6. Элементы релятивистской механики.@

6.1. Преобразования Галилея и механический принцип относительности. @

В механике Ньютона при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой поступательно с постоянной скоростью, пользуются преобразованиями координат и времени, которые называются преобра­зованиями Галилея. Они основаны на двух аксиомах:

Ход времени одинаков во всех системах отсчета;

Размеры тела не зависят от скорости его движения.

Рассмотрим две системы отсчета – инерци­альную систему К (с координатами x,y,z), которую будем считать неподвижной, и систему К’(с координатами x’,y’,z’), движущуюся относительно системы К прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью , направленной вдоль оси х. Отсчет времени начнем с того момента, ко­гда начала координат обеих систем совпадают. В произвольный момент времени t системы распо­ложены, как показано на рисунке 6.1. Скорость направлена вдоль ОО’, радиус-вектор, проведенный из О в О’ . Связь между координатами произ­вольной точки А в обеих системах будет иметь вид . В проекциях на оси координат это уравнение расписывается в следующем виде x = x’+ut; y = y’; z = z’. В

классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относи­тельного движения систем отсчета, откуда следует, чтоt =t’. Таким образом, мы получили совокупность четырех уравнений x = x’+ut; y = y’; z = z’; t =t’,

называемых преобразованиями Галилея.

Найдем правило сложения скоростей в классической механике. Для этого продиф­ференцируем выражение для r по времени и получим:

или .

Последнее выражение представляет собой правило сложения скоростей в классической механике: скорость материальной точки относительно системы К равна векторной сумме ее скорости относительно системы К’ и скорости системы К’ относительно К.

Найдем ускорение точки А в системе К, для этого продифференцируем формулу сложения скоростей по времени,

.

Мы получили, что, если система К’ движется относительно К прямолинейно и рав­номерно т.е. система К’ является инерциальной, то ускорения точки одинаковы в обеих системах. Следовательно, если на точку А не действуют другие тела (а=0), то и а’=0. Если ускорение какого-либо тела в двух произвольно выбранных инерциаль­ных системах отсчета одинаково, то согласно второму закону Ньютона силы, дейст­вующие на тело в системах К и К’ также будут одинаковыми. Следовательно, вто­рой закон Ньютона сохраняет вид в любой инерциальной системе отсчета.

Можно доказать, что и другие законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, можно сформулировать механический принцип относительности Галилея: при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой уравнения механики не изменяются, т.е. инвариантны по отношению к преобразованиям координат. Записанные соотношения справедливы лишь в случае u ‹‹ с, а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются наиболее об­щими преобразованиями Лоренца.