дали количественную формулировку за­кона сохранения и превращения энергии.

В замкнутой системе энергия может пе­реходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но об­щее количество энергии остается неизменным. В природе и технике постоян­но имеют место превращения одних видов энергии в другие. Например, в электро­двига­телях электрическая энергия переходит в механическую, в ядерном реакторе ядерная энергия переходит в тепловую, затем в механическую и электромагнитную, при фо­тоэффекте - электромагнитная в электрическую и т.д. Однако следует иметь в виду, что одновременно может происходить несколько типов превращений энергии, например, обычно некоторая часть энергии непременно пре­вращается во внутреннюю (тепловую) энергию вещества (в энергию теплового движения молекул). Но всегда общий запас энергии системы в любой момент времени оста­ется неизменным. Закон сохранения и взаимопревращения энергии является всеобщим законом природы, не имеющим исключений; если он как бы нарушается в эксперименте, значит что-то не учтено.

Закон сохранения механической энергииформулируется следующим об­ра­зом: Если в замкнутой системе действуют консервативные силы, то механи­ческая энергия не переходит в другие виды и остается постоянной во времени (при этом возможен переход потенциальной энергии в кинетическую и наоборот).

Продемонстрируем действие этого закона на примере свободного падения тела.

П

Рис.2.12. Используемые в примере, направления для координат, скорости и ускорения свободного падения.

ример: Пусть тело массой m начинает падать вниз с высоты h.

Рассчитаем его механическую энергию в различные моменты времени. В начальный момент времени, в верхней точке его механическая энергия равна mgh (Е_к =0 так как начальная скорость равна нулю).

Если не учитывать силы трения о воздух, то в любой следующий момент времени t координату и скорость тела можно рассчитать с помощью законов кинематики для равноускоренного движения с ускорением свободного падения g (см. рис.2.12): z = h  ‑ gt²/2, v  = ‑ gt.

Механическая энергия в этот момент времени будет равна

Е_м = Е_п + Е_к = mgz + mv²/2 = mg(h – gt²/2) + m(gt)²/2 = mgh, т.е. равна энергии в начальный момент времени. Отсюда видно, что механическая энергия не меняется со временем. Если же рассматривать и действие сил трения, то окажется, что механическая энергия тела при движении уменьшается. Это объясняется частичным превращением ее во внутреннюю (тепловую) энергию воздуха и самого тела.

3. Динамика вращательного движения. @

3.1. Основные характеристики динамики вращательного движения. @

Для описания вращательного движения используются следующие па­раметры : момент инерции J, момент силы , момент импульса тела. Ана­ло­гами их в поступательном движении являются масса m, сила , импульс тела.

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси есть ска­лярная физическая величина равная произведению массы этой точки на квадрат кратчайшего рас­стояния от нее до оси вращения .

Ч

Рис.3.1.Иллюстрация к теореме Штейнера.

тобы рассчитать момент инерции твердого тела, его мысленно разбивают наn материальных точек с массами m₁, m₂,..., m_n, находящихся на расстояниях r₁, r₂,..., r_n от оси вращения. Момент инерции твердого тела J, вращающегося вокруг неподвижной оси ра­вен алгебраической сумме моментов инерции всех точек, из которых состоит тело . При непрерывном распределении масс тела эта сумма сводится к интегралу , гдеV - объем тела, r – кратчайшее расстояние от точки до оси вращения. На основании этой формулы рассчитываются моменты инерции тел различной формы. Например: 1) полый тонкостенный цилиндр или обруч радиуса R, массой m и осью вра­ще­ния, совпадающей с осью симметрии ; 2) сплошной цилиндр или диск радиусаR, массой m и осью вращения, совпа­дающей с осью симметрии ; 3) шар радиусаR, массой m и осью вращения, проходящей через его центр . Приведенные примеры показывают, что момент инерции тела зависит от его массы, формы, геометрических размеров, его расположения относительно оси вра­щения, распределения массы по объему тела.

Расчет моментов инерции тел относительно осей, не совпадающих с осью сим­метрии более сложен. В таких случаях применяется теорема Штейнера: мо­мент инерции любого тела относительно произвольной оси ОО равен сумме момента инерции этого тела J_O относительно оси АА , параллельной данной и проходящей через центр масс тела С, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис.3.1) .

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется вектор­ная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, про­веденного из точки О в точку приложения силы, на век­тор силы:.

Рис.3.2. Момент силы относительно непод­вижной точки.

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектораи. Его направление совпада­ет с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк (рис.3.2). Модуль момента силы

, - плечо силы - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Если к точке А приложено несколько сил, то результирующийбудет равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

Момент силы, действующей на тело относительно неподвижной оси z, есть ска­лярная величина M_z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, опреде­ленно­го относительно произвольной точки О данной оси z (рис.3.3) .

Рис.3.3. Момент силы относительно непод­вижной оси.

Значение момента M_z не зависит от положения точки О на оси z. Если ось  z совпа­дает с направлением вектора , то момент силы равен.

Момент импульса (количества движения) матери­альной точки А относительно неподвижной точки О есть векторная физическая величина, определяемая векторным произведением двух векторов: радиуса-вектора, прове­денного из точки О в точку А, и импульса материальной точки                

        .

Направление вектора совпадает с направлением посту­па­тельного движения правого винта при его вращении отк(рис.3.4).

Рис.3.4. Момент им­пульса относительно неподвижной точки.

Модуль вектора , - угол между векторами и,l - плечо вектора (или) относительно точки О.

Моментом импульса точки относительно неподвиж­ной оси z называется скалярная величина L_z равная проек­ции на эту ось вектора мо­мента импульса, определенного относительно произволь­ной точки О данной оси , гдеугол между вектороми осьюz.

Момент импульса твердого тела есть векторная сумма мо­ментов импульса всех точек, из которых состоит тело. Если число точек системы равно n, тогда .

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловые скорости  всех его точек равны, угол между векторами иравени все векторана­правлены по оси вращения в одну сторону. Отсюда модуль векторатела равен,,

.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловую скорость. Направления векторов исовпадают и.